1、1 技 巧 八 平 面 向 量 基 本 定 理 系 数 的 等 值 线 法 一、 适用 题型 在平面向量基本定理的表达式中， 若需研究两系数的和差积商、 线性表达 式及平方和时，可以用等值线法。 二、 基本 理论 （一）平面 向量 共线定 理 三点共线；反之亦然 ，则 若 已知 C B A O C O B O A , , 1 , （二 ） 等和 线 平面内一组基底 O B O A , 及任一向量 O P ， R O B O A O P , ，若 点 P 在直线 A B 上或在平行于 A B 的直线上，则 ) ( 定值 k , 反之也成立， 我 们把直线 A B 以及与直线 A B 平行的直线成
2、为等和线。 （1）当等和线恰为直线 A B 时， 1 k ； （ 2 ）当等和线在 O 点和直线 A B 之间时， 1 , 0 k ； （ 3 ）当直线 A B 在 O 点和等和线之间时， ， 1 k ； （4）当等和线过 O 点时， 0 k ； （5）若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数； （6）定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比； （三 ） 等差 线 平面内一组基底 O B O A , 及任一向量 O P ， R O B O A O P , ， C 为 线段 A B 的中点，若点 P 在直线 O C 上或在平行于 O C 的直线上，则 ) ( 定值 k , 反之也
3、成立， 我们把直线 O C 以及与直线 O C 平行的直线称为等 差线。 （1）当等差线恰为直线 O C 时， 0 k ； （2）当等差线过 A 点时， 1 k ； （ 3 ）当等差线在直线 O C 与点 A 之间时， 1 , 0 k ； （ 4 ）当等差线与 B A 延长线相交时， ， 1 k ； （5）若两等差线关于直线 O C 对称，则两定值 k 互为相反数；2 （四 ） 等积 线 平面内一组基底 O B O A , 及任一向量 O P ， R O B O A O P , ，若 点 P 在以直线 O B O A , 为渐近线的双曲线上， 则 为定值 k ， 反之也成立， 我们 把以直线
4、O B O A , 为渐近线的双曲线称为等积线 （1）当双曲线有一支在 A O B 内时， 0 k ； （2）当双曲线的两支都不在 A O B 内时， 0 k ； （3）特别的，若 b a O B b a O A , , , ，点 P 在双曲线 ) 0 , 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 时， 4 1 k ； （五 ）等 商线 平面内一组基底 O B O A , 及任一向量 O P ， R O B O A O P , ， 若 点 P 在过 O 点（不与 O A 重合）的直线上，则 ) ( 定值 k ，反之也成立。我们 把过点 O 的直线（除 O A 外）称为等商线。 （1）
5、当等商线过 A B 中点时， 1 k ； （ 2 ）当等商线与线段 A C （除端点）相交时， ， 1 k ； （ 3 ）当等商线与线段 B C （除端点）相交时， 1 , 0 k ； （4）当等商线即为 O B 时， 0 k ； （ 5 ）当等商线与线段 B A 延长线相交时， 1 , k ； （ 6 ）当等商线与线段 A B 延长线相交时， 0 , 1 k ； （7）当等商线与直线 A B 平行时， 1 k ； （六）等 平方 和 线 平面内一组基底 O B O A , 及任一向量 O P ， R O B O A O P , ，且 O B O A ， 若点 P 在以 A O B 角平分线为
6、半长轴的椭圆上， 则 2 2 为定值 k ， 反之也成立，我们把以以 A O B 角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。3 特别的， 若 b a O B b a O A , , , ， 点 P 在双椭圆 ) 0 , 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x 时， 2 1 k ； 三、 解题 步骤 1、确定等值线为 1 的线； 2、平移 （ 旋转或伸缩） 该线， 结合动点的可行域 ， 分析何处取得最大值和最小 值； 3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值； 四、 几点 补充 1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致， 若不一致， 本着 少数服从多数的原则，优
7、先平移固定的向量； 2、若需要研究的是两系数的线性关系， 则需要通过变换基底向量 ， 使得需要研 究的代数式为基底的系数和或差； 五、 典型 例题 例 1 给定两个长度为 1 的平面向量 O A 和 O B ， 它们的夹角为 120， 如图所示 ， 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 A B 上变动.若 O B y O A x O C ，其中 R y x ， ，则 y x 的最大值是 _. 答案：2 例 2 在 正 六 边 形 A B C D E F 中 ， P 是 三 角 形 C D E 内 （ 包 括 边 界 ） 的 动 点 ， 设 A P x A B y A F ,则 y x 的取值范围_
