1、带电粒子在电磁场中的运动图形赏析一 “扇面“图形例 1 如图所示，在半径为 R 的圆范围内有匀强磁场，一个电子从点沿半径方向以射入，从点射出，速度方向偏转了 0 则电子从到运动的时间是（ ） B C D vR2v3v3解析 选 过，两点分别做 ， 则粒子运动轨道形成一“扇面“图形，如图所示，圆心角 又由 r= = = R 和 T= ，得 qm0tanBqm2T= ，所以电子从 M 到 N 运动时间 t= = vR3 2 T2 3= 估选 D。 二 “心脏”图形例 2 如图所示,以 ab 为分界面的两个匀强磁场,方向均垂直于纸面向里,其磁感应强度 B1=2B2,现有一质量为 m,带电量为+q 的
2、粒子,从 O 点沿图示方向以速度 v 进入 B1 中,经过时间 t= 粒子重新回到 O 点(重力不计)解析 粒子重新回到 O 点时其运动轨道如图所示 ,形成一”心脏”图形.由图可知，粒子在 B1 中运动时间 t1=T1= 粒子在 B2qm2中的运动时间为 t2= T2= 所以粒子运动的总时间 t= t1+ qmt2= + = 或qBm1214三 “螺旋线”图形例 3 如图所示,水平放置的厚度均匀的铝箔,置于匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向里,一带电粒子进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动,粒子每次穿过铝箔时损失的能量都相同,如图中两圆弧半径 R=20cm, R=19cm,则该粒子总共能穿过铝箔的次
3、数是多少 ?解析 由 R= 及 EK= mv2 得:：E K= 所以每次Bqmv1mRBq2动能损失： EK= EK1- EK2= 所以粒子总q1共能穿过铝箔的次数： = = K1 2R21.0.3.故 n=10 次 粒子在每次穿过铝箔后其轨迹形成如图所示的一条“螺旋线”图形四 “拱桥”图形例 4 如图所示,在 x 轴上方有垂直于 xy 平面的匀强磁场, 磁感应强度为 B,在 x 轴下方有沿 y 轴负方向的匀强电场,场强为 E，一质量为 m，电量为q 的粒子从坐标原点O 沿着 y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达 x 轴时，它与 O 点的距离为 L，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程（重力
4、不记）解析 画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥“图形。由题知粒子轨道半径 R= ，所以由牛顿定律知粒子运动4速率为 v= = 对粒子进入电场后沿 y 轴负方向mBqRL做减速运动的最大路程 y 由动能定理知： =qEy，得21mvy= 所以粒子运动的总路程为 s= LE32 EqB6五“葡萄串”图形例 5 如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属板，板长 L=1.4m,板距 d=30cm。两板间有B=1.25T,垂直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图（乙）所示的脉冲电压。在 t=0 时，质量 m=210-15kg，电量为 q=110-10C 的正离子，以速度为 4103m/s 从两板中间水平
5、射入。试求：粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。解析 在第一个 10-4s 内，电场,磁场同时存在，离子受电场力，洛仑兹力分别为 F 电 =qE= 10-7N,方向由左手定则知向上，粒子做匀速直线运动。位移 s=vt=0.4m. 第二个5dqU10-4s 内，只有磁场，离子做匀速圆周运动， r= =6.410-Bqmv02m ,不会碰板，时间 T= =110-4s，即正巧在无电场4qB12时离子转满一周。易知以后重复上述运动，故轨迹如图所示，形成“葡萄串”图形六 “字母 S”图形例 6 如图所示，一个初速为 0 的带正电的粒子经过 M，N 两平行板间电场加速后，从 N 板上的孔射出，当带电粒子到
6、达 P 点时，长方形 abcd 区域中出现大小不变，方向垂直于纸面且交替变化的匀强磁场，磁感应强度 B=0.4T,每经过t= 10-3s，磁场方向变化一次，粒子到达 P 点时出现的磁场方向指向纸外，在 Q 处有一4静止的中性粒子，PQ 距离 s=3.0m，带电粒子的比荷是 1.0104C/kg,不计重力。求：（1）加速电压为 200V 时带电粒子能否与中性粒子碰撞？（ 2）画出它的轨迹解析 （1）粒子在 M，N 板间加速时由动能定理得到达 P 点时的速度：qU = 即：2mvv= = m/s=2103m/s 方向水平向右。此时 P 点出现垂直于纸mqU2410.面向外的磁场，所以粒子由于受到洛
