1、- 1 -山东省济南市 2018 届高三数学第一次模拟考试试题 文一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 2|30Ax， 1,B，则 AB（ ）A 1 B 1, C 3, D 3,12.若命题“ p或 q”与命题“非 p”都是真命题，则（ ）A命题 与命题 都是真命题B命题 与命题 都是假命题C命题 p是真命题，命题 q是假命题D命题 是假命题，命题 是真命题3.欧拉公式 cosinixex（ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它
2、在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当 时， 10ie被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， 4i表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4.下列曲线中离心率为 23的是（ ）A2198xyB219xyC2198xyD219xy5.若 7sin40， ,4A，则 sinA的值为（ ）A 35 B 5 C 35或 4 D 346.已知变量 x， y满足约束条件021xy，若 2zxy，则 z的取值范围是（ ）A 5,6) B 5,6 C (,9) D 5,9- 2 -7.将函数 ()cos24fx的图象向左平移
3、8个单位后得到函数 ()gx的图象，则()g（ ）A为奇函数，在 0,4上单调递减 B为偶函数，在 3,8上单调递增C周期为 ，图象关于点 3,08对称 D最大值为 1，图象关于直线2x对称8.如图，在正方体 1ABCD中， P为 1B的中点，则 PAC在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）A B C D9.函数 1xye的图象大致为（ ）A B C D10.执行如图所示的程序框图，当输入 2018i时，输出的结果为（ ）- 3 -A-1008 B1009 C3025 D302811.已知双曲线 C：2194xy的两条渐近线是 1l， 2，点 M是双曲线 C上一点，若点M到渐近线 1l距离是
4、3，则点 M到渐近线 2l距离是（ ）A 23 B1 C 361 D312. 设 1x， 2分别是函数 ()xfa和 ()logax的零点（其中 1a） ，则4的取值范围是（ ）A ,) B (4,) C 5,) D (5,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 a， b满足 ， 23ab， 2ab，则 a14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环） ，则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为 15.在平面四边形 ABCD中， 90， 3B， 3A， 5BC，则线段BD的长度为 16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，
5、已知该正方体的棱长为 2，如果任意转动- 4 -该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.每 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.记 nS为数列 na的前 项和，已知 2nS， *nN.（1）求数列 的通项公式；（2）设 1nba，求数列 nb的前 项和 nT.18.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB为等腰梯形， /ADBC，2ABC， E， F分别为线段 ， P的中点.（1）证明： /PD平面 CEF；（2）若
6、 平面 AB， 2，求四面体 PDEF的体积.19. 2018 年 2 月 22 日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 200 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在20,4)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图 1 是设备改造前的样本的频率分布直方图，表 1 是设备改造后的样本的频数分布表.- 5 -表 1：设备改造后样本的频数分布表质量指标值5,20),25),30),35
7、),40),45频数 4 36 96 28 32 4（1）完成下面的 列联表，并判断是否有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前 设备改造后 合计合格品不合格品合计（2）根据图 1 和表 1 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利 180 元，一件不合格品亏损 100 元，用频率估计概率，则生产 1000 件产品企业大约能获利多少元？附： 20()PKk0.150 0.100 0.050 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.63522()
