1、1极 值 点 偏 移 问 题 的 处 理 策 略 及 探 究 -答 案例 1 .（ 2 0 1 0 天 津 理 ） 已 知 函 数 ( ) ( )xf x xe x R ， 如 果 1 2x x ， 且 1 2( ) ( )f x f x ，证 明 ： 1 2 2.x x 【 解 析 】 法 一 ： ( ) (1 ) xf x x e ， 易 得 ( )f x 在 ( ,1) 上单 调 递 增 ， 在 (1, ) 上 单 调 递 减 ， x 时 ，( )f x ， (0) 0f ， x时 ， ( ) 0f x ， 函数 ( )f x 在 1x 处 取 得 极 大 值 (1)f ， 且 1(1)
2、f e ,如 图 所 示 .由 1 2 1 2( ) ( ),f x f x x x ， 不 妨 设 1 2x x ， 则 必 有 1 20 1x x ，构 造 函 数 ( ) (1 ) (1 ), (0,1F x f x f x x ，则 21( ) (1 ) (1 ) ( 1) 0xxxF x f x f x ee ， 所 以 ( )F x 在 (0,1x 上 单 调 递 增 ，( ) (0) 0F x F ， 也 即 (1 ) (1 )f x f x 对 (0,1x 恒 成 立 .由 1 20 1x x ， 则 11 (0,1x ，所 以 1 1 1 1 2(1 (1 ) (2 ) (1
3、 (1 ) ( ) ( )f x f x f x f x f x ， 即 1 2(2 ) ( )f x f x ，又 因 为 1 22 , (1, )x x ， 且 ( )f x 在 (1, ) 上 单 调 递 减 ，所 以 1 22 x x ， 即 证 1 2 2.x x 法 二 ： 欲 证 1 2 2x x ， 即 证 2 12x x ， 由 法 一 知 1 20 1x x ， 故 1 22 , (1, )x x ，又 因 为 ( )f x 在 (1, ) 上 单 调 递 减 ， 故 只 需 证 2 1( ) (2 )f x f x ， 又 因 为 1 2( ) ( )f x f x ，故
4、 也 即 证 1 1( ) (2 )f x f x ， 构 造 函 数 ( ) ( ) (2 ), (0,1)H x f x f x x ， 则 等 价 于 证 明( ) 0H x 对 (0,1)x 恒 成 立 .由 2 21( ) ( ) (2 ) (1 ) 0xxxH x f x f x ee ， 则 ( )H x 在 (0,1)x 上 单 调 递 增 ， 所 以( ) (1) 0H x H ， 即 已 证 明 ( ) 0H x 对 (0,1)x 恒 成 立 ， 故 原 不 等 式 1 2 2x x 亦 成 立 .法 三 ： 由 1 2( ) ( )f x f x ， 得 1 21 2x
5、xxe x e ， 化 简 得 2 1 21x x xe x ，2不 妨 设 2 1x x ， 由 法 一 知 ， 1 21o x x .令 2 1t x x ， 则 2 10,t x t x ， 代 入 式 ，得 11t t xe x ， 反 解 出 1 1t tx e ， 则 1 2 1 22 1t tx x x t te ， 故 要 证 ： 1 2 2x x ，即 证 ： 2 21t t te ， 又 因 为 1 0te ， 等 价 于 证 明 ： 2 ( 2)( 1) 0tt t e ，构 造 函 数 ( ) 2 ( 2)( 1),( 0)tG t t t e t ， 则 ( ) (
6、1) 1, ( ) 0t tG t t e G t te ，故 ( )G t 在 (0, )t 上 单 调 递 增 ， ( ) (0) 0G t G ， 从 而 ( )G t 也 在 (0, )t 上 单 调 递增 ， ( ) (0) 0G t G ， 即 证 式 成 立 ， 也 即 原 不 等 式 1 2 2x x 成 立 .法 四 ： 由 法 三 中 式 ， 两 边 同 时 取 以 e为 底 的 对 数 ， 得 22 1 2 11ln ln lnxx x x xx ， 也 即2 12 1ln ln 1x xx x ， 从 而 22 1 2 1 2 1 21 2 1 2 22 1 2 1 1
