1、Comment U1: 与前重复三角函数的周期性、创新题型研究【内容提要】1函数的周期性；2. 三角函数的周期性的判定；3. 三角函数周期性的应用；【2三角函数的周期性的判定】【例 2】函数 的最小正周期为 6sincoyx【解析】 24(si)(sincosi)xx，所以函数的最小正周期为 。 2353i1482【变式 1】函数 的最小正周期为 tan()5yx【解析】由公式可得函数的最小正周期为.2T【变式 2】 （2012 年高考（上海春） ）函数 的最小正周期为_. ()sin)4fx【解析】由公式可得函数的最小正周期为 .【变式 3】 （2010 浙江文数）函数 的最小正周期是 2(
2、)i)f【解析】 函数的最小正周期为2,14sn4cos1xxy.2T【变式 4】求函数 的最小正周期i(3)()2)scf【解析】2in()o()2xfxsin()sitanco2xx（ ） ， 函数 的最小正周期为 （函数 的图象如右图所示） 。,xkkZ且 ()f()f【变式 5】函数 的最小正周期为 2tan1yx【解析】 ， 根据正切函数定义域， ，即每 单位的区间t ,2xkz上，函数图像要去掉一个点 ，函数图像是每两个 单位，重复出现一次完全相同的图像，所以周期是2。【变式 6】函数 的最小正周期为 ( )tan1sixxyA B C D23B 【解析】将函数解析式化为 ，由定义
3、域的限制可得。yt【3三角函数周期性的应用】【例 3】设函数 ，若对任意 xR，都有，f (x1 )f (x )f (x2 )成立，则|x 1x2|的)5sin()xf最小值为 ( ) (A)4 (B)2 (C)1 (D) 21B 【解析】对任意 xR，都有， f (x1 )f (x )f (x2 )成立，说明 f (x1 )是函数的最小值，最低点横坐标是 x1， f (x2 )是函数的最大值，最高点横坐标是 x2，求| x1 x2|的最小值即求两个最高点与最低点最近距离，也就是半个函数的最小正周期 T。【变式 1】已知函数 为偶函数 ，其图象与直线 y2 的某两个交点横坐标sin2y0为 ，
4、 ， 的最小值为 ，则（ ）2|1A. , B. , C. , D. ,244A 【解析】函数 为偶函数 ，则 ；图象与直线 y2 的)sin(xy0()2sin2某两个交点横坐标为 ， ，即函数图像两个最高点的横坐标， 的最小值为 ，说明函数图像12 |1x两个最高点最近距离是 ，从而得到函数的最小正周期 T= ， 。 【变式 2】已知函数 ， 的图像与直线 的两个相邻交点的距离()3sico()fxx()yfy等于 ，则 的单调递增区间是 f【解析】 ，由题设 的周期为 ， ，由,36kkZ2sin6f()fxT2得， ，故选 C22x ,3kxkz【变式 3】已知函数 的图像与直线 的交
5、点间的最小距离是 ，则 =_。)0(tanwxy1y3w【解析】函数 的图像与直线 的交点间的最小距离是一个周期 ，所以函数1tT最小正周期 ， 的值 。wxytan3T,3.3,0w1【变式 4】 （2012 年高考（陕西理） ）函数 ( )的最大值为 3, 其图像()sin()6fxAx0,A相邻两条对称轴之间的距离为 ,若 ,且 ,则 的值是 .202f【解析】函数 的解析式为 即3()fxsi()1yx()2sin()126f , ,故1sin()6206363【变式 5】为了使函数 ysin x(0)在区间0,1 上至少出现 50 次最大值，则 的最小值是( ) A98 B. C.
