线代知识总结.pdf

1、线代知识整理 LB 制作 1 线性代数知识点总结 目录 第一章 行列式 2 第一节：二阶与三阶行列式 . 2 第二节：全排列及其逆序数 . 2 第三节： n阶行列式的定义 3 第四节：对换 . 4 第五节：行列式的性质 . 5 第六节 行列式按行（列）展开 6 第七节 克拉默法则 . 7 第二章 矩阵 8 第一节：矩阵 . 8 第二节：矩阵的运算 . 8 第三节：逆矩阵 . 11 第四节：矩阵分块法 . 13 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 15 第一节：矩阵的初等变 换 . 15 第二节：矩阵的秩 . 16 第三节：线性方程组的解 . 18 第四章 向量组的线性相关性 19 第一节：向量

2、组及其线性组合 . 19 第二节：向量组的线性相关性 . 21 线代知识整理 LB 制作 2 第一章 行列式 第一节： 二阶与三阶行列式 1、 把表达式 11 22 12 21a a a a 称为 11 1221 22aaaa所确定的 二阶 行列式，并记作 11 1221 12aaaa， 即 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2 .aaD a a a aaa 结果为 一个数。 同理，把表达式 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 ,a a a a a a a a a

3、a a a a a a a a a 称为由数表 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a所确定的三阶 行列式，记作 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a。 即 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a a= 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 ,a a a a a a a a a a a a a a a a a a 注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 2、 利用

4、行列式计算二元方程组和三元方程组： 对二元方程组 1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 2a x a x ba x a x b设 1 1 1 22 1 2 20aaD aa 1 1212 22baD ba 11 12 21 2 .abD ab 则1 122 221111 1221 22babaDxaaDaa ，11 121 22211 1221 22.ababDxaaDaa 注意：以上规律 还能 推广到 n 元线性方程组的求解上。 第二节：全排列及其逆序数 1、 全排列 ：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）。 n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用

5、 Pn (或 An)表示。 逆序及逆序数 ：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大线代知识整理 LB 制作 3 于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性： 逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。 2、 计算排列逆序数的方法 ： 方法 一： 分别计算出排在 1,2, , 1,nn 前面比它大的数码之和即分别算出1,2, , 1,nn 这 n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数 。 方法二： 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每

6、个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。 第三节： n 阶行列式的定义 1、 定义： n 阶行列式1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na a aa a aDa a a等于所有取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积1212 np p npa a a的代数和，其中 p1， p2 pn是 1, 2, ,n 的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。 2、 1 1 1 2 1122 2 21 1 2 2 1 1 2 20 100ntnnn n n nnna a aaaD a a a a a aa 也可简记为 detija ，其中 ija 为行列式 D 的（ i， j 元） 。 3

7、、 根据定义，有 12 12121 1 1 2 12 1 2 2 212121 nnnnt p p pnp p n pp p pn n n na a aa a aD a a aa a a4、 说明： 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 ; 2、 n 阶行列式是 !n 项的代数和 ; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积 ; 4、1212 np p npa a a的符号为 1t ， t 的符号等于排列 12, ,. np p p 的逆序数 5、 一阶行列式 aa 不要与绝对值记号相混淆。 线代知识整理 LB 制作

8、 4 5、 推论 1： 上 ， 下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。 即 1 1 1 2 1122 2 21 1 2 2 1 1 2 20 100ntnnn n n nnna a aaaD a a a a a aa 6、 推论 2： 主 对角行列式的值等于其对角线上各 元素 的乘积，副对角行列式的值等于 121nn 乘以 其副对角线上各 元素 的乘积 。 即 1212 nn ， 112 2121nnnn 第四节：对换 定义： 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改

9、变奇偶性。 推论 ： 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 定理 2 n 阶行列式 det( )ijDa 的项可以写为 1 2 1 21 1 2 2( ) ( )( 1 ) nn nnt q q q t p p p q p q p q pa a a，其中 q1q2qn是行标排列， p1p2 pn是列标排列 。 推论 ： 设 有 n 阶行列式 det( )ijDa ，则 有 12 12() 12( 1 ) n nt q q q q q q nD a a a 或 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 1 ) nn nnt q q q t p p p q