7、 11 1ln ln( ) ln ln1xx x x x x x xx x x x xx x x x x xx ，令 21 ( 1)xt tx ， 则 欲 证 ： 1 2 2x x ， 等 价 于 证 明 ： 1ln 21t tt ，构 造 ( 1)ln 2( ) (1 )ln ,( 1)1 1t tM t t tt t ， 则 2 21 2 ln( ) ( 1)t t tM t t t ，又 令 2( ) 1 2 ln ,( 1)t t t t t ， 则 ( ) 2 2(ln 1) 2( 1 ln )t t t t t ， 由 于 1 lnt t 对 (1, )t 恒 成 立 ， 故 (
8、) 0t ， ( )t 在 (1, )t 上 单 调 递 增 ， 所 以 ( ) (1) 0t ，从 而 ( ) 0M t ， 故 ( )M t 在 (1, )t 上 单 调 递 增 ， 由 洛 比 塔 法 则 知 ：1 1 1 1( 1)ln ( 1)ln ) 1lim ( ) lim lim lim(ln ) 21 ( 1)x x x xt t t t tM t tt t t ， 即 证 ( ) 2M t ， 即 证 式 成 立 ， 也 即 原 不 等 式 1 2 2x x 成 立 .【 点 评 】 以 上 四 种 方 法 均 是 为 了 实 现 将 双 变 元 的 不 等 式 转 化 为
9、 单 变 元 不 等 式 ， 方 法 一 、 二 利用 构 造 新 的 函 数 来 达 到 消 元 的 目 的 ， 方 法 三 、 四 则 是 利 用 构 造 新 的 变 元 ， 将 两 个 旧 的 变 元 都换 成 新 变 元 来 表 示 ， 从 而 达 到 消 元 的 目 的 .例 2.已 知 函 数 xaexxf )( 有 两 个 不 同 的 零 点 1 2,x x ， 求 证 ： 221 xx .【 解 析 】 思 路 1： 函 数 ( )f x 的 两 个 零 点 ， 等 价 于 方 程 xxe a 的 两 个 实 根 ， 从 而 这 一 问 题3与 例 1 完 全 等 价 ， 例
10、1 的 四 种 方 法 全 都 可 以 用 ；思 路 2： 也 可 以 利 用 参 数 a 这 个 媒 介 去 构 造 出 新 的 函 数 .解 答 如 下 ：因 为 函 数 ( )f x 有 两 个 零 点 1 2,x x ，所 以 )2( )1(2121 xxaex aex ，由 )2()1( 得 ： )( 2121 xx eeaxx ，要 证 明 1 2 2x x ， 只 要 证 明 1 2( ) 2x xa e e ，由 )2()1( 得 ： 1 21 2 ( )x xx x a e e ， 即 1 21 2x xx xa e e ，即 证 ：1 21 21 2( ) 2x xx xe
11、 ex x e e 211)( 21 2121 xx xxeexx ，不 妨 设 1 2x x ， 记 1 2t x x ， 则 0, 1tt e ，因 此 只 要 证 明 ： 1 21ttet e 01 )1(2 tteet ，再 次 换 元 令 xtxet ln,1 ， 即 证 2( 1)ln 0 (1, )1xx xx 构 造 新 函 数 2( 1)( ) ln 1xF x x x ， 0)1( F求 导 2 2 21 4 ( 1)( ) 0( 1) ( 1)xF x x x x x ， 得 )(xF 在 ),1( 递 增 ，所 以 0)( xF ， 因 此 原 不 等 式 1 2 2x
12、 x 获 证 .【 点 评 】 含 参 数 的 极 值 点 偏 移 问 题 ， 在 原 有 的 两 个 变 元 1 2,x x 的 基 础 上 ， 又 多 了 一 个 参 数 ，故 思 路 很 自 然 的 就 会 想 到 ： 想 尽 一 切 办 法 消 去 参 数 ， 从 而 转 化 成 不 含 参 数 的 问 题 去 解 决 ； 或者 以 参 数 为 媒 介 ， 构 造 出 一 个 变 元 的 新 的 函 数 。例 3.已 知 函 数 ( ) lnf x x ax ， a为 常 数 ， 若 函 数 ( )f x 有 两 个 零 点 1 2,x x ，试 证 明 ： 21 2 .x x e 【
