1、洛 必达 法则 使用 中的 洛 必达 法则 使用 中的 洛 必达 法则 使用 中的 洛 必达 法则 使用 中的 5 种 常见 错误 种 常见 错误种 常见 错误 种 常见 错误求 极限 是微 积分 中的 一项 非常 基础 和重 要的 工作 。 在 建立 了极 限的 四则 运算 法则 ， 反 函数 求导 法则 ， 以 及复 合函 数极 限运 算法 则和 求导 证明 之后 ， 对 于普 通的 求极 限问 题， 都可 以通 过上 述法 则来 解决 ，但 是对 于形 如：00 0,1,0,00 （ 其中 后面 3 种 可以 通过 AeA l n= 进 行转 换）的 7 种 未定 型， 上述 法则 往往
2、 显得 力不 从心 ，而 有时 只能 是望 尘莫 及。1 7 世 纪 末 期 的 法 国 数 学 家 洛 必 达 给 出 了 一 种 十 分 有 效 的 解 决 方 案 ， 我 们 称 之 为 洛 必 达 法 则（ L , H o s p i t a l R u l e ） 。 虽然 这个 法则 实际 上是 瑞士 数学 家约 翰第 一 . 伯 努力 在通 信中 告诉 洛必 达的 。在 使用 洛必 达法 则解 题过 程中 ， 可 能会 遇到 的一 些常 见误 区和 盲点 。 本 文的 目的 不是 为了 追求 解题 技巧 ，而 是为 了培 养一 种好 的解 题习 惯。 以减 少在 用洛 必达 法则
3、 解题 过程 中可 能出 现的 失误 。 首 先， 复述 洛必 达法 则的 其中 一种 情形 ：H o s p i t a l R u l e ： 1 0)(l i m)(l i m = xgxf axax2 在 某 ),(0 aU 内 ， )() ,( xgxf 存 在， 且 0)( xg3 )( )(l i m xg xfax 存 在（ 或者 ）则 )( )(l i m)( )(l i m xg xfxg xf axax = 失误一 不预处理例 例 例 例 1 错 误： =+ )1(1l i m)(l i ml i m 2101010 xeexx e xxxxxx正 确： + = =+ )
4、1( )1(l i m1l i ml i m 101010 x xexex e xxxxxx 失误二 急躁蛮干例 ： 错解 21126l i m212 6l i m426 33l i m342 23l i m 112 2123 31 = =+ + xxxx x xxx xxxx xx正 确解 ： 53212 6l i m426 33l i m342 23l i m 12 2123 31 = =+ + x xxx xxxx xx xxx例 例 例 例 2 ： 错解 122s i nc osc os c osl i mc oss i n s i nl i ms i nc osl i m 000 =
5、+ +=+= xxxx xexxx xexx xe xxxxxx正 确解 ： =+= xxx xexx xe xxxx c oss i n s i nl i ms i nc osl i m 00更 好的 解法 ： =+= x xex xexx xe xxxxxx 2 s i nl i mc osl i ms i nc osl i m 0200经 验： 先考 虑无 穷小 代换 ( 与 与 与 与 “ “ “ “ 0 ” ” ” ” 结 合 结 合 结 合 结 合 ) ， 后考 虑洛 必达 法则上 面的 例子 启发 我们 ，在 应用 洛必 达法 则之 前要 进行 预处 理， 以简 化计 算例 例
6、例 例 3 402220220 )c os( s i ns i nl i mc oss i ns i nl i m)1( 2s i n21c os1l i m2 x xxxxxx xxxxex xxx xxxx = 313s i nl i mc oss i nl i m 2030 = x xxx xxx xx 失误三 失误三 失误三 失误三 对离散点列求导 对离散点列求导 对离散点列求导 对离散点列求导例 例 例 例 4 求 nn n+ l i m 错 解： 属于 0 型 ，先 进行 变形 1l i ml i ml i m 011l i ml nl i ml n11 =+ + + + + ee
