1、2.2.3 待定系数法课堂探究探究一用待定系数法求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤：(1)设一次函数的解析式为 y kx b(k0)；(2)根据题意列出关于 k 和 b 的方程组；(3)求出 k， b 的值，代入即可【典型例题 1】 已知一次函数的图象与 x 轴交点的横坐标为 32，并且当 x1 时，y5，则这个一次函数的解析式为_解析：设所求的一次函数为 y kx b(k0)，由题意知一次函数图象上有两个点3,02和(1,5) ，则有 ,5kb解得 23k ， ，所以 y2 x3.答案： y2 x3探究二 用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数解析式常见情形如下表：已
2、知条件 形式要确定的系数不同的三个点的坐标 y ax2 bx c(a0) a， b， c顶点坐标( h， k) y a(x h)2 k(a0) a与 x 轴的两个交点( x1,0)，( x2,0) y a(x x1)(x x2)(a0) a已知对称轴 x h y a(x h)2 k(a0) a， k【典型例题 2】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1， f(1)1，且 f(x)的最大值为 8，试求二次函数的解析式解：方法 1：设 f(x) ax2 bx c(a0)，则 248abc ， ， ，解得47.bc ， ，所以 f(x)4 x24 x7.方法 2：因为 f(2) f(1)，所以抛物
3、线的对称轴为直线 x 2(1) ，又 f(x)的最大值为 8.所以可设 f(x) a 1228( a0)，则 a 2281，所以 a4.故 f(x)4 284 x24 x7.方法 3：由 f(2) f(1)1，知 f(x)10 的两根分别为 2 和1，可设 f(x)1 a(x1)( x2)( a0)，可得 f(x) ax2 ax2 a1.又 f(x)max24()8，解得 a4 或 a0(舍去)，所以 f(x)4 x24 x7.探究三 已知函数图象求函数解析式1由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后就在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式2
4、分段函数的表达式要注意端点值【典型例题 3】 如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式思路分析：由图象可知：函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成；当 x1 或 x3 时，函数解析式可设为 y kx b(k0)；当 1 x3 时，函数解析式可设为 y a(x2) 22( a0)或y ax2 bx c(a0)解：设左侧的射线对应的函数解析式为 y kx b(k0， x1)因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故 12 ， ，解得 k1， b2，所以左侧射线对应的函数解析式为 y x2( x1)同理可求 x3 时，函数的解析式为 y x2( x3)当 1 x3 时，抛物线对
5、应的函数为二次函数方法一：设函数解析式为 y a(x2) 22(1 x3， a0)由点(1,1)在抛物线上，可知 a21，所以 a1.所以抛物线对应的函数解析式为 y x24 x2(1 x3)方法二：设函数解析式为 y ax2 bx c(a0,1 x3)因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有14293abc ， ， ，解得142.bc ， ， 所以抛物线对应的解析式为 y x24 x2(1 x3)综上，函数的解析式为 y 2x ， ， ，13.x， ，探究四易错辨析易错点 没有检验而导致失误【典型例题 4】 已知 f(x)是二次函数，不等式 f(x)0 的解集是 x|0 x5
6、，且f(x)在区间1,4上的其中一个最值为 12，求 f(x)的解析式错解：根据 f(x)是二次函数，且 f(x)0 的解集是 x|0 x5，可设 f(x) ax(x5)(a0)f(x)在1,4上的其中一个最值为 12，则有可能出现 f(1)12 或 f 5212，即 6a12 或 254a12，解得 a2 或 a 485.综上可知， f(x)2 x(x5)2 x210 x 或 f(x) 2x(x5) 4825x2 x.错因分析：没有对 a 的值进行检验，而出现错解现象正解：根据 f(x)是二次函数，且 f(x)0 的解集是 x|0 x5，可设 f(x) ax(x5)(a0)f(x)在1,4上的其中一个最值为 12，则有可能出现 f(1)12 或 f 5212，即 6a12 或 254a12，解得 a2 或 a 485.当 a2 时，满足题意；当 a 时，二次函数的图象开口向下，不符合 f(x)0的解集是 x|0 x5，故舍去综上，所求解析式为 f(x)2 x210 x.点评在涉及二次函数、二次方程、二次不等式等含参数的问题时，一定要注意分类讨论思想的合理应用，更应该及时地检验所求结果是否满足已知条件，千万不要出现增解或漏解现象