13、 解 析 】 法 一 ： 消 参 转 化 成 无 参 数 问 题 ：ln( ) 0 ln ln xf x x ax x ae ， 1 2,x x 是 方 程 ( ) 0f x 的 两 根 ， 也 是 方程 lnln xx ae 的 两 根 ， 则 1 2ln ,lnx x 是 xx ae ， 设 1 1 2 2ln , lnu x u x ， ( ) xg x xe ， 则1 2( ) ( )g u g u ， 从 而 21 2 1 2 1 2ln ln 2 2x x e x x u u ， 此 问 题 等 价 转 化 成 为 例1 ， 下 略 .法 二 ： 利 用 参 数 a作 为 媒 介
14、， 换 元 后 构 造 新 函 数 ：不 妨 设 1 2x x ， 1 1 2 2ln 0,ln 0x ax x ax ， 1 2 1 2 1 2 1 2ln ln ( ),ln ln ( )x x a x x x x a x x ，4 1 21 2ln lnx x ax x ， 欲 证 明 21 2x x e ， 即 证 1 2ln ln 2x x . 1 2 1 2ln ln ( )x x a x x ， 即 证 1 22a x x ， 原 命 题 等 价 于 证 明 1 21 2 1 2ln ln 2x xx x x x ， 即 证 ： 1 1 22 1 22( )ln x x xx x
15、 x ， 令 12 ,( 1)xt tx ，构 造 2( 1)ln ,1) 1( ttg t tt ， 此 问 题 等 价 转 化 成 为 例 2 中 思 路 二 的 解 答 ， 下 略 .法 三 ： 直 接 换 元 构 造 新 函 数 ：1 2 2 21 2 1 1ln ln ln ,lnx x x xa x x x x 设 21 2 1, ,( 1)xx x t tx ，则 1 12 1 1 1ln ln ln, ln lntx t xx tx t tx x ，反 解 出 ： 1 2 1 1ln ln lnln ,ln ln ln ln ln1 1 1t t t tx x tx t x t
16、t t t ，故 21 2 1 2 1ln ln 2 ln 21tx x e x x tt ， 转 化 成 法 二 ， 下 同 ， 略 .例 4.设 函 数 ( ) ( )xf x e ax a a R ， 其 图 像 与 x 轴 交 于 )0,(,)0,( 21 xBxA 两 点 ， 且21 xx .证 明 ： 1 2( ) 0f x x .【 解 析 】 由 ( ) , ( )x xf x e ax a f x e a ， 易 知 ： a的 取 值 范 围 为 2( , )e ， ( )f x 在( ,ln )a上 单 调 递 减 ， 在 (ln , )a 上 单 调 递 增 .法 一 ：
17、 利 用 通 法 构 造 新 函 数 ， 略 ；法 二 ： 将 旧 变 元 转 换 成 新 变 元 ： 12 12 0,0,xxe ax ae ax a 两 式 相 减 得 ： 2 12 1x xe ea x x ，记 2 1 ,( 0)2x xt t ， 则 1 21 2 2 1 21 2 2 2 1( ) (2 ( )2 2x xx x x x t tx x e e ef e t e ex x t ，设 ( ) 2 ( ),( 0)t tg t t e e t ， 则 ( ) 2 ( ) 0t tg t e e ， 所 以 ( )g t 在 (0, )t 上 单调 递 减 ， 故 ( )
18、(0) 0g t g ,而 1 22 02x xe t ， 所 以 1 2( ) 02x xf ，5又 ( ) xf x e a 是 R 上 的 递 增 函 数 ， 且 1 21 2 2x xx x ， 0)( 21 xxf .容 易 想 到 ， 但 却 是 错 解 的 过 程 ：欲 证 ： 0)( 21 xxf ， 即 要 证 ： 1 2( ) 02x xf ， 亦 要 证 1 22 0x xe a ， 也 即 证 ： 1 2 2x xe a ，很 自 然 会 想 到 ： 对 1 12 21 12 20, ( 1),0, ( 1),x xx xe ax a e a xe ax a e a x
19、 两 式 相 乘 得 ：1 2 2 1 2( 1)( 1)x xe a x x ， 即 证 ： 1 2( 1)( 1) 1x x . 考 虑 用 基 本 不 等 式21 21 2 2( 1)( 1) ( )2x xx x ， 也 即 只 要 证 ： 1 2 4x x .由 于 1 21, lnx x a .当 取 3a e将 得 到 2 3x ， 从 而 1 2 4x x .而 二 元 一 次 不 等 式 1 2 4x x 对 任 意 2( , )a e 不 恒 成立 ， 故 此 法 错 误 .【 迷 惑 】 此 题 为 什 么 两 式 相 减 能 奏 效 ， 而 变 式 相 乘 却 失 败
