离散傅里叶变换.doc

1、第三章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于 DTFT 他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 3-1 引言一.DFT 是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱

2、分析、卷积、相关都可以通 DFT 在计算机上 实现。二.DFT 是现代信号处理桥梁DFT 要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。傅氏变换 离散量化 DFT(FFT) 信号处理 3-2 傅氏变换的几种可能形式一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换tX(t)时域信号 频域信号连续的非周期的非周期的连续的对称性：时域连续，则频域非周期。 反之亦然。二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数0 tpT)(tx-dtetxjXj)()(:、 dejXtx tj)(21)(:、0)(0jkXpT20*时域周期为 Tp, 频域谱线间隔为 2/Tp时域信号 频域信号连续的周期的非周期的离散的三.离

3、散时间、连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换2/0 0)(1)(: ppTtjkdetxjkX、k tjkejkXtx 0)()(: 0、x(nT)T-T 0 T 2T t时域信号 频域信号离散的非周期的周期的连续的n Tjnj enTxeX)()(:、 2/ )(1)(: ss deeXnTx TjnTjs、 TTs2,* 、四.离散时间、离散频率的傅氏变换-DFT FTp1t0 T 2T1 2 N NTpnNT0 020 1 2 3N0k)()0kxeTjTfs120Ns FTp2由上述分析可知，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须是周期的。时域信号 频域信号离散的周期的周期的离散的)(

4、.2, ;2* 0TTs pp 、 、DFT 的简单推演：在一个周期内，可进行如下变换： 002/: 10,21: )(1)( )()(d NkFkkNn deXTx enTxeXss TjnTjsn TjnTj 、10221022 001010)()( )()( 22)()( )()( 0000Nk nkNjkNjNnnkNjkj spNk TjnkTjksNn TjnkTjk eeXnTx eTxeX NTTeeXnx exeX 、视作 n 的函数，视作 k 的函数，这样, 102102)()( )()(Nk nkNjNn nkNjekXnx enxkX 3-3 周期序列的 DFS一.周期

5、序列 DFS 的引入导出周期序列 DFS 的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的： 对上式进行抽样，得：，代入又由于)()(2kNjeXnTx )()()()(2kXeXnxnTxkNjk tjkekXtx 0)()(0k nkNjk nTjkeXenTx200)()()( 0 NT20knjrnjnkNjnrNkj eeee 222)(2 所以求和可以在一个周期内进行，即这就是说，当在 k=0,1,., N-1 求和与在 k=N,.,2N-1 求和所得的结果是一致的。二. 的 k 次谐波系数 的求法1.预备知识同样，当 时，p 也为任意整数，则亦即1020Nk nkNjeXnTx

6、1020)()( )()()()(NknkNjeXnx kXxT、 、)(nx )(X rmNeNnrnj、0,102)(112 )1(222102、mNre eeeerNjrj NrjrNjrjNnrnj rk )()0(10)(2 pNrkNNeNnnj )( )()(10)(2 pNrk prkeNnnrkNj 所以2. 的表达式将式 的两端乘 ，然后从 n=0 到 N-1 求和，则：)()()()(10 rXpNrXpNrkXNk )(kX102)()(NknkNjeXnx nrNje2102)(NnnrNjex10)(2)(Nnk nrkNjeX)()()()( )()(101010

7、)(210 )(2102rXNpNpnrkkXekXekXenxNkNkNnnrkjNn nrkNjNnnrNj 通常将定标因子 1/N 移到 表示式中。即：3.离散傅氏级数的习惯表示法通常用符号 代入，则：102)()(,NnnrNjexrX、102102102)()()()(, )()(Nk knNjNn knNjNn knNjekXnx exkXexkXkr、)(nx102102)()()()(Nk knNjNnknNjekXxekXNjNeW2正变换：反变换：4. 的周期性与用 Z 变换的求法周期性：用 Z 变换的求 ：对 作 Z 变换，10102)()()()( NnnkNNnkj

8、WxexnxDFSkX 10102)()()()( NknkNNknkNj WXeXIDFSx)()()()()(10210 2210 )(2kXenxeenxenxmNkXNnknNjn mnjknNj nmNkj、 NkX)()(kX)(nx)(k10)()()( NnnnnZxZxZXZjImZRe123456 7 (N-1)N2k=0如果 ，则有可见， 是 Z 变换 在单位圆上抽样，抽样点在单位圆上的N 个等分点上，且第一个抽样点为 k=0。kNjeZ2)()()(1022kXenxXnknNjkj)(kX)(X 3-4 DFS 的性质一.线性如果则有其中，a,b 为任意常数。二.序列