8、答案： 4 , 34 例 3 如图， 在平行四边形 A B C D 中， M 、 N 为 C D 边的三等分点， S 为 A M 与 B N 的交点， P 为边 A B 边上一动点， Q 为 S M N 内一点（含边界） ，若 , B N y A M x P Q 则 y x 的取值范围是_. 答案： 3 4 1 ， 例 4 梯形 A B C D 中， A B A D ， P A B D C A D , 3 , 1 为三角形 B C D 内一点 （包 括 边 界 ） ， A P x A B y A D ， 则 y x 的 取 值 范 围 _ 答 案 ： 3 4 1 ， 例 5 设 E D , 分
9、别是 A B C 的边 B C A B , 上的点， A B A D 2 1 , B C B E 3 2 , 若 A C A B D E 2 1 ( 2 1 , 为实数 ) ，则 2 1 的值为_. （注：此题为 13 江苏高考题第 8 题，但点 E 为三等分的条件其实没有必要， 可 舍） 答案： 2 15 例 5 在正方形 A B C D 中， E 为 B C 中点， P 为以 A B 为直径的半圆弧上任意一点， 设 A E x A D y A P ，则 y x 2 的最小值为_. 答案：1 例 6 在正方形 A B C D 中， E 为 A B 中点， P 为以 A 为圆心， A B 为半
10、径的圆弧上 的任意一点，设 A C x D E y A P ,则 y x 的最小值为_ 答案： 2 1 例 7 已知 1 O N O M ， O P x O M y O N ( y x , 为实数) 若 P M N 是以 M 为 直角顶点的直角三角形，则 y x 取值的集合为 _ 答案： 16 例 8 已知椭圆 1 25 100 : 2 2 y x E 的上顶点为 A ， 直线 4 y 交椭圆于 C B , （ B 在 C 的左侧） ，点 P 在椭圆 E 上，若 B C n B A m B P ,求 n m 的最大值 答案： 18 13 10 5 例 9 , 3 2 , 1 ) , 0 , 2
11、 ( ) , 0 , 0 ( B A C A C B A A B C O 的外心，若 为 已知 且 A C A B A O ，则 _ 答案： 6 13 例 10 平面内有三个向量 O A 、 O B 、 O C ,其中与 O A 与 O B 的夹角为 120， O A 与 O C 的夹角为 30 , 且| O A | O B |1 ， | O C | 3 2 ， 若 O B n O A m O C , 则 n m 的值为 _ 答案：6,0 例 1 1 如图， C B A , , 是圆 O 上的三点， C O 的延长线与线段 B A 的延长线交于圆 O 外的点 D ，若 O B n O A m
12、O C ，则 n m 的取值范围为_. 答 案 ： 0 , 1 -7 例 12 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 双 曲 线 的 中 心 在 原 点 ， 它 的 一 个 焦 点 坐 标 为 ( 5 , 0) ， 1 ( 2 , 1 ) e 、 2 ( 2 , 1 ) e 分别是两条渐近线的方向向量 。 任取双曲线 上 的点 P ， 若 1 2 O P ae be （ a 、 b R ） ， 则 a 、 b 满足的一个等式是_. 答案： 1 4 ab 例 13 已知 , 0 , 3 , 1 O B O A O B O A 点 0 30 A O C A O B C 内，且 在 ，设 O B
13、n O A m O C ，则 n m 的值为 _. 答案：3 例 14 如图， 倾斜角为 的直线 O P 与单位圆在第一象限的部分交于点 P ， 单位 圆 与 坐 标 轴交 于 点 ) 0 , 1 ( A ， 点 ) 1 , 0 ( B ， P A 与 y 轴 交 于 点 N ， P B 与 x 轴 交 于 点 M ，设 ) , ( R y x P N y P M x P O ， ，求 y x 的最小值。 答 案 ： 28 例 15 如图，在扇形 O A B 中，A O B = 60 ，C 为弧 A B 上且不与 A 、B 重合 的一个动点， O B y O A x O C ，若 ) 0 ( y x u 存在最大值，则 的取值 范围为 _. 答 案 ： 2 , 2 1 例 16 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，两定点 B A , 满足 , 2 O B O A O B O A 则点集 R O B O A O P P , , 1 , | 所表示 的区域面积为 _. 答案： 3 4
