1、1第一章 函数、极限、连续习题 1-11求下列函数的自然定义域：(1) ； (2) 332xye 21arctn3yx(3) ； (4) .21arcos56xsi, ,1x解(1) ;3,)(,)(2) ;0(3) ;4,2,(4) .(12已知函数 )fx定义域为 ，求 的0,1(),cos),()() 0fxffxcfc定义域解：（1）若 ，定义域为： ；（2）若 ，定义域为： ；（3）若2c,c1212，定义域为： 2c3设 0,a求函数值 (),1fa21()|xfx解： ， 24fa22 ,1()0解： 图略。,() , 10xfg1, | ,(), |,14在一圆柱形容器内倒进某
2、种溶液，该容器的底半径为 r，高为 H当倒进溶液后液面的高度为 h时，溶液的体积为 V试把 h表示为 V的函数，并指出其定义区间解：依题意有 ，则 2Vr22,0,rHr15收音机每台售价为 90 元，成本为 60 元厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过 100 台以上的，每多订购 1 台，售价就降低 1 元，但最低价为每台 75 元(1) 将每台的实际售价 p表示为订购量 x的函数；(2) 将厂方所获的利润 表示成订购量 的函数；L(3) 某一商行订购了 1000 台，厂方可获利润多少？4解：依题意有(1) ；90, 10575, xp(2) ；30, 10(1)5, 5xLx(3
3、) 元0习题 1-21设 ，23(1,)nx(1) 求 的值；12002|,|3x(2) 求 N，使当 n时，不等式 成立；6|10n(3) 对实数 ，求 ，使当 N时，不等式 成立 2|3nx解：(1) 121|,342a1071|,68a097|3(2) 要使 即 ，则只要 取 N 故当 nN4|,n4(10n+)12,n12,时，不等式 成立2|13a(3)要使 成立，只要 ，即 取|n23|93,9n，那么当 时， 成立.19NnN|na2当 x时， 问 等于多少，使当 |1|x时， ？23yx |3|0.1y解：令 ，则 ，要使|5|1|，225|1|0.2yxxx只要 ，所以取 ，
4、使当 时， 成立 |1|0.4x0.4|4|1y53当 x时， 问 X等于多少，使当 |xX时， |2|0.1y？21xy解：要使 0.001, 只要 , 即 就可2225|x250|5x以了,所以取 50X4根据极限的定义证明：(1) （ 为常数） ； (2) ； (3) ；limna21limn1lim(3)2x(4) 24x； (5) 35x.证明： 略5用 X或 语言，写出下列各函数极限的定义： (1) ； (2) ；li()xfali()xfa(3) mab； (4) mab解: (1) , 当 时, 总有 ;0,X|()|fx(2) , 当 , 总有 ;Xx(3) , 当 时, 总
5、有 ;,|f(4) 当 时, 总有 a()b6若 linxa， 证明 li|n并举例说明：如果数列 |nx收敛，但数列 nx不一定收敛证明: 略7对于数列 nx，若 ， ，证明： 21limkxa2likxalimnxa证明: 略8证明：若 ， ，则 li()xfAli()xfAli()xfA证明: 略习题 1-31求下列极限：(1) ； (2) ；32lim6n11lim35(2)n n (3) ； (4) 1lin； 21()n(5) 32li5)x； (6)325x；(7)； (8) ；1lim4x 39li7xx6(9) ； (10)；20()limhx321lim8xx(11) 33
6、1lixx； (12)；li7x(13) ； (14) ；278x2435x(15) 3lim(6)x；(16)24lim1x解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6)；(7)；(8) ；1137389(9) ；(10) ；(11) = (12);(13) ;(14) ;(15) ;(16)2x5732612012设函数 ,试讨论 是否存在？2,0() 1xef0li()xf解：因为 ，即 ，所以20000limli,lim()li(13)xx xfef 00lim()li()xxff存在0li()xf3设 若极限 0li()xf存在，则 a等于什么?12, ,.xfa解：即
7、 时， 存在0li()xf4已知 2lim(51xbc，其中 ,abc为常数，求 和 b的值解：因为222(5)(5) ) limx xxxaxca，所以 ，则 2 2(2(5)= li li 15x xcabbcx015ba50b习题 1-41计算下列极限：(1)； (2) ； (3) ； (4) 2()x1lim()3xx13li()x2lim()xx解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) e13e42计算下列极限(1) 0sinl5x； (2) ； (3)30tansilixx； lisnx7(4) ； (5)（ 为不等于零的常数） 5021coslimxxlim3snnx解：(1)
8、；(2) ；(3) ；(4) (5) 31习题 1-52计算下列极限： (1) ； (2) ；1limsnx 2coslimx(3) ； (4) arctl 0art(lg)x解：(1) 因为 在 上有界， ，由定理 3 知 ；six(,)1lix1imsn0x(2) 因为 在 上有界， ，由定理 3 知 ；co22col(3) 因为 在 上有界， ，由定理 3 知 ；artnx(,)lim0nxartilnx(4) 因为 在 上有界， ，由定理 3 知clg0co(g)0x5利用等价无穷小的性质，求下列极限：(1)； (2) （ 是不为零常数） ；03limsn5x0si()ltanxk,t
