1、线性代数 （周勇）习题详解 习题一 1、 （ 1） 221 1 5212;1= =（） （ 2）()222211 1111(1)xxxxxxxxxx+= =+； (3) 22aababbab= ； (4)1113 1 4 115148139118135491 5895=+= (5)0 a 0 b 0 c0 d 0=000+ac0+bd0-000-ab0-cd0=0 (6)1 2 3 3 1 22 3 1=111+222+333-321-231-231=18 2、 解： （ 1）对排列 34215 而言， 3 与 2,1 分列构成一个逆序， 4 与 2,1 也分别构成一个逆序， 2 与1 也构成
2、一个逆序，所以 34215 5 =（） . （ 2）对排列 4312 而言， 4 与 3,1,2 分别构成一个逆序， 3 与 1,2 也分别构成一个逆序，所以 4312 5 =（） . （ 3）对排列 n（ n-1） 2 1 而言 n 与 n-1， n-2， ,2,1 均构成一个逆序，其逆序数为 n-1；n-1 与 n-2，n-3， ，2,1 也分别构成一个逆序，其逆序数为 n-2；依次类推，2 与 1 也构成一个逆序，因此有 (1)121 1 2 212nnnn n n= + +=（ ） （ ）（ ） （ 4）对排列 1 3（2n-1） （2n） 4 2 而言，3 与 2 构成一个逆序，其逆
3、序数为 1；5 与4,2 分别构成一个逆序，其逆序数为 2； ；2n-1分别于2n-2,2n-4， ,4,2 分别构成一个逆序，其逆序数为 n-1；2n-2 分别于2n-4， ，4,2 构成一个逆序，其逆序数为 n-2；依次类推，4 与2也构成一个逆序，其逆序数为 1，因此有： 1 3 2 1 2 4 212 1 1 2 11nnnnnnn =+=（ ）（ ） （）（）（）（）3、 解： 在四阶行列式中，含因子11a23a 的项只有两类，分别为11a23a32a44a 和11a23a34a42a ，下面分别判断这两项的符号，因行标排列已经是自然排列，故只需计算排列的逆序数，因为 （ 1324）
4、 =1， （ ,1342） =2，所以含有11a23a 的项分别为 -11a23a32a44a 和11a23a34a42a 。 4、 解： （ 1） 4 1 2 4 1 2 0 210 5 2 00 1 1 71232-4+10rrrr0 -7 2 -41 2 0 20 -15 2 -200 1 1 7按第一列展开 -7 2 -4 -15 2 20 1 1 7 1323+7+15rrrr-0 9 45 0 17 851 1 7 按第一列展开94517 85 =0 （2） 0 1 1 1 1 0 1 11 1 1 01 1 1 01234+c +c +cc3 1 1 13 0 1 13 1 0
5、13 1 1 02131-rrrr3 1 1 10 -1 1 10 0 -1 00 0 0 -1=3 (-1) (-1) (-1)=-3 (3)-ab ac aebd cd debf cf ef123/rardrfadf-bcebcebce2131+rr+rr adf-002020bc eec按第一列展开 -abdf0 2e2c 0=4abcdef （4）100-1 1 00-1 100-1abcd12+rar0+1 0-1 1 00-1 100-1ab abcd按第一列展开21(1) (1) (1)+ ab+1 a 0-1 c 10 -1 d32-drrdcdab+1 a 0-1 c 1-
6、-1 d按第3列展开23(1) 1+ dcdab+1 a- -1=abcd+ab+ad+cd+1 （5）a-b-c a aa-b-ca-b-c2 20 - 00 0 -123+rrra+b+c a+b+c a+b+cb b-a-c bc c c-a-b2 22 2 1/ ( +b+c)ra （ a+b+c ）111b b-a-c bcc c-a-b2 22 2 2131-2br-2crrr111-a-b-c-a-b-c0 00 0 =3a+b+c（） （6）-2 2 -4 04 -1 3 53 1 -2 -32 0 5 12131+c-2ccc-2 0 0 04 3 -5 53 4 -8 -3
7、2 2 1 1按第1行展开 -23 -5 54 -8 -32 1 11223-2c-ccc -27 -10 510 -5 -30 0 1按第3行展开 -27 -1010 -5=-270 （ 7）1 2 2 2n. 2 2 2 . 22 2 3 . 2. . . . . .2 2 2 . 1232n2r-r-r-rrrn-2-1 0 0 . 02 2 2 . 20 0 1 . 2. . .0 0 0，按第1行展开n-22 2 . 20 1 . 2. . .0 0 . =-2 12(n-2)=-2(n-2)! (8)a 0 . 0 10 a . 0 0. . . 0 0 . a 01 0 . 0
8、a按第1行展开 aa 0 . 0 0. . . 0 0 . a 00 0 . 0 a+n+1（-1） 1 a 0 . 0 1. 0 00 . a 0=1(1)(1) (1) 11nn na+ a . 0. . . 0 . a =n2+1n-2a+ an（-1） =nn-2a-a 5、 证明： （ 1） 22aabbaa+bb2 21 1 12132c-cc-c2222aab-ab-aa b-a b-2a2 21 0 0按第3行展开222ab-a b -ab-a b-2a212/( -a)r/(-a)rbb2(b-a)ab+a 1 2=3(-)ab （2） 222 2222 2222 2222
9、2aa+1 a+2 a+3b b+1 b+2 b+3c c+1 c+2 c+3d d+1 d+2 d+3（） （） （）（） （） （）（ ） （ ） （ ）（） （） （）412131c-cc-cc-c2222aa+1a+4a+9b b+1 b+4 b+9c c+1 c+4 c+9d d+1 d+4 d+92 4 62 4 62 4 62 4 63242c-2cc-3c2222aa+12bb+12cc+12dd+122 62 62 62 643c-3c2222aa+12bb+12cc+12dd+122 02 02 02 0=0 （3） nn-1n-2 2 11 . . . . . . . .