6、D1001972 1992B 【解析】由题意至少出现 50 次最大值即至少需用 49 个周期，49 T 1， ，故14 14 1974 2 1972选 B.【4数列的周期性】【例 4】已知数列 na中， 1b（ 0） ， 1nna（ *N） ，能使 nab的 可以等于（ ） A 1 B 5 C 6 D 7【解析】 21ab； 311ba； 41ab 41，接着 52， 63， n是周期为 3的周期数列； n当且仅当 1n为周期的整数倍，即 1k，符合条件的只有 C 项【变式 1】 【2102 高考福建文 11】数列a n的通项公式 ，其前 n 项和为 Sn，则 S2012 等于（ ） A.10
7、06 B.2012 C.503 D.0A 【解析】因为函数 的周期是 4，所以数列 的每相邻四项之和是一个常数 2，所以xy2cosna.故选 A10624201S【变式 2】 （2001 上海春 16）若数列a n前 8 项的值各异，且 an+8=an 对任意 nN *都成立，则下列数列中可取遍a n前 8 项值的数列为（ ）A.a2k+1 B.a3k+1 C.a4k+1 D.a6k+1B 【解析】k N *，当 k=0，1，2，7 时，利用 an+8=an，数列a 3k+1可以取遍数列 an的前 8 项【变式 3】已知数列x n满足 xn+1=xnx n1 (n2)，x 1=a， x2=b
8、， 记 Sn=x1+x2+ xn，则下列结论正确的是（ ）A.x100a， S100=2ba B.x100b，S 1002ba C.x100b，S 100=ba D.x100a，S 100baA. 【解析】x 1=a，x 2=b，x 3=ba，x 4=a，x 5=b ，x 6=ab，x 7=a，x 8=b，易知此数列循环，xn+6=xn，于是 x100=x4=a，又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故 S100=2ba选 A【变式 4】已知 f(n)sin (nN*)，则 f(1)f (2)f (2 013)_.n3【解析】由题意知 f(1)sin ，f (2)sin ，f(3)sin
9、 0，f(4)sin ，f (5)sin 33 32 23 32 43 32 ，f(6) sin 20，f(7)sin sin 由此可得函数 f(n)的周期 T6.所以 f(1)f (2)53 32 73 3 32f(2 013)335f(1)f(2)f (6)f(2 011)f(2 012) f (2 013)f(1)f(2)f(3) .3【变式 5】已知数列 na中， nS是其前 项和，若 121212,nnnaaa，且 12na，则 123a= ， 201 6，4020 【解析】易算出 3456,3,a ，即 n是周期为 3的数列，故 1236，20164S【变式 6】我们可以利用数列
10、na的递推公式 2,na为 奇 数为 偶 数 N求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数则 245 ；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第 8个 5是该数列的第 项28，640 【解析】 24163aa，同时 25a，因此 2458a；第 k个 出现在第 k项，因此第 8个 是该数列的第 760【变式 7】 （2009 北京理）已知数列 n满足： 431,N,nnn则 209a_；2014a=_.1，0 【解析】 20945031a， 20107425aa. . 【变式 8】在数列 中，已知 ，当 时， 是 的个位数，则 n,1n1na20136 【解析】由题设得 ， ，1
11、2,3 8,4,8,67654 a，由此可知数列 中的各项从第 项起是以 为8,4,8, 41312109aaa n 6周期反复出现的（反复出现 ）.又注意到 ，故所求 .8,24,62013561201336a【5迭代函数的周期性】【例 5】 （2007 年全国高中数学联赛江西省预赛）设 ，又记xf11,kfxfx则 （ ）,12,kfx 207fxA. B. C. D .1x1xB 【解析】 ，112,ffxf， 是周期为 4 的迭代函数，3234,fxxf f()f，故选 B.2073x【变式 1】设 1()f，又记 1()fxf， 1()()kkfxf， 1,2 ，则 209fx（ ）