9、的移位 如果则有：证明：令 i=m+n,则 n=i-m。 n=0 时， i=m; n=N-1 时， i=N-1+m所以 * 和 都是以 N 为周期的周期函数。)()(2211 nxDFSkX)()()()( 2121 kXbkXabnxaDFS )()(kXnxDFS)()(2kXeWmmNj10)()(NnnkNWmxxDFS mkNmNiikxxDFS 1)()( )()(10 kxWiWiikmk )(ixikN三.调制特性如果 则有 证明： 时域乘以虚指数( )的 m 次幂，频域搬移 m,调制特性。四.周期卷积和1.如果则：2.两个周期序列的周期卷积过程（1）画出 和 的图形；（2）将

10、 翻摺,得到 )()(kXnxDFS)()(mknxWSmN)()()()(10)(10mkXWnxnxnxDFSNnnkNkNNnmNnNjnNjnNjmnN eeeW)(222 j )()()(21kXkY 10 10122 )()()()(NmNmmnxnxYIDFSny)(1x)(2x)(2m)0()(22mxm1 1021010)()()(521 mxy可计算出： )(2mxm)(2mxmm)(1mx0 1 2 3 （3）将 右移一位、得到 )1(2mxm计算区 )1(2mx)(2mx1 10010)()()1(521 mmxy可计算出： 计算区)(2mxmm)(1mx0 1 2 3

11、 )1(2mxm（4）将 再右移一位、得到 ，可计算出：（5）以此类推，)(2mx )2(mx3 1001121 )2()()(501 mxy4 00121)3()()3(5021 mmxy)(nyn134 43.频域卷积定理如果 ，则 3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示一.预备知识 1.余数运算表达式如果 ，,4)(、 3)5(y)()()(21nxny 101210210 )()()()()(NllNnnkNlkXlllWyyDFSkYmNn1 101Nn1m 为整数；则有：此运算符表示 n 被 N 除，商为 m，余数为 。二.有限长序列 x(n)和周期序列 的关系周期序列 是有限长

12、序列 x(n)的周期延拓。=)(nx, 0nN-10 , 其他n )(nx有限长序列 x(n)是周期序列 的主值序列。如：n)(nx三.周期序列 与有限长序列 X(k)的关系)(1n)(xmNnn)()( Nnx)(x)()()(RnxnxN、)(nx)(kX)()()()( kRkXkXkk NN同样， 周期序列 是有限长序列 X(k)的周期延拓。而有限长序列 X(k)是周期序列 的主值序列。四.从 DFS 到 DFT 10)()()( NnnkNWxnxDFSkX10)()()( NknkNkXkXIFSnx从上式可知，DFS,IDFS 的求和只限定在 n=0 到 n=N-1,及 k=0

13、到 N-1 的主值区间 进行。因此可得到新的定义，即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。 1010)()()( )()()( NknkNNnnkWkXkXIDFTnx xxkX, 0kN-1, 0nN-1或者：)(k)(k)()()( )()()( nRnxnxkXN 3-6 DFT 的性质一.线性1.两序列都是 N 点时如果则有：2. 和 的长度 N1 和 N2 不等时，选择 为变换长度,短者进行补零达到 N 点。二.序列的圆周移位1.定义一个有限长序列 的圆周移位定义为这里包括三层意思：先将 进行周期延拓再进行移位最后取主值序列：)()(2211kXnxDFT )()()()( 2121

14、 kbXkaXnbxax )(1nx)(2nx21,maNN)(nxnRmNm)(nx Nnxx)(mm)(nRnxnx N)(n)(nx0 N-1nNnxnx)()(0周期延拓nNnxnx2)2(0左移2n)()2(nRnxN0取主值N-12.圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察 n=0 到 N-1 这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把 排列一个 N 等分的圆周上，序列的移位就相当于 在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列 ： 。三、共轭对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期为 N 的周期序

15、列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为 )(nx)()()(21)()(21)( )()()()()(* * NNoe nxnxnxnnx 同样，有2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为由于所以这表明长为 N 的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。3.共轭对称特性之一证明：4.共轭对称特性之二)()()()()(*nxnxnxnxnxooee oe )()()(21)()( *nRNxnxnRxnx NNoopee )()()()( )(nRnxnRnx nxNoNe oe )()()( opep )()()()

