1、巧设妙求椭圆方程在用待定系数法求椭圆标准方程时,如果求设得当,常可避繁就简,事半功倍现略举几例,寻求几种椭圆方程的巧妙解法例 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点 ,1(02)3AB, , ,求该椭圆的标准方程分析:根据题设条件,并不知道焦点所在的坐标轴,若分两种情况设出椭圆方程,则解答繁琐,而且还要舍去不符合题意的但若设为 ,则包含了焦点在 x 轴上21mxny和焦点在 y 轴上的两种情况,是一个很好的选择解:设所求的椭圆方程为 21(0)mxny, 且椭圆经过两点 和 ,(0)A, 3B,解得4113mn, 4n, 故所求的椭圆标准方程为 21yx例 2 求经过点 且与椭圆
2、有相同焦点的椭圆方程(3), 294分析:椭圆 的焦点为 若设所求方程为 ,2194xy(50), 21(0)xyab则比较麻烦但若设为与椭圆 共焦点的椭圆系方程2xy就简单得多21(4)94xy解:设所求椭圆方程为 21(4)9xy椭圆过点 (3), 解得 , (舍去)941162故所求椭圆方程为 250xy例 3 中心在原点,一个焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的(50)F, 32yx横坐标为 ,求此椭圆的方程12分析:因为椭圆的一个焦点为 ,因此,椭圆方程可设为 但(05), 2150xyb在运算中总含系数 ,运算不便,为此,所求方程我们可设为 ,2b 2()m把 代入消去 y,得 3yx210(5)1(46)0mxm解:设直线与椭圆交于 两点,则 12()ABy, , , 125()x由已知,得 ,解得 ,此时, 1625()m50故所求椭圆方程为 217xy