8、(nadbc20.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 (2,1)M在抛物线 C： 2xay上，直线 l：(0)ykxb与抛物线 C交于 A， B两点，且直线 OA， B的斜率之和为-1.（1）求 a和 k的值；（2）若 b，设直线 l与 y轴交于 D点，延长 M与抛物线 C交于点 N，抛物线 C在点- 6 -N处的切线为 n，记直线 ， l与 x轴围成的三角形面积为 S，求 的最小值.21.设函数 221()nfxa， aR.（1）讨论 f的单调性；（2）当 0a时，记 ()fx的最小值为 ()ga，证明： ()1ga.（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果
9、多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，过点 (1,2)P的直线 l的参数方程为123xty（ 为参数）.以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 4sin.（1）求直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 相交于 M， N两点，求 1PN的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()2fxx.（1）求不等式 6的解集；（2）当 xR时， ()fxa恒成立，求实数 a的取值范围.- 7 -参考答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD二、填空题13. 563
10、 14. 2 15. 27 16. 420(,)3三、解答题17.解：（1）由 2nS，得当 n时， 13a；当 2时， 1nn22(1)()n41n.所以 4n.（2） 1nba()43n()143n，所以 4370nT ()129n.18.（1）证明：连接 BE、 D， 交 CE于点 O， E为线段 A的中点， /， 12BAD， BCE，四边形 C为平行四边形， O为 的中点，又 F是 P的中点， /FPD，又 平面 E， 平面 CE， /平面 C. （2）解法一：由（1）知，四边形 BD为平行四边形， BECD，四边形 ABD为等腰梯形， /A， 12A， E，三角形 E是等边三角形，
11、 3，做 H于 ，则 3H，- 8 - PE平面 ABCD， PE平面 A，平面 PD平面 ABC，又平面 平面 ， BH， 平面 ， H平面 ，点 到平面 的距离为 3，又 F为线段 PB的中点，点 F到平面 PA的距离等于点 B到平面 PAD的距离的一半，即 32h，又 122DES， PDEFPEVh3.解法二： /CB， 平面 BEP， 平面 BEP， /CD平面 BEP，点 到平面 的距离等于点 C到平面 的距离，做 TE于点 ，由 ，知三角形 是等边三角形， 3T， P平面 AD， 平面 ，平面 平面 A，又平面 B平面 BE， T， 平面 BCD， CT平面 ，点 C到平面 P的
12、距离为 3，又 F为线段 P的中点， 12EFBES14， 13DEFVST3.18.如图，在四棱锥 ACD中，底面 A为等腰梯形， /ADBC，2ABC， ， 分别为线段 ， PB的中点.（1）证明： /P平面 EF；（2）若 平面 B， 2，求四面体 EF的体积.19.解：（1）根据图 1 和表 1 得到 列联表：设备改造前 设备改造后 合计合格品 172 192 364不合格品 28 8 36合计 200 200 400将 2列联表中的数据代入公式计算得：- 9 -22()(nadbcK240(17289)3641. 1.635，有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备
13、改造有关.（2）根据图 1 和表 1 可知，设备改造后产品为合格品的概率约为 19260，设备改造前产品为合格品的概率约为 72860；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好.（3）用频率估计概率，1000 件产品中大约有 960 件合格品，40 件不合格品，1809640168，所以该企业大约获利 168800 元.20.解：（1）将点 (2,)M代入抛物线 C： 2xay，得 4，2xykb，得 40xkb，设 1,A， 2,By，则 124xk， 124xb，解法一： 12OABkx12x12()，由已知得 12()4，所以 4k， .解法二： 12OABkxb12()bx4k
14、b，由已知得 .（2）在直线 l的方程 yxb中，令 0x得 (,)Db， 12Mk，直线 DM的方程为： 1(2)，即 xy，由 2(1)4bxy，得 2()40bx，解得： x，或 ，所以 2,N，由 2y，得 214x， y，切线 n的斜率 1(2)kb，- 10 -切线 n的方程为： 2()ybx，即 2ybx，由 yx，得直线 l、 n交点 Q，纵坐标 1Q，在直线 b， 2yxb中分别令 0y，得到与 x轴的交点 (,0)Rb， (,)E，所以 12QSRE31，2(3)1bS， ,，当 3(,)b时，函数单调递减；当 (,)b时，函数单调递增；当 2时， S最小值为 27.21.解：（1） ()fx的定义域为 (0,)，231()fxa223xax23()xa，当 0a时， ()0fx， ()f在 ,)上单调递增；当 时，当 ,a， 0x， (f单调递减；当 (,)x， (f， ()f单调递增；综上，当 0时， )x在 ,上单调递增；当 a时， (f在 a上单调递减，在 (,)a上单调递增.（2）由（1）知， min)()xf21ln1lna，即 1()lga.
