1、1快速傅里叶变换 傅里叶变换+频率响应+抽样定理仿真第 6 章 周期信号的傅里叶级数及频谱分析 6.1 实验目的 ? 学会运用 MATLAB 分析傅里叶级数展开，深入理解傅里叶级数的物理含义 ? 学会运用 MATLAB 分析周期信号的频谱特性 6.2 实验原理及实例分析 6.2.1 周期信号的傅里叶级数 设周期信号 f(t),其周期为 T，角频率为 0=2f0=可展开围三角形式的傅里叶级数，即 f t =?0+?1cos?0?+?2cos2?0?+?+?1sin?0?+?2sin2?0?+? =?0+ ?（ ancosn0t+bnsinn0t） （6-1） 2其中，各正弦项与余弦项的系数 an
2、、bn 成为傅里叶系数，更具函数的正交性，得 02t0+T?= f t cosn0tdt tT0?=2 t0+Tf t sinn0tdt Tt00+T?0= f t dtTt2T,则该信号1t（6-2） 其中，n=1,2 。积分区间(t0,t0+T)通常取为（0，T）或（?， ） ，22TT将上式同频率项合并，可以改写为 f t =A0+ n=1Ancos?(n0t+0) （6-3） 3由此，可以得出傅里叶级数中各系数间的关系为： a0=A0 22An= an+bn an=Ancosn （6-4） bn=?Bnsinn n=?tan?1bn an 从物理概念上来说，式 6-3 中的 A0 即是
3、信号 f t 的直流分量；式中第二项 A1cos(n0t+0)成为信号 f t 的基波或基波分量，它的角频率与元周期信号相同；式中第三项 A2cos(20t+0)成为信号 f t 的二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，以此类推。一般而言，Ancos(n0t+0)成为信号 f t 的 n 次谐波，n 比较法的那些分量统称为高次谐波。 我们还成用到负指数形式的傅里叶级数，设周期信号 f t ，其周2期为 T，角频率为 0=2f0=，该信号负指数形式的傅里叶级数T为 A0=a0f t = Fne?jt n=?其中，Fn= f(t)e?jtdt n=0,1,2, 4T成为复指数形式傅里叶级数系数。利用
4、 MATLAB 可直观地观察和分析周期洗脑傅里叶级数及其收敛性。 【实例 6-1】周期方波信号如图 6-1 所示，试求出该信号的傅里叶基数，利用 MATLAB 编程实现各次谐波的叠加，并验证其收敛性。 解：从理论分析可知，已知周期方波信号的傅里叶级数展开式为 f t =4A1T2T?2(sin0t+3sin30t+5sin50t+7sin70t+9sin90t+?) 1111取 A=1，T=1,可分别求出 1、3、5、11、47 项傅里叶级数求和的结果，其 MATLAB 源程序为 t=-1:0.001:1; omega=2*pi; y=square(2*pi*t,50); plot(t,y),
5、grid on xlabel(t),ylabel( 周期方波信号) axis(-1 1 -1.5 1.5) n_max=1 3 5 11 47; N=length(n_max); for k=1:N n=1:2:n_max(k); b=4./(pi*n); x=b*sin(omega*n*t); figure; plot(t,y); hold on; plot(t,x); hold off; xlabel(t),ylabel(部分和的波形) axis(-1 1 -1.5 1.5),grid 5on title(最大谐波数=,num2str(n_max(k) end 程序运行后，画出各项部分和的
6、波形如图 6-2 所示： 图 6-2 周期方波信号的有限项傅里叶级数逼近 从图可以看出，随着傅里叶级数项数的增多，部分和与周期方波型号的误差越来与小。在 N=47 项的时候，部分和的波箱与周期方波信号的波形很接近，但在信号的跳变点附近，却总是存在一个过冲，这就是所谓的 Gibbs 现象。 6.2.2 周期信号的频谱分析 周期信号通过傅里叶级数分解可展开成一系列互相正交的正弦信号或复指数信号分量的加权和。在三角形式傅里叶级数中，各分量的形式为 Ancos?(n0t+0);在指数形式的傅里叶级数中，各量的形式为 Fnej0t=|Fn|ejnej0t。对实信号而言，Fnej0t 与 F?ne?j0t
7、 承兑出现。对不同的周期信号，它们各个分量的数目、角频率、幅度或相位不同。傅里叶系数的幅度或 An 随角频率变化关系绘制成图形，成为信号的幅度频谱，简称幅度谱。相位随角频率变化关系6绘制成图形，称为信号的相位频谱，简称相位谱。幅度谱和相位朋友统称为信号的频谱。信号的频谱是信号的另一种表示，它提供了从另一个角度来观察和分析信号的途径。利用 MATLAB 命令可对周期信号的频谱及其特点进行观察验证分析。 6.3 编程练习 2.试用 MATLAB 分析图 6-5 中周期三角信号的频谱。当周期三角信号的周期好三角信号的宽度变化时，试观察分析其频谱的变化。 解：根据傅里叶级数理论可知，周期三角信号的傅里叶系数为 F u =ASa2 n2nn22=Sa =sinc T2TT2T各谱线之间的间隔为 =。图 6-6 画出了 =1、T=10，百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网 ,您的在线图书馆! 7