7、伦兹力做圆周运动的周期为：T= = 10-3s=2tBq2即粒子运动半周磁场方向改变，此时粒子速度方向变为水平向右，故粒子又在 PQ 右边做匀速圆周运动，以后重复下去，粒子做匀速圆周运动的轨道半径 r= =0.5m 所以粒子做半圆周运动个数为 n= = =3 所以Bqv rs2m5.03带电粒子能与中性粒子相遇。（2）依（1）知带电粒子的轨迹如图所示，形成“葡萄串”图形七 “心连心”图形例 7 如图所示，一理想磁场以 x 轴为界上，下方磁场的磁感应强度是上方磁感应强度 B 的两倍，今有一质量为 m，带电量为 +q 的粒子，从原点 O 沿 y 轴正方向以速度 v0 射入磁场中，求此粒子从开始进入
8、磁场到第四次通过 x 轴的位置和时间（忽略重力）解析 由 r= 知粒子在 x 轴上方做圆周运动的轨道半径qmvr1= ，在 x 轴下方做圆周运动的轨道半径 r2= 所以 r1=2 Bqv0 Bqv0r2，现作出带电粒子的运动的轨迹如图所示，形成“心连心”图形 所以粒子第四次经过 x 轴的位置和时间分别为：x=2r1= ， t=T1+T2= + =mv0Bqm3例 8 如图两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a，b，c 和 d，外筒的外半径为 r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线的匀强磁场，磁感应强度 B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径
9、向外的电场。一质量为 m，带电量为+q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发，初速为 0。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S，则两电极之间的电压 U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）解析 带电粒子从 S 点出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出 a 而进入磁场区在洛伦兹力作用下做圆周运动，粒子再回到 S 点的条件是能依次沿径向穿过狭缝 d，c，b。在各狭缝中粒子在电场力作用下先减速，在反向加速，然后从新进入磁场区，如图所示 设粒子进入磁场区时的速度为 v，根据能量守恒有：qU = 设粒子在洛伦兹力作用下做圆21mv周运动的半径为 R，由洛伦兹力公式
10、和牛顿定律得： m =qvB 粒子从 a 到 d 必须经过R圆周，所以半径 R 必定等于筒的外半径 r0，即 R= r0， 由以上各式解得：U=43 mBqr20一、磁场范围为圆形例 1 一质量为 、带电量为 的粒子以速度 从 O 点沿 轴正方向射入磁感强度为 的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从 处穿过 轴，速度方向与 轴正向夹角为 30，如图 1 所示（粒子重力忽略不计）。 试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从 O 点进入磁场区到达 点所经历的时间；（3） 点的坐标。解析：（1）由题可知，粒子不可能直接由 点经半个圆周偏转到 点，其必在圆周运动不到半圈时
11、离开磁场区域后沿直线运动到点。可知，其离开磁场时的临界点与 点都在圆周上，到圆心的距离必相等。如图 2，过 点逆着速度 的方向作虚线，与轴相交，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于 轴上，距 O 点距离和到虚线上 点垂直距离相等的 点即为圆周运动的圆心，圆的半径 。由 ，得 。弦长 为： ，要使圆形磁场区域面积最小，半径应为 的一半，即： ， 面积（2）粒子运动的圆心角为 1200，时间 。（3） 距离 ，故 点的坐标为（ ，0）。二、磁场范围为矩形例 2 如图 3 所示，直角坐标系 第一象限的区域存在沿 轴正方向的匀强电场。现有一质量为 ，电量为 的电子从第一象限的某点 （ ， ）以初