16、( * *kRkNXkRkX nxDFTnxDFTNN、 )()()()( )()()()( )()()(*10*)( 10*10*10* kRNXkRWnx WnxknxnxFT NNNnkNnkNnk 证明：可知：5.共轭对称特性之三证明：)()()(* kXnRxDFTxkXN、 、)()( )()( )()()()(*10 *1(0*10 10*kXWnxWnxnRxnxNkNNkNnk kNN)()()(* kRkXnx N)()()( * XnRN )()()()(21 )(Re)()(* kXkkNXkX nxDFTnxDFTepNN 、)()()()(21 )()()( )()

17、(21)(Re)()()(* * kXkRkNXkX nxDFTnxDFTnxDFT epNN 6.共轭对称特性之四证明：7.共轭对称特性之五、六8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性、 、DFTDFT* )()()()(21 )(Im)()(* kXkRkNXkX nxjDFTnxDFTopNN 、)()()()(21 )()()( )()(21)(Im)()()(I* *kXkRkNXk nxDFTnxFTnxjDFTj opNN、 、 DFTDFTj* )()(ImRe nxDFTkXjope、 )()()()1( kXkXkopep、9.实、虚序列的对称特性当 x(n

18、)为实序列时，根据特性之三，则X(k)=Xep(k)又据 Xep(k)的对称性：当 x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则X(k)=Xop(k)又据 Xop(k)的对称性：四.圆周卷积和1.时域卷积定理设 和 均为长度为 N 的有限长序列，且 ，)()( )()()3( )()( )()()2( *kRkNX kRXkX kRkXkXkXNop Nopop Nep Nepeep 、 )()()(*kRkNXkNepep)()()(*kRkXkXNopop)(*RkN)(2nx)(1nx)()(11kXDFT)()(22kXnxDFT)()()()(1102 nxnRmnxmYITny NN 五

19、.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积的长度为的长度为它们线性卷积为的非零区间为的非零区间为两不等式相加得也就是 不为零的区间。2.用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。的长度为 , 的长度为 ,先构造长度均为 L 长的序列, 即将 补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，即)()()( 21012 nxnRmnxx NNm )(1nx)(1nx )10(1NnN)(22)(2 mNml mnxnxny 10221 )()()()()()(1x 10N)(2mx 102mn21N)(nyl)(1nx1N)(2nx2N)(),(21nxLLnx)(,21102)()

20、(mLLmnxxny所以得到周期卷积： 3-7 抽样 Z 变换-频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样时域抽样： 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。频域抽样：对一有限序列(时间有限序列)进行 DFT 所得 x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以 DFT 就是频域抽样。2.由频域抽样恢复序列一个绝对可和的非周期序列 x(n)的 Z 变换为由于 x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其 Z 变换收敛域包括单位圆。这样,对 X(Z)在单位圆上 N 等份抽样,就得到因 此故由 于 ,10

21、 1mxxLmL rlrLm rmLrlnyrnx mrLnxxxny)( )()( )()()()(102 201102nnxZ)()( )(kXnnNWz WxZkkN)()(3.频域抽样不失真的条件当 x(n)不是有限长时，无法周期延拓；当 x(n)为长度 M,只有 NM 时,才能不失真的恢复信号,即3-8 利用 DFT 对连续时间信号的逼近一.用 DFT 计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差1.混叠现象为避免混叠,由抽样定理可知，须满足其中, 为抽样频率; 为信号的最高频率分量；或者其中,T 为抽样间隔。2.频谱泄漏在实际应用中，通常将所观测的信号 限制在一定的时间间隔内,也 就是

22、说，在时域对信号进行截断操作,或 称作加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏。3.栅栏效应用 DFT 计算频谱时，只是知道为频率的整数倍处的频谱。在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察MNnxRrnxnr NN ,)()()()()()( hsff2sf hfhsffT21 )(1nxpTF1景象一样，故称作栅栏效应。补零点加大周期 ，可使 F 变小来提高辨力，以减少栅栏效应。二.DFT 与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定1.连续时间非周期信号傅氏变换对2.连续时间周期信号傅氏级数变换对3.DFT 变换时：4.用 DFT 计算非周期信号的傅氏变换用 DFT 计算所得的频谱分量乘以 T， 就等于频谱的正常幅度电平；用 IDFT 计算非周期信号的傅氏反变换，再乘以 就得到所需信号的正常幅度电平。所以,从时间到频率,再从频率到时间，整个过程总共乘了pTdejXtx tetxjXtjj21)(k tjkTtjkejkXtx detxjkXpp0002/0110,)(1)( 10,)()(010 NnWkXNnx knxkXknkNNnkNsf1sfT