10、 . . +xxxaa a axa- 0 0 00 -1 0 00 0 0 -12-2n-112 3 -1 n+ + +.+ +nncxcxc xc xc22n-1 n-1n-1 nnn-1 1 n-1n-2 2 1+ 1 . + + . . . . . . . . + + . + + + + . +xxxx xxx xaax ax x a a axa（- ） - 0 0 00 （- ） -1 0 00 （- ） 0 0 -1， 按第一列展开n+1 n n-11n-1n-1 + +.+ +x ax a x a（）（ ）1 . . . . . . . xx- 0 0 0-1 0 00 0 -1=
11、n+1 n n-11n-1n-1 + +.+ +x ax a x a（）（ ） n-1-1（） =nn-11n-1n+ +.+ +x ax a x a 6、 （1）因为1x ，2x ，3x 是方程式3x +px+q=0 的 3 个根，那么它们三个必然满足123x-x（ ）(x-x )(x-x )=0，将其展开得 32123 231213 123- x +x +x x + x x +x x +x x x-x x x =0x （）（ ） 。 由对应项系数相等可知： 123()0xxx + =， 即 1230xxx+ +=， 因此 123312231xxxxxxxxx123+rrr123123123
12、312231x +x +x x +x +x x +x +xxxx=0 （2）在此四阶行列式中，能出现3x 的因子的项只有12 21 33 44aaaa ，由于行标排列已是自然排列，故只需判断列表排列的逆序数，即 （ 2134） =1，所以12 21 33 44aaaa 的符号为负，因此3x 的系数是-1. （3）由定理4,1 可知， 14 24 34 44a+a+a+a =14 24 34 441a +1a +1a +1a =abc 1c b a 1d b c 1a b d 124c-bcac 1c a 1d 0 c 1a 0 d 10 0=0 （4）由定理4,1 可知 n1 n2 nna+a
13、+ +a， =x aaa aa x a a a. . . .a a a x a1 1 1 1 11nn-1 n-ar-arrrx-a 0 0 0 0 x-a 0 0 . . . .0 0 . x-a 01 1 1 1 1n按第 列展开x-a 0 0 0 x-a 0 . . .0 0 x-a ，=n-1x-a（） 7、 （ 1） nD =121212x -m x . x. . . . . x x ,x -m nnnx x-m x12c +c +,+cn121121121. . . nninninnixmx xxmxmxx mx x m=211nrrrr21x . x0 . x. . . . 0
14、0 . nininxmmm=11()( )nniimxm=(2)nD =1 2 3 . n-1 n1 -1 0 . 0 00 2 -2 . 0 0. . . . . 0 0 0 . 11 nn12c +c +,+cn(1)2 3 . n-1 n20 -1 0 . 0 00 2 -2 . 0 0. . . . . . 0 0 0, , 11 nnnn+= (1)( 1) ( 2) . (1 )2nnn =1(1)!(1)2nn+ (3) nD =ababcdcdONNO按第一列展开2100 00(1)000 0nab dababaccd abcdcddc d+ONONNONO按第2n-1列展开(
15、)()nnnadD c bD21+122 221=()nad bc D2 2=()nad bc D22 4=,=()nad bc D12=()nad bc(4)nD =1+a 1 . 11 1+a . . . . . 1 . 1+an1211=1211 1 1 . 1 10 1+a 1 . 1 10 1 1+a . 1 1. . . . . 0 1 1 . 1 1 0 1 1 . 1 1+anna+211nrrrr1211 1 1 . 1 01 a 0 . 1 0-1 0 a . 1 0. . . . -1 0 0 . 0 -1 0 0 . 0 anna12 3 11211 1,nncc c
16、caa a+112111+ 1 1 . 1 00 a 0 . 1 00 0 a . 1 0. . . . . 0 0 0 . 0 0 0 0 niinaa=. 0 an=1211, (1+ )nniiaa aa=8、 (1)D=1 2 12 1 11 1 2=-8,10 2 11 1 13 1 2D =4,21 0 12 1 11 3 2D =4,31 2 02 1 11 1 3D =-12 故41 41 123,.82 82 82xyz= = = = （2）121 2 4 4 4 2 3 40 1 3 1 3 1 1 116, 128,1 3 0 1 1 3 0 10 7 3 1 3 7 3 11 4 DDD =343 4 1 2 4 40 3 1 1 0 1 3 148, 96,1 1 0 1 1 3 1 10 3 3 1 0 7 3 11 2 3 40 1 1 31 3 0 10 DD= = 07 3 1=12348, 3, 6, 0.xxxx= = = =故 9、 其次线性方程组由非零解，则其系数行列式 D=0. 1 1 1 1 ( 1)1 3 1 D=,由 D=0 可得 =0 =1或者 。