7、eenn nn nnnnnnnn nn错 误原 因： n nnf =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。正 确的 解： 1limlimlim011l i ml nl i ml n11 = + + + + + eeeexx xx xxxxxxxx xx因 为 1l i m =+ xx x 所 以 1l i m = nn n （ 这是 “ 一 般 ” 到 “ 特 殊 ” 的 过程 ） 失误四 )( )(l i m xg xf 异常（既不是常数 A ，也不是 ）例 例 例 例 5 ： ： ： ： 错 解： 1c os1l i ms i nl i m xx xx xx +=
8、+ ， 而 1c os1l i mx x+ 不 存在 ，所 以 x xx s i nl i mx +不存在正 确解 ： 1)1s i n1(l i ms i nl i mxx =+=+ xxx xx 存 在例 例 例 例 6 ： ： ： ： 错 解： xxxx xx xx c os3 s i n2l i ms i n3 c os2l i m =+ ， 因为 xxx c os3 s i n2l i m 不存在，所 以 xx xxx s i n3 c os2l i m +不存在正 确解 ： 32s i n3 c os2l i ms i n3 c os2l i m =+=+ x xx xxx xx
9、xx 失误五 滥用导函数的连续性例 例 例 例 7 设 )( xf 在 某 ),0( U 存 在， 且 2)0(,1)0( = ff 求 )(1l i m 0 xf xx 错 解： 21)0(1)(1l i m)(1l i m 00 = = fxfxf x xx错 误原 因： )( xf 在 x = 0 处 未必 连续 。 （ 选择 题可 以用 此解 法， 这是 一种 策略 ）正 确解 ： 21)0(10 )0()( 1l i m1)( 1l i m)(1l i m 000 = fx fxfxxfxf x xxx （ 导数 定义 ）例 例 例 例 8 )( xf 在 x 处 二阶 可导 ，求
10、20 )()(2)(l i m h hxfxfhxfh +错 解 1 ： h hxfxfhxfh hxfxfhxf hh 2 )()(2)(l i m)()(2)(l i m 020 +=+ +=+ h xfhxfh xfhxfh xfhxfxfhxf hh )()()()(lim21)()()()(lim21 00 )()(l i m21 0 xfxfh 0错 误原 因： 没有 分清 在极 限过 程中 h 和 x 谁 是变 量， 谁是 常量错 解 2 ： h hxfhxfh hxfxfhxf hh 2 )()(l i m)()(2)(l i m 020 +=+ )()()(l i m212
11、)()(l i m 00 xfxfxfhxfhxf hh =+=+ 错 误原 因： 二阶 导函 数未 必连 续， 即： )()(l i m0 xfhxfh =+ 不 一定 成立注 ：由 )( xf 存 在， 但 )( xf 不 一定 连续 ，所 以第 2 个 等号 后面 不符 合罗 必达 法则 的条 件正确解：h hxfhxfh hxfxfhxf hh 2 )()(l i m)()(2)(l i m 020 +=+ +=+ h xfhxfh xfhxfh hxfxfxfhxf hh )()()()(l i m21)()()()(l i m21 00 )() ()(21 xfxfxf =+ （
12、这是 由导 数定 义得 到的 ）经验总结：与 经验总结：与 经验总结：与 经验总结：与 ” ” ” ” 0 ” ” ” ” 结合，先验后导，摇摆失效 结合，先验后导，摇摆失效 结合，先验后导，摇摆失效 结合，先验后导，摇摆失效“ 验 ” 有 三个 方面 ，按 照需 要判 断优 先级 别1 是 不是 ,00 2 f ( x ) , g ( x ) 是 不是 可导 3 )( )(l i m xg xf 是 不是 一个 确定 的常 数或 者 对 于侧 重于 计算 的填 空题 和选 择题 ， 我 们主 要验 证 1 ， 一 般可 以不 必去 验证 2 ， 3 的 验证 级别 最低 。 这 并 不 是 思 维 的 漏 洞 ， 而 是 一 种 策 略 ， 因 为 题 目 对 于 一 般 函 数 都 成 立 ， 则 对 于 特 殊 函 数 一 定 成 立 ；对 于侧 重于 概念 的计 算题 和证 明题 ，要 特别 注意 验证 条件 。 习 题： )c ot1(l i m 220 xxx 答 案 2 / 3