10、 p q p q pD a a a 或 12 12() 12( 1 ) n nt q q q p p n pD a a a （行列式三种不同表示方法） 推论 ： 在全部 n 阶排列中 2n ，奇偶排列各占一半。 线代知识整理 LB 制作 5 第五节：行列式的性质 定义 ： 记1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na a aa a aDa a a ，1 1 2 1 11 2 2 2 212nnTn n n na a aa a aDa a a ，行列式 TD 称为行列式 D的转置行列式。 性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 性质 2 互换行列式的两行 ijrr或列 ijcc

11、，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零 。 性质 3 行列式的某一行 /列中所有的元素都乘以同一数 ()jkr k ，等于用数 k 乘此行列式； 推论 1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 D 的外面 ; 推论 2 D 中某一行（列）所有元素为零，则 =0D 。 性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零 性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212()()()i i ni i nn n n i n i n na a a a aa a a a aDa a a a a1

12、 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 12 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 21 2 1 2i n i ni n i nn n n i n n n n n i n na a a a a a a aa a a a a a a aa a a a a a a a性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式的值不变。 计算行列式常用方法： 利用定义； 利用运算 ijr kr 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值 。 说明 ： 行列式中行与列 地位等同 ，行列式的 6 个性质凡是对行成立的对列也同样成立。 线代知识整理 LB 制作

13、 6 第六节 行列式按行（列）展开 1、 余子式 在 n 阶行列式中，把元素 ija 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 1n 阶 行列式叫做元素 ija 的余子式，记作 ijM 。 代数余子式 1 ijij ijAM记 ，叫做元素 ija 的代数余子式。 2、 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有元素除（ i， j） (, )ij 元外 ija 都为零，那么这行列式等于 ija 与它的代数余子式的乘积，即 ij ijD a A 。 3、 定理 n 阶行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na a aa a aDa a a等于它的任意一行（列）的

14、各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 1 1 2 2i i i i i n i nD a A a A a A ， ( 1,2, , )in1 1 2 2j j j j n j n jD a A a A a A 或 ， ( 1,2, , )jn 。 4、 扩展 范德蒙德 (Vandermonde)行列式122 2 21211 1 1121 1 1() nn n i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x5、 展开定理推论 n 阶行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n na a aa a aDa a a的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对

15、应的代数余子式的乘积之和为零，即 1 1 2 2 0 ( )i s i s i n s na A a A a A i s 1 1 2 2 0 ( )j t j t n j n ta A a A a A j t 或 线代知识整理 LB 制作 7 第七节 克拉默法则 1、 如果线性方程组1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2 nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b的系数行列式不等于零，即 1 1 1 2 12 1 2 2 2120nnn n n na a aa a aDa a a， 则 该方程

16、组有唯一解 3121 2 3, , , , nnDDDDx x x xD D D D 其中 Di是用非齐次项代替 D 中第 i 列元素后所得的行列式。 注意 克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。 2、 定理 1 如果线性方程组 (1)的系数行列式 D0，则 (1)一定有解，且解是唯一的。 逆否定理 如果线性方程组 (1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 3、 定理 2 若齐次线性方程组1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 2 21 1 2 2. 0. 0. 0nnnnn n n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x 的系数

17、行列式 0D ，则其次线性方程组没有非零解。（即解唯一，只有零解） 逆否定理 如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式 D 必为零。 线代知识整理 LB 制作 8 第二章 矩阵 第一节： 矩阵 1、 定义 由 mn 个数 1 , 2 , , ; 1 , 2 , ,ija i m j n排成的 m 行 n 列的数表11 12 121 22 212nnm m m na a aa a aa a a称为 m行 n列矩阵 。 简称 mn 矩阵，记作1 1 1 2 12 1 2 2 211nnm m m na a aa a aAa a a， 简记为 m n ij ijmnA A a a ， ,m n A这