12、速度 沿 轴的负方向开始运动，经过 轴上的点 （ ，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与 轴、 轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点 O，并沿 轴的正方向运动，不计电子的重力。求（1）电子经过 点的速度 ；（2）该匀强磁场的磁感应强度 和磁场的最小面积 。解析：（1）电子从 点开始在电场力作用下作类平抛运动运动到 点，可知竖直方向：，水平方向： 。解得 。而 ，所以电子经过 点时的速度为：，设 与 方向的夹角为 ，可知 ，所以30 0。（2）如图 4，电子以与 成 30进入第四象限后先沿 做匀速直线运动，然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动
13、恰好以沿 轴向上的速度经过 点。可知圆周运动的圆心 一定在轴上，且 点到 O 点的距离与到直线 上M 点（ M 点即为磁场的边界点）的垂直距离相等，找出 点，画出其运动的部分轨迹为弧 MNO，所以磁场的右边界和下边界就确定了。设偏转半径为 ， ，由图知 ，解得 ，方向垂直纸面向里。矩形磁场的长度 ，宽度 。矩形磁场的最小面积为：点评：此题中粒子进入第四象限后的运动即为例 1 中运动的逆过程，解题思路相似，关键要注意矩形磁场边界的确定。三、磁场范围为三角形例 3 如图 5，一个质量为 ，带 电量的粒子在 BC 边上的 M 点以速度垂直于 BC 边飞入正三角形 ABC。为了使该粒子能在 AC 边上
14、的 N 点（ CM CN）垂真于 AC 边飞出 ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：（1）粒子在磁场里运动的轨道半径 及周期T；（2）该粒子在磁场里运动的时间 t；（3）该正三角形区域磁场的最小边长；解析：（1）由 和 ，得： ， （2）由题意可知，粒子刚进入磁场时应该先向左偏转，不可能直接在磁场中由 M 点作圆周运动到 N 点，当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时，其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径，如图 6 作出圆 O，粒子的运动轨迹为弧 GDEF，圆弧在 点与初速度方向相切，在 F
15、点与出射速度相切。画出三角形，其与圆弧在 D、 E 两点相切，并与圆 交于 F、 G 两点，此为符合题意的最小磁场区域。由数学知识可知FOG60 0，所以粒子偏转的圆心角为 3000，运动的时间 （3）连接 并延长与 交与 点，由图可知 ， ，四、磁场范围为树叶形例 4 在 平面内有许多电子（质量为 、电量为 ），从坐标 O 不断以相同速率 沿不同方向射入第一象限，如图 7 所示。现加一个垂直于 平面向内、磁感强度为 的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于 轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。解析：电子在磁场中运动半径 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子可能的运动轨道如图 8
16、所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，其中圆 O1和圆 O2为从圆点射出，经第一象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆。圆 O2在 轴上方的 个圆弧 odb 就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心，以 R 为半径的圆弧 O1OmO2 。由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场，故由几何知识知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。可证明，磁场下边界为一段圆弧，只需将这些圆心连线（图中虚线O1O2）向上平移一段长度为 的距离即图 9 中的弧 ocb 就是这些圆的最高点的连线，即为磁场区域的下边界。两边界之间图形的阴影区域面积即为所求磁场区域面积： 。还可根据圆的知识求出磁场的下边界。设某电子的速度 V0与 x 轴夹角为 ，若离开磁场速度变为水平方向时，其射出点也就是轨迹与磁场边界的交点坐标为（ x， y），从图 10 中看出， ，即（ x0， y0），这是个圆方程，圆心在（0， R）处，圆的 圆弧部分即为磁场区域的下边界。
