1、 高三“一诊”模拟理科数学（共 4 页，第 1 页） 成都七中高 2013 级“一诊”模拟试题 高三数学（理）参考答案 1-5 ABADB 6-10 CCBCD 11、 1-i 12、 1030 13、 -5 14、 9 15、 16、解：（ 1）分别取 AB、 CD的中点 M、 N，连接 EM、 EN、 MN，多面体体积转化为棱柱 AED-MFN 的体积 1V 与四棱锥 F-MBCN 的体积 2V 之和。 由三视图可知， AD=2， AM=DN=1，又面 ADE 为正三角形且垂直于底面 ABCD，知F 点到底面距离为 3 。所以 3 3433321 VVV。（ 6 分） (2)取 MN 中点
2、 O， BC中点 P，以 OM 为 x 轴， OP 为 y 轴， OF为 z 轴建立坐标系， 易知 )0,1,1( A , )0,1,1(B , )3,0,0(F , )0,1,1(C ,则 )0,2,0(AB ， )3,1,1(AF ,设面 ABF 的法向量 ),(1 zyxn ，由 0011 AFn ABn，可得面 ABF 的一个法向量)1,0,3(1 n ，同理 )1,3,0(2 n 。设二面角 A-BF-C 的平面角为 ， 因为41,c o s 21 2121 nn nnnn，所以 41cos 。（ 12 分） 17、解 :(1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.
3、02+0.01) 5=0.3, 高为 0.3 5=0.06频率直方图如下：（ 4分） (2) 40,45)组、 45,50)组和 50,55)组的人数比 0.03:0.02:0.01=3:2:1,三组中抽出的人数分别为 3、 2和 1（ 6分） =0,1,2,3. 201)0( 3603 CCP , 209)1( 36 2313 CCCP , 209)2( 36 1323 CCCP , 201)3( 3633 CCP .（ 10分） 0 1 2 3 P 201 209 209 201 232013209220912010 E .（ 12分） 高三“一诊”模拟理科数学（共 4 页，第 2 页）
4、18、（ 1）解：由已知得 nSnSSnnSSnSSn nnnnnnn 21)1(2)2()( 111 ， 所以nSn是以 111S为首项， 2为公比的等比数列。（ 5分） （ 2） 由（ 1）知 11 221 nnnnS ，则 12 nn nS .（ 6分） 所以 1210 22)1(2221 nnn nnT . nnn nnT 22)1(22212 121 . - 得：（ 8分） 12)1( 2222121 nnnnn nT 于是 12)1( nn nT 。（ 10 分） 所以 0)21)(1(2)1(12)1()1( 21 nnnnn nnnnnnSTn ）（， 即 (n+1)Tn0,
5、0021 xx)1,0(a 。 （ 4 分） （ 2） 由（ 1）知，22 2)( x axaxxf ，因为 ),0( x 若 0a ，则 0)( xf 恒成立，所以 )(xf 在 ),0( 单调递减， 因为 0)1( f ，所以 )(xf 的零点唯一；（ 5分） 若 1a ，则 0)( xf 恒成立，所以 )(xf 在 ),0( 单调递增， 因为 0)1( f ，所以 )(xf 的零点唯一；（ 6分） 若 10 a ，记 21,xx 分别为 022 axax 的两根，且 21 1 xx ，且）单调递减，）单调递增，在（，在（ 211 ,0)( xxxxf ）单调递增在（ ,2x .（ 7分）
6、 高三“一诊”模拟理科数学（共 4 页，第 4 页） 因为 0)1( f 0)(,0)( 21 xfxf .（ 8分） 当 ),0( 1xx 时，取 420 ax ， 2ln4ln4444ln2)44()4( 32222 aaaaaaaaf ， 令 )1,0(,2ln4ln444)( 3 aaaaah aaaah 4443)(22 24 )1(163 a aa 显然 0)( ah ，所以 )(ah 在 )1,0( 上单调递增 04152ln4)1()( hah ， 故 0)4( 2 af )(xf 在 ),4( 12 xax 有一个零点；（ 11分） 因为 )(1ln2)1()1( xfxxxaxf 0)4(2 af， )(xf 在 )4,( 22 axx 上有一个零点；（ 13分） 综上所述：当 0a 或 1a 时， )(xf 有唯一零点； 当 10 a 时， )(xf 有 3个零点。（ 14分）