18、个 数 称 为 的 元 素 简 称 为 元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 2、 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ： 行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作： An。 行 (列 )矩阵： 只有一行 (列 )的矩阵 。 也称行 (列 )向量 。 同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵： AB 同型 ,且对应元素相等 。 记作： A B 零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。 单位阵： 主对角线上元素都是 1，其它元素都是 0，记作： En(有时， 也可表示为 E ) 3、 注意 矩阵与行列式有本质的

19、区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 ： 矩阵的运算 1、 矩阵的加法 设有两个 mn 矩阵 ij ijA a B b和 ，那么矩阵 A 与 B 的和记作AB ，规定为1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m m m n m na b a b a ba b a b a bABa b a b a b 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 线代知识整理 LB 制作 9 2、 矩阵加法的运算规律 1 A B B A ； 2 A B C A B

20、 C 1 1 1 2 12 1 2 2 2113 , ( )nnij ij m nmnm m m na a aa a aA a A aa a a 设 矩 阵 记， A 称为矩阵 A 的 负 矩 阵 4 0 ,A A A B A B 。 3、 数与矩阵相乘 ,A A A 数 与 矩 阵 的 乘 积 记 作 或 规 定 为 1 1 1 2 12 1 2 2 211,nnm m m na a aa a aA A A A Aa a a 数 与 矩 阵 的 乘 积 记 作 或 规 定 为 4、 数乘矩阵的运算规律（设 AB、 为 mn 矩阵， ,为数） 1 AA ； 2 A A A ； 3 A B A

21、B 。 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。 5、 矩阵与矩阵相乘 设 (b)ijB 是一个 ms 矩阵 ， (b)ijB 是一个 sn 矩阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 mn 矩阵 (c )ijC ，其中 121 2 1 1 2 2jji i is i j i j is s jsjbba a a a b a b a bb 1sik kjk ab， 1, 2 , ; 1, 2 , ,i m j n， 并把此乘积记作 C AB 线代知识整理 LB 制作 10 注意 ： 1。 A 与 B 能相乘的条件是： A 的列数 B 的行数。 2。 矩阵 乘法不满足交换律，一般 AB BA

22、 ， 且两 非零矩阵的 积可能是零矩阵 。 3。 对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B 是 可交换的 。 6、 矩阵乘法的运算规律 1 A B C A B C ； 2 A B A B A B 3 A B C A B A C ， B C A B A C A 4 m n n n m m m n m nA E E A A 5 若 A是 n 阶方阵，则称 Ak为 A的 k次幂，即 kkA A A A个，并且 m k m kA A A ， km mkAA ,mk为 正 整 数 。 规定： A0 E 注意 矩阵 乘法 不满足交换律，即 AB BA ， k kkAB A B （但也

23、有例外） 7、 纯量阵 矩阵0E0称为纯量阵，作用是将图形放大 倍。 且有( ) ( E )E A A A ， A 为 n 阶方阵时，有 ( ) ( E )n n n n nE A A A ，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。 8、 转置矩阵 ： 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 A 的 转置矩阵，记作 A ， 如 1 2 2458A ， 142528TA。 9、 转置矩阵的运算性质 ： 1 TTAA ； 2 T TTA B A B ； 3 T TAA ； 4 T TTAB B A 。 线代知识整理 LB 制作 11 10、 方阵的行列式 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的

24、行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作A 或 detA （ 记住这个符号 ） 注意 矩阵与行列式是两个不同的概念， n 阶矩阵是 n2个数按一定方式排成的数表，而 n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 11、 运算性质 1 TAA ； 2 nAA ； ( 3 ) A B A B B A B A 12、 对称阵 设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A=AT ，即 , 1, 2, ,ij jia a i j n那么 A 称为对称阵。 说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果 TAA 则称矩阵 A 为反对称的。即反对称矩阵 A=（ aij）中的元素满足 aij aji， i，

