1、圆锥曲线三种弦长问题的探究一、一般弦长计算问题：例 1、已知椭圆 ，直线 被椭圆 C 截得的弦长为2:10xyCab1:xylab，且 ，过椭圆 C 的右焦点且斜率为 的直线 被椭圆 C 截的弦长 AB，263e 32l求椭圆的方程；弦 AB 的长度.思路分析：把直线 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.2l解析：由 被椭圆 C 截得的弦长为 ，得 ，1228ab又 ，即 ，所以 .63e2ca3a联立得 ，所以所求的椭圆的方程为 .2,b216xy椭圆的右焦点 ， 的方程为： ， ,0F2l3代入椭圆 C 的方程，化简得， 5180x由韦达定理知， 1226,x从而 ，12121
2、245x由弦长公式，得 ，221 6435ABk即弦 AB 的长度为 465点评：本题抓住 的特点简便地得出方程，再根据 得方程，从而求得待定系数 ，1l e2,ab得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。二、中点弦长问题：例 2、过点 作抛物线 的弦 AB，恰被点 P 平分，求 AB 的所在直线方程及弦4,P28yxAB 的长度。思路分析：因为所求弦通过定点 P，所以弦 AB 所在直线方程关键是求出斜率 ，有 P 是弦k的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法 1：设以 P 为中点的弦 AB 端点坐标为 ，12,AxyB则有 ，两式
3、相减，得2218,yx 1128x又 12128,xy则 ，所以所求直线 AB 的方程为 ，即 .214k 14yx150xy解法 2：设 AB 所在的直线方程为 4ykx由 ，整理得 .248ykx2830设 ，由韦达定理得 ，12,ABy128yk又P 是 AB 的中点， ，124所以所求直线 AB 的方程为 .450xy由 整理得， ，则241508xy231212,30yy有弦长公式得， .2 221112574kkABy点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例 3、 （同例 1、）另解：椭圆的右焦点 ， 的方程为： ， 2,0F2l32yx代入椭圆 C 的方程 ，化简得，2316yx251860由韦达定理知， 121286,5xx由 过右焦点，有焦半径公式的弦长为 .2l 12465ABaex即弦 AB 的长度为 465点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.
