1、秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education Group 通锡苏学大个研院 1技巧八 平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时，可以用等值线法。二、基本理论（一）平面向量共线定理 三点共线；反之亦然，则若已知 CBAOCOBOA ,1, （二）等和线平面内一组基底 OBOA, 及任一向量OP， ROBOAOP , ，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则 )(定值k ,反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线。（1）当等和线恰为直线AB时， 1k ；（2）当等和线在O
2、点和直线AB之间时， 1,0k ；（3）当直线AB在O点和等和线之间时， ，1k ；（4）当等和线过O点时， 0k ；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比；（三）等差线平面内一组基底 OBOA, 及任一向量OP， ROBOAOP , ，C为线段AB的中点，若点P在直线OC上或在平行于OC的直线上，则)(定值k ,反之也成立，我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等差线。（1）当等差线恰为直线OC时， 0k ；（2）当等差线过A点时， 1k ；（3）当等差线在直线OC与点A之间时， 1,0k ；（4）当等差线与BA延长线相交时， ，1
3、k ；（5）若两等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数；秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education Group 通锡苏学大个研院 2（四）等积线平面内一组基底 OBOA, 及任一向量OP， ROBOAOP , ，若点P在以直线 OBOA, 为渐近线的双曲线上，则为定值k，反之也成立，我们把以直线 OBOA, 为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在 AOB 内时， 0k ；（2）当双曲线的两支都不在 AOB 内时， 0k ；（3）特别的，若 baOBbaOA , ，点P在双曲线)0,0(12222 babyax 时， 41k ；（五）等商线平面内一组基底
4、 OBOA, 及任一向量OP， ROBOAOP , ，若点P在过O点（不与OA重合）的直线上，则 )(定值k ，反之也成立。我们把过点O的直线（除OA外）称为等商线。（1）当等商线过AB中点时， 1k ；（2）当等商线与线段AC（除端点）相交时， ，1k ；（3）当等商线与线段BC（除端点）相交时， 1,0k ；（4）当等商线即为OB时， 0k ；（5）当等商线与线段BA延长线相交时， 1,k ；（6）当等商线与线段AB延长线相交时， 0,1k ；（7）当等商线与直线AB平行时， 1k ；（六）等平方和线平面内一组基底 OBOA, 及任一向量OP， ROBOAOP , ，且OBOA ，若点P在
5、以 AOB 角平分线为半长轴的椭圆上，则 22 为定值k，反之也成立，我们把以以 AOB 角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education Group 通锡苏学大个研院 3特别的，若 baOBbaOA , ，点P在双椭圆 )0,0(12222 babyax时， 21k ；三、解题步骤1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先
6、平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和或差；五、典型例题例1 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若 OByOAxOC ，其中 Ryx ， ，则yx 的最大值是_.答案：2例2 在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设AP xAB yAF ,则 yx 的取值范围_答案： 4,3秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education Group 通锡苏学大个研院 4例3 如图，在平行四边形ABCD中，M、N为CD边的三等
7、分点，S为AM与BN的交点，P为边AB边上一动点，Q为SMN内一点（含边界），若,BNyAMxPQ 则 yx 的取值范围是_.答案： 1,43例4 梯形ABCD中， ABAD ， PABDCAD ,3,1 为三角形BCD内一点（包括边界），AP xAB yAD ，则 yx 的取值范围_答案： 341，例5 设 ED, 分别是 ABC 的边 BCAB, 上的点， ABAD 21 , BCBE 32 ,若ACABDE 21 ( 21, 为实数)，则 21 的值为_.（注：此题为13江苏高考题第8题，但点E为三等分的条件其实没有必要，可舍）答案：21例6 在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB
8、为直径的半圆弧上任意一点，设AE xAD yAP ，则 yx2 的最小值为_.答案：1秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education Group 通锡苏学大个研院 5例7 在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设AC xDE yAP ,则 yx 的最小值为_答案：21例8 已知 1 ONOM ，OP xOM yON ( yx, 为实数)若PMN是以M为直角顶点的直角三角形，则 yx 取值的集合为_答案：1例9 已知椭圆 125100: 22 yxE 的上顶点为A，直线 4y 交椭圆于 CB, （B在C的左侧），点P在椭圆E上，若
9、BCnBAmBP ,求 nm 的最大值答案： 18 13105 例10 ,32,1),0,2(),0,0( BACACBAABCO 的外心，若为已知 且ACABAO ，则 _ 答案： 613秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education Group 通锡苏学大个研院 6例11 ,31cos BACABCO 的外心，若为已知 ACABAO 则 _max 答案：43例12 平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120，OA与OC的夹角为30,且|OA|OB|1，|OC| 32 ，若 OBnOAmOC ,则 nm 的值为 _答案：6,0例13 如图， CBA
10、 , 是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若 OBnOAmOC ，则 nm 的取值范围为_.答案： 0,1-例14 在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为( 5,0)，1 (2,1)e 、 2 (2, 1)e 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点P，若 1 2OP ae be （a、b R ），则a、b满足的一个等式是_.答案： 14 ab例15 已知 ,0,3,1 OBOAOBOA 点 030 AOCAOBC 内，且在 ，设OBnOAmOC ，则nm的值为_.答案：3秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education
11、Group 通锡苏学大个研院 7例16 如图，倾斜角为的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，单位圆与坐标轴交于点 )0,1(A ，点 )1,0( B ，PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设 ),( RyxPNyPMxPO ， ，求 yx 的最小值。答案： 2例17 如图，在扇形OAB中，AOB=60，C为弧AB上且不与A、B重合的一个动点， OByOAxOC ，若 )0( yxu 存在最大值，则的取值范围为_.答案： 2,21例18 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点 BA, 满足,2 OBOAOBOA 则点集 ROBOAOPP ,1,| 所表示的区域面积为_.答案： 34例19 已知 ba, 是两个互相垂直的单位向量，且 1 bcac ，则对任意的正实数t， btatc 1 的最小值为_.答案： 22秒 杀系 列课 程之 技巧 篇学大教育集团Xue Education Group 通锡苏学大个研院 8例20 ABC 中， ,163,sincossin ABACBCCBA ， 点P为线段AB边上一动点， CBCByCACAxCP ，则xy的最大值为_答案：3