20、？ 两 式 相 减 的 思 想 基 础 是 什 么 ？ 其他 题 是 否 也 可 以 效 仿 这 两 式 相 减 的 思 路 ?【 解 决 】 此 题 及 很 多 类 似 的 问 题 ， 都 有 着 深 刻 的 高 等 数 学 背 景 .拉 格 朗 日 中 值 定 理 ： 若 函 数 ( )f x 满 足 如 下 条 件 ：（ 1 ） 函 数 在 闭 区 间 , a b 上 连 续 ；（ 2 ） 函 数 在 开 区 间 ( , )a b 内 可 导 ， 则 在 ( , )a b 内 至 少 存 在 一 点 ， 使 得 ( ) ( )( ) f b f af b a .当 ( ) ( )f b
21、f a 时 ， 即 得 到 罗 尔 中 值 定 理 .上 述 问 题 即 对 应 于 罗 尔 中 值 定 理 ，设 函 数 图 像 与 x 轴 交 于 1 2( ,0), ( ,0),A x B x 两 点 ， 因 此2 12 1 1 22 1( ) ( ) (e ) ( )0 0 02x xAB f x f x e a x xk x x ， 2 12 1x xe ea x x ， 由 于 1 2( ) ( ) 0f x f x ， 显 然 1 1( ) ( ) 0f x f x 与 1 1( ) ( ) 0f x f x ， 与 已 知1 2( ) ( ) 0f x f x 不 是 充 要
22、关 系 ， 转 化 的 过 程 中 范 围 发 生 了 改 变 .例 5 .（ 1 1 年 ， 辽 宁 理 ）已 知 函 数 2( ) ln (2 ) .f x x ax a x （ I） 讨 论 ( )f x 的 单 调 性 ；（ II） 设 0a ， 证 明 ： 当 10 x a 时 ， 1 1( ) ( )f x f xa a ；6（ III） 若 函 数 ( )y f x 的 图 像 与 x 轴 交 于 ,A B两 点 ， 线 段 AB 中 点 的 横 坐 标 为 0x ， 证 明 ：0( ) 0f x .【 解 析 】 （ I） 易 得 ： 当 0a 时 ， ( )f x 在 (0,
23、 ) 上 单 调 递 增 ； 当 0a 时 ， ( )f x 在 1(0, )a上 单 调 递 增 ， 在 1( , )a 上 单 调 递 减 .（ II） 法 一 ： 构 造 函 数 1 1 1( ) ( ) ( ),(0 )g x f x f x xa a a ， 利 用 函 数 单 调 性 证 明 ， 方法 上 同 ， 略 ；法 二 ： 构 造 以 a 为 主 元 的 函 数 ， 设 函 数 1 1( ) ( ) ( )h a f x f xa a ， 则( ) ln(1 ) ln(1 ) 2h a ax ax ax ， 3 22 22( ) 21 1 1x x x ah a xax a
24、x a x ， 由 10 x a ，解 得 10 a x ， 当 10 a x 时 ， ( ) 0h a ， 而 (0) 0h ， 所 以 ( ) 0h a ， 故 当 10 x a 时 ， 1 1( ) ( )f x f xa a .（ III） 由 （ I） 知 ， 只 有 当 0a 时 ， 且 ( )f x 的 最 大 值 1( ) 0f a ， 函 数 ( )y f x 才 会 有 两个 零 点 ， 不 妨 设 1 2 1 2( ,0), ( ,0),0A x B x x x ， 则 1 210 x xa ， 故 11 1(0, )xa a ， 由（ II） 得 ： 1 1 1 1 2
25、2 1 1 1 1( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )f x f x f x f x f xa a a a a ， 又 由 ( )f x 在1( , )a 上 单 调 递 减 ， 所 以 2 12x xa ， 于 是 1 20 12x xx a ， 由 （ I） 知 ， 0( ) 0f x .【 问 题 的 进 一 步 探 究 】对 数 平 均 不 等 式 的 介 绍 与 证 明例 1 .（ 2 0 1 0 天 津 理 ） 已 知 函 数 ( ) ( )xf x xe x R ， 如 果 1 2x x ， 且 1 2( ) ( )f x f x ，证 明 ： 1 2 2.x x 【 解