25、 j=1， 2， n 13、 伴随矩阵 行列式 A 的各个元素的代数余子式 ijA 所构成的如下矩阵 1 1 2 1 11 2 2 2 212nnn n n nA A AA A AAA A A称为矩阵 A 的伴随矩阵。 14、 性质 AA A A A E（ 易忘知识点 ） 总结 （ 1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 （ 2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘 ,且矩阵相乘不满足交换律。 （ 3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。 第三节 ： 逆矩阵 定义 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B,使得 AB BA E 则说矩阵 A 是可

26、逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。 1AA的 逆 矩 阵 记 作， 1AB 即 。 线代知识整理 LB 制作 12 说明 ： 1 A ， B 互为逆阵， A = B-1 2 只对方阵定义逆阵 。 3.若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的。 定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 0A ，并且当 A 可逆时，有 1*1AAA （ 重要 ） 奇异矩阵与非奇异矩阵 当 0A 时， A 称为奇异矩阵，当 0A 时， A 称为非奇异矩阵。 即 0A A A 可 逆 为 非 奇 异 矩 阵。 推论 若 ( A=E)AB E 或 B ，则 1BA 求逆矩阵方法 *1( 1 ) | | | |

27、 021( 3 )|AAAAAA 先 求 并 判 断 当 时 逆 阵 存 在 ；（ ） 求 ；求 。逆矩阵的运算性质 ： 1111 , ,A A A A 若 可 逆 则 亦 可 逆 且 1 112 , 0 , ,A A A A 若 可 逆 数 则 可 逆 且。 1 1 13 , , ,A B A B A B B A 若 为 同 阶 方 阵 且 均 可 逆 则 亦 可 逆 且 ()。 1 14 , , TTTA A A A 若 可 逆 则 亦 可 逆 且。 115,A A A 若 可 逆 则 有。 方阵的多项式 设 20 1 2() mmx a a x a x a x 为 x 的 m 次多项式，

28、 A为 n阶矩阵，记 20 1 2( A ) mma E a A a A a A 称 (A) 为矩阵 A 的 m 次多项式 。 注意 矩阵 A 的任意两个多项式 j(A)与 f(A)可交换，即 ( A ) ( ) ( ) ( )f A f A A ，矩阵 A多项式可以像 x 的多项式一样相乘或因式分解。 矩阵多项式的计算 11(1 ) , kkA P P A P P 如 果 则，则 20 1 2( A ) mma E a A a A a A 1 1 2 1 1 10 1 2 ( ) PmmP a E P P a P P a P P a P P （重要） 线代知识整理 LB 制作 13 总结 逆

29、矩阵的计算方法 1 待 定 系 数 法 ； 12 AA A 利 用 公 式 ； 3 初 等 变 换 法 下 一 章 介 绍 第四节 ： 矩阵分块法 1、 矩阵分块 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。 2、 分块矩阵的运算规则 加法 A 与 B 同型，且 A、 B 的分块方法相同，则 A 与 B 的和定义为对应子块相加。 数乘 ()ijAA 。 转置 1 1 2 11 1 1 2 1 31 2 2 22 1 2 2 2 31 3 2 3,TTT T TTTAAA A AA A A AA

30、A AAA 设 则。 乘法 首先 AB 有意义，其次 A 的列的分法与 B 的行的分法相同。,A m l B l n设 为 矩 阵 为 矩 阵 分 块 成 1212, , ( ) , ( )tnBBA A A A BB即 列 向 量 组 即 行 向 量 组，1 2 1 2, , , , , , ,i i i t j j t jA A A B B B其 中 的 列 数 分 别 等 于 的 行 数 那 么1 1 11rs srCCABCC， 1 1 , , ; 1 , ,ti j i k k jkC A B i s j r 其 中。 结论 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。 3、 分块对角

31、阵（准对角矩阵） 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都是方阵，即12sAAAA， 1 , 2 ,iA i s其 中 都 是 方 阵，线代知识整理 LB 制作 14 则有： 121) sA A A A 。 122 ) 0 , ,isAAA A AA若 每 个 则 可 逆 且 有， 1 1 1 1121 , 2 , , , , ,isA A i s A d i a g A A A 可 逆 可 逆 且（ diag（ A）表示对角阵 A） 4、 有用的结论 ： TA A O , A O P 5 1 1 7设 则 （ 证 明 见 课 本