9、(3) ； (4)；2(1)taxx2335imrctxx(5) ； (6)201oslinx；2sin03rclexx(7) ； (8)0cli(s)xx；30tai5limxx(9) 0li2xxb,其中 ,b,均为常数.解：(1)；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) ；(7) ；35kt1322743(8) ；(9) 123(ln)22(abe6证明：当 0x时， l)x证明：因为 ，当 0x时，1100l()imin(lim()lnxxxx eln(1)87. 证明：当 0x时， .1nx:证明：因为 00121limli()()1nxxnnx，012li()()xnn所以，
10、当 时， .nx:8当 0x时，若 与 是等价无穷小，试求 a124(si)aarctnx解：依题意有 ， 因为当 0时，0nlimrctxx， ，14122224 1(sin)(si)(sin)()4aaaxax:rctnx:所以 ，故 122400(ililirctx x习题 1-61研究下列函数的连续性：(1) (2) ()|fx, ()0xf是 有 理 数是 无 理 数解：（1）在 内连续；,（2） 在 上处处不连续。()fR2讨论下列函数的间断点的类型如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续(1) ； (2) ()sgnfx 1sin()exf(3) ； (4)；f42f(5
11、)21()3x； (6) ()sinx解：(1) 为跳跃间断点；0(2) 因为 ，所以 为可去间断点，补充定义 ，则函数 在10sinlmexx0x(0)f()fx9内连续；,(3) 为跳跃间断点；,01,2xn(4) 因为 ，所以 为可去间断点，补充定义 ，则函数4limx1x(1)2,()ff在 内连续；()f,(5) 为可去向断点，若令 ,则 在 连续 ； 为第二类向断点1()2f()fx1x(6) 因为 ，所以 为可去间断点，补充定义 ，则函数 在01lisnx0(0)f()fx内连续；,3当 a取何值时，函数 在 0x处连续sin, ,()xfa解：因为 所以，依题意有 =0.000
12、0lim()li,lim()li(),xxxxf fa (),faa4设 其中 是已知常数试选择 ，使 为连续函数2cos,bbcfx解：若 则 为连续函数必要求 此时 可取任意实数；,()f 2,若 则取 ，就可以使得 为连续函数0c2csa()fx5证明: 若函数 ()fx在区间 上最大值与最小值相等，则 ()fx是区间 I上的常值函I数证明： 略6证明: 方程 在区间 内至少存在一个实根23sin0(,)2证明：令 ，则 在 上连续，又 ，()fxxf(0)2f根据零点定理， 在开区间 内至少有一点 使()10,2f()3sinxx,，即方程 在区间 内至少存在一个实根23sin0x,2
13、习题 1-71研究下列函数的连续性：(1) ； (2)； (3) .23()esin(1)xf327()xf2()xfe解：(1) 因为 在 上是初等函数，所以 在23esin1xf ,()fx10上连续,（2）因为 ，则 是函数 的可去间断点327limx3x327()xf（3） 在 内连续()f,)2求下列极限：(1) ； (2) ； (3) ；21lnliarctxx20ln(1)imtax2limarctn()xx(4) ； (5) ； (6) 1cos0e)x；3sin0mxsinlxx(7) lil(2)n解：(1) ；(2) ；(3) ；414(4) ；1tan013lim3ln
14、t3cossin0limta xxxxxee(5) ；1202(1)1liln2sisin0li2xxxx (6) 22112 2coscos0 0li()lim();xxexx exe (7) limnl(nlinlimn()2li(1)nn22li(1)lne3证明：已知 ，求常数 a的值li4xxa解：因为 ，则 ，所以(2)222lim()li(1)lim(1xaxx axx e 24a2n4a4假设函数 f在 g在点 0连续，证明函数 ()a(),fgx， ()in(),fxg也在点 0x连续证明：略复习题 A一、选择题1.下列函数中不是复合函数的是（ ）11A ； B. ； C ；
15、 Dxy)31(21exyxy1ln2sin2当 0x时，下列哪一个无穷小是比 高阶的无穷小（ ）2tanxA ； B 1cosx； C 1； D sintax3极限 为（ ）322limexxA 1； B 0； C ； D不存在但不为 4若当 时， ()和 x都是无穷小，则当 时，下列表达式中哪一个不0x一定是无穷小（ ） A ； B 2()+ 2； C 2()； D |()|x sin()x5 设2,1(),xbfa适合 1lim()xfA，则以下结果正确的是（ ）A 34b可取任意实数 ； B 4,ab可取任意实数；C ,A； D ,都可取任意实数解：1.A; 2D; 3B; 4C; 5
16、A.二.填空：1函数 的定义域是_； 26lnyx2 是由基本初等函数_ 复合而成的；lnsie3 的连续区间是 _； 2()1fxx4 ；xlim5. 已知 为常数， ，则 _， _.ba,21lixabab解：1 ；2 ；3 ；4 ；5. ，(0,4ln,si,xyuve(,)1e0ab复习题 B一、选择题1函数 的连续区间是（ ）|yx12A ； B ； C ； D(,0)(0,)(,)1,2下列极限不存在的是（ ）A ；B ； C23limx； D01limarctnx01limsnx1sli()x3当 时，下列变量为无穷小的是（ ）A. ； B. ； C. ； D. 2cosx2xx
17、sinarctn(1)x4若不等式对 |()|fng任何的正整数 成立，且 lim()3ng，则 lif=（ ）A ； B 3lim()3nf； C linf； Dlim0xfli()3xfn5设函数 ，则（ ）3()sinxfA只有 1个可去间断点； B有 2个跳跃间断点 ；C有无穷多个第一类间断点； D在 上连续R解：1C; 2 B; 3C; 4B; 5A二、填空题1设函数 ()fx的定义域是 ，则 的定义域是 _；1,212()xfe2 _；20tansilim1ix x3设 时， cosexx与 是同阶无穷小，则 ；4设 则 ， ；3li4,xkmk5设 ，则 20()lixf 0()sinf解：1；2 ； 3 ； 4 ， ；50l,1492m3k