26、析 】 法 五 ： 由 前 述 方 法 四 ， 可 得 1 21 21 ln lnx xx x ， 利 用 对 数 平 均 不 等 式 得 ：1 2 1 21 21 ln ln 2x x x xx x ， 即 证 ： 1 2 2x x ， 秒 证 .说 明 ： 由 于 例 2 ， 例 3 最 终 可 等 价 转 化 成 例 1 的 形 式 ， 故 此 处 对 数 平 均 不 等 式 的 方 法 省 略 .例 4 .设 函 数 )()( Raaaxexf x ， 其 图 像 与 x 轴 交 于 )0,(,)0,( 21 xBxA 两 点 ， 且21 xx .证 明 ： 0)( 21 xxf .7
27、【 解 析 】 法 三 ： 由 前 述 方 法 可 得 ： 1 2 1 21 2 (1 ln )1 1x xe ea x a xx x ， 等 式 两 边 取 以 e为底 的 对 数 ， 得 1 1 2 2ln ln( 1) ln( 1)a x x x x ， 化 简 得 ： 1 21 2( 1) ( 1)1 ln( 1) ln( 1)x xx x ， 由对 数 平 均 不 等 式 知 ： 1 2 1 21 2( 1) ( 1)1 ( 1)( 1)ln( 1) ln( 1)x x x xx x ， 即 1 2 1 2( ) 0x x x x ，故 要 证 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
28、ln( 1) ln( ) 0 1)lnf x x x x a x x x x x x 证 证 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2ln( 1) ln( 1) 2 ln( ( ) 1) 2x x x x x x x x x x x x x x 证 证 1 2 1 2( ) 0x x x x 1 2 1 2ln( ( ) 1) ln1 0x x x x ，而 21 2 1 2 1 22 ( ) 0x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2ln( ( ) 1) 2x x x x x x x x 显 然 成 立 ， 故 原 问 题 得 证 .例 5 .（ 1 1 年 ，
29、 辽 宁 理 ）已 知 函 数 2( ) ln (2 ) .f x x ax a x （ III） 若 函 数 ( )y f x 的 图 像 与 x 轴 交 于 ,A B两 点 ， 线 段 AB 中 点 的 横 坐 标 为 0x ， 证 明 ：0( ) 0f x .【 解 析 】 （ I） （ II） 略 ，（ III） 由 1 2( ) ( ) 0f x f x 2 21 1 1 2 2 2ln (2 ) ln (2 ) 0x ax a x x ax a x 2 21 2 1 2 1 2 1 2ln ln 2( ) ( )x x x x a x x x x 1 2 1 22 21 2 1 2
30、ln ln 2( )x x x xa x x x x 故 要 证 1 20 0 1( ) 0 2x xf x x a 2 21 2 1 2 1 2 1 21 21 2 1 2 1 2 1ln ln2 ln ln 2( ) 2x x x x x x x xx xx x x x x x 1 21 2 1 2ln ln2 x xx x x x .根 据 对 数 平 均 不 等 ， 此 不 等 式 显 然 成 立 ， 故 原 不 等 式 得 证 .8练 习 1 ： （ 2 0 1 5 长 春 四 模 题 ） 已 知 函 数 ( ) xf x e ax 有 两 个 零 点 1 2x x ， 则 下 列
31、说 法 错 误的 是A. a e B. 1 2 2x x C. 1 2 1x x D.有 极 小 值 点 0x ， 且 1 2 02x x x 【答案】C【解析】函数( )f x导函数：( ) xf x e a 有极值点lnx a，而极值(ln ) ln 0f a a a a ，a e ，A正确.( )f x有两个零点：1 1 0xe ax ，2 2 0xe ax ，即：1 1ln lnx a x 2 2ln lnx a x -得：1 2 1 2ln lnx x x x 根据对数平均值不等式：1 2 1 2 1 21 2 12 ln lnx x x x x xx x 1 2 2x x ，而1