32、例 ） 5、 线性方程组的分块表示 线性方程组1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 2m 1 1 m 2 2 m.nnnnn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b ， 1 1 1 1 1 2 1 12 2 2 1 2 2 2 212.A ( ) , , , .nnijn m m m m n mx b a a a bx b a a a ba x b Bx b a a a b 记 ， 其中 A 为系数矩阵， x 称为未知数向量， b 称为常数向量， B 称为增广矩阵。增广矩阵可以分块表示为： 12( , ) ( , , ., ,

33、)nB A b B a a a b或 线代知识整理 LB 制作 15 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 ： 矩阵的初等变换 1、 初等行变换 1 ( )ijrr对 调 两 行 ， 记 作。 2 0 ( )ik r k以 数 乘 以 某 一 行 的 所 有 元 素 ， 记 作。 3 ( )ijk r k r把 某 一 行 所 有 元 素 的 倍 加 到 另 一 行 对 应 的 元 素 上 去 ， 记 作。 初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换， 所用记号是把 “r”换成 “c”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换 , 且类

34、型相同。 2、 矩阵等价 A B A B如 果 矩 阵 经 有 限 次 初 等 变 换 变 成 矩 阵 ， 就 称 矩 阵 与 等 价 。 等价关系的性质 （ 1） 反身性 AA 2 A B , B A ;（ ） 对 称 性 若 则 3 A B , B C , A C（ ） 传 递 性 若 则 。 3、 行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 4、 行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0. 5、 标准

35、型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如 rmnEOF OO的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵 A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵 。 6、 初等变换的性质 ： 设 A 与 B 为 mn 矩阵，那么 ( 1 ) ;rA B m P P A B存 在 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 ( 2 ) ;cA B n Q A Q B存 在 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 线代知识整理 LB 制作 16 ( 3 ) P ;A B m P n Q A Q B存 在 阶 可 逆 矩 阵 ， 及 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 7、 初等矩阵： 由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵

36、的性质 ： 设 A 是一个 mn 矩阵，则 （ 1）对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； ;rA B m P P A B即 存 在 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 （ 2）对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵； 即 cA B n Q A Q B存 在 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 ( 3 ) P ;A B m P n Q A Q B存 在 阶 可 逆 矩 阵 ， 及 阶 可 逆 矩 阵 ， 使 （ 4）方阵 A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵 1 2 1 2, , , ,llP P P A P P P使 。 （ 5）

37、 rA A E可 逆 的 充 分 必 要 条 件 是 。 8、 初等变换的应用 （ 1）求逆矩阵 ： 1( | ) |A E E A 初 等 行 变 换或1AEEA 初 等 列 变 换。 （ 2）求 A-1B ： A ( , ) ( , ),rA B E P即 1( | ) |A B E A B 行 ， 则 P=A-1B。或1EAB BA 初 等 列 变 换. 第二节 ： 矩阵的秩 1、 矩阵的秩 任何矩阵 mnA ，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩） 矩阵的秩 在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子式 D，且所

38、有 r + 1 阶子式 (如果存在的话 )全等于 0，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式 。 数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A).规定零矩阵的秩， R(0)=0. 说明 1. 矩阵 Amn，则 R(A) minm,n; 2. R(A) = R(AT); 3. R(A)r 的充分必要条件是至少有一个 r 阶子式不为零 ; 4. R(A)r 的充分必要条件是所有 r + 1 阶子式都为零 . 线代知识整理 LB 制作 17 2、 满秩和满秩矩阵 矩阵 ij mnAa，若 ()R A m ，称 A 为行满秩矩阵；若 ()RA n ，称 A 为列满秩矩阵； , ( ) ,A n R A