12、 A x B x C D C 【解析】 1()1xff， 2()1xff， 31()fxf，一般地， 2()nnfxf，nfx是以 2为周期的数列 2091，选 C【变式 2】设函数 (其中 )， 是 的小数点后第 位数字 ，knf*Nkn741356.2则 的值为 个05)8(f2 【解析】 ， ， ， ，(8)6f(8)3f(8)f(8)2ff， ，开始出现循环， ，因此()1ff(4f 205367=2. 个2058【变式 3】若 等于 的各位数字之和，如 ， ，则 ；()fn2*()Nn21971(14)f记 ， ， ， ，则 _1()f1f1()()kkfnf*N208()f11 【
13、解析 】 ， ， ，开始循环20083=6691，因此182853f11.208f【变式 4】 （上海交通大学 2004 年保送生考试） ，对于一切自然数 n，都有1)(1xf，且 ，求 )()(11xffnn )(636xff28x 【解析】由条件解得 ，以是 是周期为 2 的迭代函数，从而21()f()xf。282()ff【变式 5】 （2005 年复旦大学自主招生）定义在 上的函数 满足R()1f0()1xff，则 =_401x(04)f2005 【解析】令 ，得 ，令 ，得(204)(20ff2x。由，得 。(2)13f 5【6三角函数的轴对称性】【例 6】设函数 图象的一条对称轴方程
14、为 , 则直线 的倾xcosbsina)x(f 40cbyax斜角为 ( ) A. B. C. D. 4332【解析】 ，所以 ，直线 的斜率22()fab()0,ab0cbyax，倾斜角为 。故选 B。1akb43【变式 1】如果函数 的图象关于直线 对称，则 sin2cosyxa8x【解析】代入对称轴方程到函数解析式，其值应为函数的最值，解方程可得 a=-1.【变式 2】 （2012 年高考（福建文） ）函数 的图像的对称轴方程是 ()sin)4f【解析】 .3,4xkz,24kx3,xkz【变式 3】 （2010 福建理数）已知函数 和 的()=si-)(06f()=2cos(x+)1g
15、图象的对称轴完全相同。若 ，则 的取值范围是 。x0,2x【解析】 ，因为 ，所以 ，由三角函数图象知： 的最小-,2,52-,f(x)值为 ，最大值为 ，所以 的取值范围是 。3sin(-)=62sin=3f()3-,2【变式 4】 （2012 陕西理）函数 ( )的最大值为 3, 其图像相邻两条()16fxAx0,A对称轴之间的距离为 ,若 ,且 ,则 的值是 .02()2f【解析】函数 的解析式为 即3()fxsin()yx()2sin()126f , ,故1sin()626363【变式 5】 （2012 年高考（课标文） ）已知 0, ,直线 = 和 = 是函数0x45图像的两条相邻的
16、对称轴,则 = ()si)fx【解析】由题设知, = , =1, = ( ), 45442kZ = ( ), , =kZ0【变式 6】若 对任意实数 t，都有)sin()1 (0,|)fxAx记 ，则 3fttcosgx(3g【解析】由 知函数的对称轴为13fft ,1)3sin(,x.1)(,0)cos(【7三角函数的点对称性】【例 7】函数 f(x)=sin(2x+)+ cos(2x+)的图像关于原点对称的充要条件是 ( )3A=2k - ，kZ B=k- ，kZ 6 6C=2k- ，kZ D=k- ，kZ 3 3【解析】f(x)=sin(2x+)+ cos(2x+) =2sin(2x+
17、)， 3其对称中心是 ，又图像关于原点对称， ，(,0)(0=k- ， kZ。故选 D. 3【变式 1】函数 的图象的对称中心是 )62tan(xy【解析】 所以对称中心为(,0)(k ,3,2kx。3Z【变式 2】函数 （ ）等 于则是 奇 函 数 ,)3sin()cos(3)( xxxfA B C Dk6kk3kD 【解析】函数 则 图象一个对称中心是原点，将 代入 ，(),f是 奇 函 数 ()f (0,)()fx，有 ，得 。答案：D3cos()in0sin03(Z3k【变式 3】设函数 y2sin(2x )的图象关于点 P(x0,0)成中心对称，若 x0 ，0 ，则 x0_.3 2
18、【解析】 函数 y2sin(2x )的对称中心是函数图象与 x 轴的交点，2sin(2x 0 )6 3 30，x 0 ，0x 0 .2 6【变式 4】函数 的图像关于点 中心对称，则 的最小值为 cosy 3 4(,0)3|【解析】代入点 ，易得34(,0).|61mink【变式 5】函数 (xR)的图象为 C,以下结论中 :sin23fx图象 C 关于直线 对称; 图象 C 关于点 对称;12(,0)3函数 f(x)在区间 内是增函数;5(,)2由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C.3sinyx3则正确的是 .(写出所有正确结论的编号) 【解析】当 时，12113)sin(2)=s