32、21 x x，1 2 1x x B正确，C错误而+得：1 2 1 22ln ln 2lnx x a x x a ，即D成立.练 习 2： （ 2016 年 新 课 标 I 卷 理 数 压 轴 21 题 ） 已 知 函 数 2)1()2()( xaexxf x 有 两 个零 点 21,xx .证 明 ： 1 2 2x x .【 解 析 】 由 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x ， 得 ( ) ( 1)( 2 )xf x x e a ， 可 知 ( )f x 在 ( ,1)上 单 调 递 减 ， 在 (1, ) 上 单 调 递 增 .要 使 函 数 ( )y f x 有 两 个
33、 零 点 1 2,x x ， 则 必 须 0a .法 一 ： 构 造 部 分 对 称 函 数不 妨 设 1 2x x ， 由 单 调 性 知 1 2( ,1), (1, )x x ， 所 以 22 ( ,1)x ， 又 ( )f x 在( ,1) 单 调 递 减 ， 故 要 证 ： 1 2 2x x ， 等 价 于 证 明 ： 2 1(2 ) ( ) 0f x f x ，又 22 22 2 2(2 ) ( 1)xf x x e a x ， 且 2 22 2 2( ) ( 2) ( 1) 0xf x x e a x 9 2 222 2 2(2 ) ( 2)x xf x x e x e ， 构 造
34、 函 数 2g( ) ( 2) ,( (1, )x xx xe x e x ，由 单 调 性 可 证 ， 此 处 略 .法 二 ： 参 变 分 离 再 构 造 差 量 函 数由 已 知 得 ： 1 2 0f x f x ， 不 难 发 现 1 1x ， 2 1x ，故 可 整 理 得 ： 1 21 22 21 22 21 1x xx e x ea x x 设 221 xx eg x x ， 则 1 2g x g x那 么 2 32 1 1 xxg x ex ， 当 1x 时 ， 0g x ， g x 单 调 递 减 ； 当 1x 时 ， 0g x ， g x 单 调 递 增 设 0m ， 构
35、造 代 数 式 ： 1 1 1 22 2 21 1 1 11 1 11m m m mm m m mg m g m e e e em m m m 设 21 11 mmh m em ， 0m则 2 222 01 mmh m em ， 故 h m 单 调 递 增 ， 有 0 0h m h 因 此 ， 对 于 任 意 的 0m ， 1 1g m g m 由 1 2g x g x 可 知 1x 、 2x 不 可 能 在 g x 的 同 一 个 单 调 区 间 上 ， 不 妨 设 1 2x x ， 则必 有 1 21x x 令 11 0m x ， 则 有 1 1 1 1 21 1 1 1 2g x g x
36、 g x g x g x 而 12 1x ， 2 1x ， g x 在 1, 上 单 调 递 增 ， 因 此 ： 1 2 1 22 2g x g x x x 整 理 得 ： 1 2 2x x 法 三 ： 参 变 分 离 再 构 造 对 称 函 数由 法 二 ， 得 221 xx eg x x ， 构 造 ( ) ( ) (2 ),( ( ,1)G x g x g x x ， 利 用 单 调 性 可 证 ，此 处 略 .法 四 ： 构 造 加 强 函 数1 0【 分 析 说 明 】 由 于 原 函 数 ( )f x 的 不 对 称 ， 故 希 望 构 造 一 个 关 于 直 线 1x 对 称 的
37、 函 数 g( )x ，使 得 当 1x 时 ， ( ) ( )f x g x ， 当 1x 时 ， ( ) ( )f x g x ， 结 合 图 像 ， 易 证 原 不 等 式 成 立 .【 解 答 】 由 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x ， ( ) ( 1)( 2 )xf x x e a ， 故 希 望 构 造 一 个 函 数( )F x ， 使 得 ( 1)( 2 ) ( 1)( 2 ) ( 1)( )( ) x xx e a x e a x eF ex ， 从 而 ( )F x 在( ,1) 上 单 调 递 增 ， 在 (1, ) 上 单 调 递 增 ， 从 而
