1、1,4 复共轭序列的DFT设x*(n)是x(n)的复共轭序列， 长度为NX(k)=DFTx(n)则DFTx*(n)=X*(N-k), 0kN-1且X(N)=X(0),2,5 DFT的共轭对称性 （1）有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列， 下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列， 则二者满足如下定义式： xep(n)=x*ep(N-n), 0nN-1 xop(n)=-x*op(N-n), 0nN-1,当N为偶数时， 将上式中的n换成N/2-n可得到：,3,上式更清楚地说明了有很长序列共轭对称性的含义。
2、 如下图所示。 图中*表示对应点为序列取共轭后的值。,4,共轭对称与共轭反对称序列示意图,5,如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样， 任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 将上式中的n换成N-n， 并取复共轭， 可得到x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n),6,（2） DFT的共轭对称性 如果x(n)=xr(n)+jxi(n)其中xr=Rex(n)=1/2x
3、(n)+x*(n)jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 可得DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n)=1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k),7,同理可得DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n)=1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k)由DFT的线性性质即可得X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 其中Xep(k)=DFTxr(n) , X(k)的共轭对称分量Xop(k)=DFTjxi(n) , X(k)的共轭反对称分量,8, 如果x(n)=xep(n)+rop(n)， 0nN-1 其中xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n
4、), x(n)的共轭对称分量xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n),x(n)的共轭反对称分量可得DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n)=1/2X(k)+X*(k)=ReX(k),9,DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n)=1/2X(k)-X*(k)=jImX(k)因此X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n)jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),10,综上所述，可总结出DFT的共轭对称性质：如果序列x(n)的DFT为X(k)，则x(n)的实部和虚部（包括j）的DFT分别为X(k)的
5、共轭对称分量和共轭反对称分量；而x(n)的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT分别为X(k)的实部和虚部乘以j。,11,设x(n)是长度为N的实序列， 且X(k)=DFTx(n)， 则(1) X(k)=X*(N-k), 0kN-1(2) 如果 x(n)=x(N-m) ，则 X(k)实偶对称， 即X(k)=X(N-k) (3) 如果x(n)= -x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称， 即X(k)= -X(N-k),12,实际中经常需要对实序列进行DFT，利用上述对称性质，可减少DFT的运算量，提高运算效率。例如，计算实序列的N点DFT时，当N=偶数时，只需计算X(k)的前面N/2+1点，而N =
6、 奇数时，只需计算X(k)的前面(N+1)/2点，其他点按照上在的公式即可求得。例如， X(N-1)=X*(1), X(N-2)=X*(2), 这样可以减少近一半运算量。,13,【例】利用DFT的共轭对称性，设计一种高效算法，通过计算一个N点DFT，就可以计算出两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT。【解】构造新序列x(n)=x1(n)+jx2(n)，对x(n)进行DFT，得到： ,14,由上式得到： 所以，由X(k)可以求得两个实序列x1(n)和x2(n)的N点DFT： ,15,频率域采样,设任意序列x(n)的Z变换为,且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。 在单位圆
7、上对X(z)等间隔采样N点得到,xN(n)=IDFTX(k)， 0nN-1,16,由DFT与DFS的关系可知，X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列 (n)的离散傅里叶级数系数 的主值序列， 即,17,式中,为整数,其它m,所以,18,如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点数NM时， 才有xN(n)=IDFTX(k)=x(n)即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)， 否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采 样定理。,19,推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数。 设序列x(n)长度为M， 在频域02之间等间隔采样N点， NM， 则有,式中,20,将上式代入
8、X(z)的表示式中得,21,上式中 =1， 因此,上式称为用X(k)表示X(z)的内插公式， k(z)称为内插函数。 当z=ej时， 上式就成为x(n)的傅里叶变换X(ej)的内插函数和内插公式， 即,22,进一步化简可得,23,DFT的应用举例,DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。,24,1 用DFT计算线性卷积如果,0kL-1,则由时域循环卷积定理有Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k), 0kL-1,25,由此可见， 循环卷积既可在
9、时域直接计算， 也可以按照下图所示的计算框图， 在频域计算。 由于DFT有快速算法FFT， 当N很大时， 在频域计算的速度快得多， 因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。,用DFT计算循环卷积,26,在实际应用中， 为了分析时域离散线性非移变系统或者对序列进行滤波处理等， 需要计算两个序列的线性卷积， 与计算循环卷积一样， 为了提高运算速度， 也希望用DFT(FFT)计算线性卷积。 而DFT只能直接用来计算循环卷积， 为此导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。,27,假设h(n)和x(n)都是有很长序列， 长度分别是N和M。 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,其
10、中， LmaxN, M,28,通过推导得：,只有当LN+M-1时，线性卷积和循环卷积相等。,下图是两序列x(n)与h(n)的线性卷积与循环卷积的运算结果比较图,29,线性卷积与循环卷积,30,用DFT计算线性卷积框图,31,2 用DFT对信号进行谱分析所谓信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算， 使其应用受到限制， 而DFT是一种时域和频域均离散化的变换， 适合数值运算，成分分析离散信号和系统的有力工具。 用DFT对连续信号进行谱分析工程实际中， 经常遇到的连续信号xa(t)， 其频谱函数Xa(j)也是连续函数。,32,设连续信号xa(
11、t)持续时间和Tp， 最高频率为fc，如下图所示。 xa(t)的傅里叶变换为对xa(t)以采样间隔T1/2fc(即fs=1/T2fc)采样得 x(n)= xa(nT)。 设共采样N点， 并对Xa(jf)作零阶近似(t=nT, dt=T)得,33,显然，Xa(jf)仍是f的连续周期函数， x(n)和X (jf)如下图 (b)所示。 对 X(jf)在区间0, fs上等间隔采样N点， 采样间隔为F， 如下图(c)所示。 参数fs 、 Tp、 N和F满足如下关系式：,由于NT=Tp， 所以,34,则,35,36,理想低通滤波器的单位冲击响应ha(t)及其频响函数Ha(if)如下图(a)、 (b)所示。
12、 图中,37,用DFT计算理想低通滤波器频响曲线,38,现在用DFT来分析ha(t)的频率响应特性。 由于ha(t)的持续时间为无穷长， 所以要截取一段Tp， 假设Tp=8 s， 采样间隔T=0.25 s(即采样速度fs=4 Hz)， 采样点数N=Tp/T=32。 此时频域采样间隔F=1/NT=0.125 Hz。 则H(k)=TDFTh(n), 0k31其中 h(n)=ha(nT)R32(n)在已知信号的最高频率fc(即谱分析范围时)， 为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象， 要求采样速率fs满足下式fs2fc,39,按照(3.4.5)式， 谱分辨率F=fs/N， 如果保持采样点数N不变，
13、要提高谱的分辨率(F减小)， 必须降低采样速率， 采样速率的降低会引起谱分析范围减少。 如维持fs不变， 为提高分辨率可以增加采样点数N， 因为NT=Tp， T=f-1s， 只有增加对信号的观察时间Tp， 才能增加N。 Tp和N可以按照下式进行选择:,40,【例】对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F10 Hz，信号最高频率fc=2.5 kHz， 试确定最小记录时间TPmin， 最大的采样间隔Tmax， 最少的采样点数Nmin。 如果fc不变， 要求谱分辨率增加一倍， 最少的采样点九和最小的记录时间是多少? 【解】：因此，TPmin=0.1 s， 因为要求fs2fc， 所以,41,为使频率分辨率提高一倍， F=5 Hz， 要求,42,作业 第3章习题 15 16,THE END,
