1、,第三节 割平面法,以下只讨论纯整数线性规划的情形， 下面举例说明。,割平面法是1958年美国学者R. E. Gomory提出的，所以又称为Gomory的割平面法。,基本思想： 先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规划， 然后不断增加线性约束条件（即割平面）， 将原可行域割掉不含整数可行解的一部分， 最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域， 而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。,割平面求解举例,松弛问题,-x1+x2+x3 =1 3x1+x2 +x4=4 x1 , x20,例3：,如不考虑条件，容易求得相应的线性规划的最优解：x1=3/4，x2=7/4，max z=10/4,它就是图5-5
2、中域R的顶点A，但不合于整数条件。,现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图5-6)， 去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C点(1，1)就是域R的一个极点，,如在域R上求解，而得到的最优解又恰巧在C点,就得到原问题的整数解， 所以解法的关键:就是怎样构造一个这样的“割平面”CD， 它就是一个新的约束。尽管它可能不是唯一的，也可能不是一步能求到的。 下面给出本例完整的求解过程：,在原问题的前两个不等式中增加非负松弛变量x3、x4，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 3x1+x2 +x4=4 不考虑条件，用单纯形表解题，见表5-2。,解松弛问题的最优单纯形表为：,从表5-2的
3、最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2,可从最终计算表中得到非整数基变量对应的关系式：,不能满足整数最优解的要求。 为此考虑将带有分数的最优解的可行域中 分数部分割去，再求最优解。 就可以得到整数的最优解。,为了得到整数最优解。将上式变量的系数和 常数项都分解成整数和非负真分数两部分之和,(1+0)x1+(-1+3/4)x3+1/4x4=0+3/4x2+(3/4)x3+(1/4)x4=1+3/4 然后将整数部分与分数部分分开，移到等式左右两边，得到：,现考虑整数条件,要求x1、x2都是非负整数，于是由条件、可知 ,x3、x4也都是非负
4、整数,这一点对以下推导是必要的，如不都是整数，则应在引入x3、x4之前乘以适当调整系数和常数，使之都是整数。,在上式中(其实只考虑一式即可) 从等式左边看是整数； 等式右边也应是整数。 但在等式右边的()内是正数； 所以等式右边必是非正整数。 就是说，右边的整数值最大是零。 于是整数条件可由下式所代替；,即 -3x3-x4-3 这就得到一个切割方程(或称为切割约束)， 将它作为增加约束条件，再解例3。 引入松弛变量x5，得到等式 -3x3-x4+x5=-3 将这新的约束方程加到表5-2的最终计算表，得表5-3。,表5-3,从表5-3的b列中可看到，这时得到的是非可行解，于是需要用对偶单纯形法继
5、续进行计算,选择x5为换出变量，计算,将x3做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代，得表5-4。,x1、x2的值已都是整数，解题已完成。,几何解释：新得到的约束条件 -3x3-x4-3,如用x1、x2表示，由、式得 3(1+x1-x2)+(4-3x1-x2)3 x21 则是(x1，x2)平面内形成新的可行域，即包括平行于x1轴的直线x2=1和这直线下的可行区域，整数点也在其中，没有切割掉。直观地表示在图5-7中。 但从解题过程来看，这一步是不必要的。,割平面法的计算步骤： 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：. 若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止计算
6、。. 若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。,2、从(LP)的最优解中，任选一个不为整数的分量xr,将最优单纯形表中该行的系数arj和 br 分解为整数部分和非负真分数部分之和，并以 该行为源行，按下式作割平面方程：,的非负真分数部分,的非负真分数部分,3、将所得的割平面方程作为一个新的约束条件置于最优单纯形表中（同时增加一个单位列向量），用对偶单纯形法求出新的最优解，返回1。,例： 用割平面法求下面整数规划问题,第一步：把问题中所有约束条件的系数均化为整数.,G0：,第二步：,因为x3，x40,第三步：将Gomory约束加到G0中得到新的线性规划问题G1如下：,G1：,第四步：重复第一至第三步一直到找出问题的整数最优解为止.,G2：,G2：,Gomory的切割法自1958年被提出后，即引起人们的广泛注意，但至今完全用它解题的仍是少数，原因就是经常遇到收敛很慢的情形，但若和其他方法（如分支定界法）配合使用，也是有效的。,