39、n A若 为 阶 方 阵 且 则 称 为 满 秩 矩 阵。 ()n A R A n若 阶 方 阵 满 秩 ， 即 0A； 1A 必 存 在 ； A 为 非 奇 异 阵 ； , .nnA E A E 必 能 化 为 单 位 阵 即 3、 矩阵秩的求法 定理 1 矩阵 A 经过有限次行 (列 )初等变换后其秩不变。即若 A B，则 R(A)=R(B)。 矩阵 Amn，经过有限次初等行变换可变为行阶梯形，则非零行的行数就是 A 的秩。 推论 ( ) ( )P Q R P A Q R A若 、 可 逆 ， 则 4、 矩阵秩的性质总结 (1 ) 0 ( ) m i n , mnR A m n (2) (

40、 ) ( )TR A R A ( 3 ) , A B R A R B若 则 ( ) ( )P Q R P A Q R A(4) 若 、 可 逆 ， 则 ( 5 ) m a x ( ) , ( ) ( , ) ( ) ( )( ) ( , ) ( ) 1 .R A R B R A B R A R BB b R A R A R A b特 别 当 为 非 零 列 向 量 时 ， 有 ( 6 ) ( ) ( ) ( )R A B R A R B ( 7 ) ( ) m i n ( ) , ( ) .R A B R A R B ( 8 ) , ( ) ( ) .m n n lA B O R A R B

41、n 若 则 ( 9 ) A B = O A B = O设 ， 若 为 列 满 秩 矩 阵 ， 则 （ 矩 阵 乘 法 的 消 去 率 ）。 线代知识整理 LB 制作 18 第三节 ： 线性方程组的解 1、 线性方程组1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m m n n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b 若 有解，则称其为 相容 的，否则称为 不相容 定理 2 n 元齐次线性方程组 Ax=0 （ 1） R(A) = n Ax=0 有唯一解，零解 （ 2） R(A) n Ax=0 有非零解 . 定理 3

42、 n 元非齐次线性方程组 Ax b （ 1） 无解的充分必要条件是 (A) R(A,b)R （ 2） 有唯一解的充分必要条件是 (A) R (A, b) nR （ 3） 有无限多接的充分必要条件是 (A) R (A, b) nR 2、 基础解系 : 齐次线性方程组 0Ax 的通解具有形式 1 1 2 2x c c(c1, c2为任意常数 )，称通解式 1 1 2 2 1 2,x c c c c 为 任 意 常 数中 向量 12,构成该齐次线性方程组的基础解系。 3、 线性方程组的解法 齐次线性方程组： 将系数矩阵 A 化成行阶梯形矩阵，判断是否有非零解 . 若有非零解，化成行最简形矩阵，写出其

43、解； 齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为 n R(A)，齐次线性方程组的通解可以表成基础解系的 “线性组合 ”。 非齐次线性方程组： 将增广矩阵 B=(A,b)化成行阶梯形矩阵，判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，写出其解；在求解过程中，一般取行最简形矩阵中非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的。 非齐次线性方程组解的通解具有形式 *1 1 2 2x c c (c1, c2为任意常数 )，不带参数部分 * 是非齐次方程组的一个解；带参数部分 1 1 2 2cc 的两个向量构成对应齐次方程的基础解系。 4、 定理 矩阵方程 AX B 有解的充分必要条件是 R(A) R(A,B) 定

44、理 , ( ) m i n ( ) , ( ) A B C R C R A R B设 则 线代知识整理 LB 制作 19 第四章 向量组的线性相关性 第一节： 向量组及其线性组合 1、 n 维向量 n 个数 a1,a2, an组成的一个有序数组 (a1,a2, an) 称为一个 n 维向量 ,记为1212( ) ( , , , ).Tnnaa a a aa列 向 量 形 式 或 （ 行 向 量 形 式 ）， 其中第 i 个数 ai称为向量的第 i 个分量 。 说明 1. 列向量即为列矩阵 ,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。行向量可看作是列向量的转置。 2、 零向量 0=(0,0,0) T(维数不同 , 零向量不同 ) 负向量 12( , , , ) Tna a a 。 向量相等 设 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )TTnna a a b b b， 若 , 1, 2, ,iia b i n 则 。 3、 向量运算规律： 满足以 下 8 条性质的向量加法、数乘两种运算 ,称