1、1专题五基础知识如果 在点 处有下列三种情况之一，则点 是 的一个间断点：)(xf0 0x)(f（1）在点 处， 没有定义)(xf（2） 不存在lim0fx（3）虽然 存在，但)(0 )(lim00xffx简单地说，不连续的点即为间断点。间断点的分类：（1）左右极限都存在的间断点为第一类间断点，第一类间断点又可分为跳跃间断点（左右极限不等）和可去间断点（左右极限相等） 。（2）左右极限至少有一个不存在的间断点为第二类间断点。例题1. 是函数 的 间断点。0xxy1arctn解： 在 处没有定义，故 是 的间断点，且rt00xxy1arctnxx lim2arctlim00 从而 是函数 的跳跃
2、间断点。0xy1n2. 是函数 的 间断点。12x解： 在 处没有定义，故 是 的间断点，且1xy00x121xy102lim10x21021lim2li1010 xxx从而 是函数 的跳跃间断点。1xy3. 函数 的可去间断点为 。)()2exf解： 在 和 1 处没有定义，故 0 和 1 是 的间断点，且)()2fx0 )1()2xef是仅有的两个间断点（因为 是一个初等函数， 在它的定义域内都是连续的） 。)(xf (xf下面分别 0 和 1 的间断点类型： )(2lim)(li020xxe1li0x2lili)(li 1121 xexex)(2从而 是函数 的可去间断点， 是第二类间断
3、点。0x)1()2xef 1x4. 函数 的可去间断点为 。|ln|1|)(f解： 在 和 1 处没有定义，故 0 和 1 是 的|l|)(xxf0 |ln|)(xxf间断点，且是仅有的两个间断点。下面分别 0 和 1 的间断点类型：|lnim|l|1|li00 xxx3x1|lnim0201lix)(lim0xxx ln1li|ln|1|li xli1lim1xxx lnli|ln|1|li1li1xlim1x从而 是函数 的可去间断点， 是跳跃间断点。0x|ln|)(xf1x5. 讨论函数 的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。1)lim)(2nxf解： 2)(li)li)( 22 n
4、nnxf)1(li2nnx)(lim2nn4)1(lim21nnx分三种情形说明：（1）当 时，102xxf)()（2）当 时，2x0)1()f（3）当 时，2xxf)()亦即 1,0,1,)(xxf故定义域为 ， 为仅有的两个（跳跃）间断点，在其它点处连续。)(习题1. 讨论函数 的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。23)(1)(xxf2. 讨论函数 的定义域、连续性，若有间断点，指出其分类。arctnlimnf3. 设 ，则在 内 是 （ ）xx21)(),(xfA初等函数 B处处有定义的函数C处处有极限的函数 D处处连续的函数4. 试确定常数 ， ，使函数 为连续函数。ab1lim)(2nnxbaxf5努力就有收获 !