19、in()sin()=1362f（所以为最小值，所以图象 C 关于直线 对称，所以正确。当 时，xx，所以图象 C 关于点 对称;所以正确。2)sin()=sin033f（ (,0)，当 时， ，所以22kxk512x56x，即 ，此时函数单调递增，所以正确。563633的图象向右平移 个单位长度，得到 ，所sinyx 2sin2()3sin()yxx以错误，所以正确的是。【8周期性与对称性的综合应用】【例 8】已知定义在 R 上的函数 的图象关于点 对称，且满足 ，又 ，()fx3(,0)43()2fxf(1)f，则 (0)2f(1)23208)f f【解析】定义在 上的函数 的图象关于点 对
20、称，所以 ，又()f(,()ff，所以 且 ，从而 ，所以3()2fxfx)fx1，又因为 ，10(1f2086931故 ()()f ff【变式 1】设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数，且满足下列关系 f(10+x)=f(10x)， f(20x)=f(20+x)，则f(x)是（ ）A 偶函数，又是周期函数 B 偶函数，但不是周期函数C 奇函数，又是周期函数 D 奇函数，但不是周期函数C 【解析】f(20x )=f10+(10x)=f10(10 x )=f(x)=f(20+x) f(40+x)=f 20+(20+x)=f(20+ x)=f(x)f (x)是周期函数； f(x )=f(40x
21、) =f(20+(20x)=f (20(20x)=f (x)f(x) 是奇函数选 C【变式 2】 （山东省实验中学 2013 届高三第二次诊断性测试）已知 ，)2(),1()( xfxff方程 在0，1内有且只有一个根 ，则 在区间 内根的个数为（ ）f 210f23,A.2011 B.1006 C.2013 D.1007C 【解析】由 ，可知 ，所以函数 的周期是 2，由()()fxf()(fxf()fx可知函数 关于直线 对称，因为函数 在0，1内有且只有一个根()2)fx ，所以函数 在区间 内根的个数为 2013 个，选 C.10(f213,【变式 3】 （山东省青岛市 2013 届高
22、三上学期期中考试理）已知定义在 上的奇函数 满足Rfx，且 时， ，甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：(4)(fxfx,2()log(1)fx；乙：函数 在 上是减函数；丙：函数 关于直线 对称；丁：若1)f6()fx4，则关于 的方程 在 上所有根之和为 ，其中正确的是（ ）0,m0m8,8A甲、乙、丁 B乙、丙 C甲、乙、丙 D甲、丙A 【解析】由 ，得 ，所以周期是 8.所以(4)(fxfx()(ff，所以甲正确.当 时，函数 递增，因为是奇函数，所以2(3)1)log1f 0,2x()fx在 也是增函数，由 ，所以关于直线 对称，所以丙不正确，所以2,0)在 上函数递减，在 上函数
23、递增，所以乙不正确.由于函数关于直线 对称，且周期是66, 28，所以函数也关于直线 对称.由图象可知 的根有四个，两个关于直线 对称，x()fmx另外两个根关于 对称，所以所有根之和为 ，丁正确，所以答案选 A.4128【变式 4】已知定义在 R 上的函数 满足以下三个条件： 对于任意的 ，都有()yfxR；对于任意的 函数()(fxf121212,0,();Rxfxf且 都 有的图象关于 y 轴对称，则下列结论中正确的是（ ）(2)yfxA B4.5(7)6.5)f(7)4.5)(6.)ffC D.4.7A 【解析】由 知函数的周期是 4，由知，函数在 上单调递增，函(fx0,2数 的图象关于 y 轴对称，即函数函数 的图象关于 对称，即函数(2)yfx ()yfxx在 上单调递减。所以 ， ，,4.5)0.)f6.52.(1.5)ff，由 可知 ，选 A.7)31f(1f76【变式 5】若偶函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，且在 x0,1时，f(x)x 2，则关于 x 的方程 f(x)( )x 在1100， 上根的个数是( ) A1 B2 C3 D4103C 【解析】由题意知 f(x)是周期为 2 的偶函数，故当 x1,1时，f(x) x 2，画出 f(x)的图象，结合y( )x 的图象可知，方程 f(x)( )x 在 x0， 时有 3 个根110 110 103