38、构 造 出 2( 2 )( 1)( ) 2e a xg x c （ c为任 意 常 数 ） ， 又 因 为 我 们 希 望 (1) 0F ， 而 (1)f e ， 故 取 c e ， 从 而 达 到 目 的 .故2( 2 )( 1)( ) 2e a xg x e ， 设 ( )g x 的 两 个 零 点 为 3 4,x x ， 结 合 图 像 可 知 ：1 3 2 41x x x x ， 所 以 1 2 3 4 2x x x x ， 即 原 不 等 式 得 证 .法 五 ： 利 用 “对 数 平 均 ”不 等 式 1 21 2 1 22 21 2(2 ) (2 ) , 0, 1 2,( 1)
39、( 1)x xx e x ea a x xx x 参 变 分 离 得 ： 由 得1 21 22 21 2(2 ) (2 )ln ln( 1) ( 1)x xe x xx x 将 上 述 等 式 两 边 取 以 为 底 的 对 数 ， 得 ： ,2 21 2 1 2 1 2ln( -1) -ln( -1) -ln(2- )-ln(2- )x x x x x x 化 简 得 ： ,2 21 2 1 21 2 1 22 21 2 1 21 2 2 21 2 1 2ln( -1) -ln( -1) ln(2- )-ln(2- )1 -ln( -1) -ln( -1) ln(2- )-ln(2- )(
40、1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2x x x xx x x xx x x xx x x x x x 故 ： （ ） （ ）由 对 数 平 均 不 等 式 得 ：2 21 22 2 2 21 2 1 2ln( -1) -ln( -1) 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x xx x x x ，1 21 2 1 2ln(2- )-ln(2- ) 22 2 2 2x xx x x x （ ） （ ） （ ） （ ） ，从 而 1 22 21 2 1 22( 2) 21 ( 1) ( 1) 2 2x xx x x x （ ） （ ）1 2 1 2 1 22 21 2 1 22( 2) 4
41、 ( ) 2( 1) ( 1) 4 ( )x x x x x xx x x x 1 11 2 1 22 21 2 1 22( 2) 21( 1) ( 1) 4 ( )x x x xx x x x 等 价 于 ： 1 2 1 22 21 2 1 22( 2) 20 ( 1) ( 1) 4 ( )x x x xx x x x 1 2 2 21 2 1 22 1( 2) ( 1) ( 1) 4 ( )x x x x x x 由 2 21 2 1 2( 1) ( 1) 0,4 ( ) 0x x x x ， 故 1 2 2x x ， 证 毕 .练 习 3： 已 知 函 数 ( ) lnf x x x 与
42、 直 线 y m 交 于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 两 点 .求 证 ： 1 2 210 x x e 【解析】由1 1ln x x m，2 2ln x x m，可得：1 1lnmx x，2 2lnmx x-得：2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2ln ln( )ln ln ln ln ln ln x x x x mx x m x x x x x x+得：2 11 2 1 2(ln ln )ln lnm x xx x x x 根据对数平均值不等式1 2 1 21 2 ( )2 ln ln x x m x xx x利用式可得：1 21 2 1 2(ln ln )2ln ln ln lnm x x mx x x x 由题于y m与lny x x交于不同两点，易得出则0m上式简化为: 21 2ln( ) 2 lnx x e 1 2 210 x x e
