1、12013 年普通高等学校招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第卷(选择题 共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1(2013 四川，理 1)设集合 A x|x20，集合 B x|x240，则 A B( )A2 B2C2,2 D 2(2013 四川，理 2)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z 的共轭复数的点是( )AA BBCC DD3(2013 四川，理 3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )4(2013 四川，理 4)设 xZ，集合 A 是奇数集，集合 B
2、 是偶数集若命题p： x A,2x B，则( )A p： xA,2x B B p： x A,2x BC p： x A,2xB D p： xA,2x B5(2013 四川，理 5)函数 f(x)2sin( x ) 的部分图象如图所0,2示，则 ， 的值分别是( )A2， 3B2， 6C4， D4， 36(2013 四川，理 6)抛物线 y24 x 的焦点到双曲线 x2 1 的渐近线的距离是( 3y)A B C1 D12327(2013 四川，理 7)函数 的图象大致是( )31xy8(2013 四川，理 8)从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a， b，共可得到 l
3、g alg b 的不同值的个数是( )A9 B10 C18 D209(2013 四川，理 9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( )A B C D14237810(2013 四川，理 10)设函数 f(x) (aR，e 为自然对数的底数)，若曲线exysin x 上存在点( x0， y0)使得 f(f(y0) y0，则 a 的取值范围是( )A1，e Be11,1C1，e1 De11，e1第卷(非选择题 共
4、100 分)二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11(2013 四川，理 11)二项式( x y)5的展开式中，含 x2y3的项的系数是_(用数字作答)12(2013 四川，理 12)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点O， ，则 _.ABO13(2013 四川，理 13)设 sin 2 sin ， ，则 tan 2 的值是,2_14(2013 四川，理 14)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时， f(x) x24 x，那么，不等式 f(x2)5 的解集是_15(2013 四川，理 15)设 P1， P2， Pn为平面 内的 n
5、个点，在平面 内的所有点中，若点 P 到点 P1， P2， Pn的距离之和最小，则称点 P 为点 P1， P2， Pn的一个“中位点” ，例如，线段 AB 上的任意点都是端点 A， B 的中位点，现有下列命题：若三个点 A， B， C 共线， C 在线段 AB 上，则 C 是 A， B， C 的中位点；直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；若四个点 A， B， C， D 共线，则它们的中位点存在且唯一；梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点其中的真命题是_(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16(2013
6、 四川，理 16)(本小题满分 12 分)在等差数列 an中， a1 a38，且 a4为 a2和a9的等比中项，求数列 an的首项、公差及前 n 项和317(2013 四川，理 17)(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，且 2 cos Bsin( A B)sin Bcos( A C) ，osA35(1)求 cos A 的值；(2)若 ， b5，求向量 在 方向上的投影4C18(2013 四川，理 18)(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在 1,2,3，24 这 24 个整数中等可能随机产生(1)分别求出按程序
7、框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 n 次后，统计记录了输出 y 的值为 i(i1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据甲的频数统计表(部分)运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数30 14 6 10 2 100 1 027 376 6974乙的频数统计表(部分)运行次数 n输出 y 的值为 1 的频数输出 y 的值为 2 的频数输出 y 的值为 3 的频数30 12 11 7 2 100 1 051 696 353当 n
8、2 100 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为i(i1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次，求输出 y 的值为 2 的次数 的分布列及数学期望519(2013 四川，理 19)(本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC， AB AC2 AA1， BAC120， D， D1分别是线段 BC， B1C1的中点， P 是线段AD 的中点(1)在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线
9、l平面 ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 A A1M N 的余弦值620(2013 四川，理 20)(本小题满分 13 分)已知椭圆 C： (a b0)的两21xy个焦点分别为 F1(1,0)， F2(1,0)，且椭圆 C 经过点 P .4,3(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M， N 两点，点 Q 是线段 MN 上的点，且，求点 Q 的轨迹方程222|QM721(2013 四川，理 21)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x) 其中 a 是2,0ln,x实数设 A(x1， f(x1
10、)， B(x2， f(x2)为该函数图象上的两点，且 x1 x2.(1)指出函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2 x1的最小值；(3)若函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线重合，求 a 的取值范围82013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第卷(选择题 共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1 答案：A解析：由题意可得， A2， B2,2， A B2故选 A2答案：B解析：复数 z 表示的点与其共轭复数
11、表示的点关于实轴对称3 答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选 D4答案：D5 答案：A解析：由图象可得， ，3534124T T，则 2，再将点 代入 f(x)2sin(2 x )中得，,，5sin6令 2 k ， kZ，解得， 2 k ， kZ，3又 ，则取 k0，, .故选 A36 答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为 ，即3yxx y0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.|3|2d7 答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(，0)(0，)，故排除 A；取x1， y 0，故再排除
12、B；当 x时，3 x1 远远大于 x3的值且都1329为正，故 0 且大于 0，故排除 D，选 C31x8答案：C解析：记基本事件为( a， b)，则基本事件空间 (1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)共有 20 个基本事件，而 lg alg b ，其中基本lg事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使 的值相等，则不同值的个数为 20218(个)，lgab故选 C9 答案：C解析：设两
13、串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x， y，则由题意可得，0 x4,0 y4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过 2 秒”( x， y)|x y|2，由图示得，该事件概率 .1643SP阴 影正 方 形10答案：A解析：由题意可得， y0sin x01,1，而由 f(x) 可知 y00,1，exa当 a0 时， f(x) 为增函数，x y00,1时， f(y0)1， e1 f(f(y0) 1.1不存在 y00,1使 f(f(y0) y0成立，故 B，D 错；当 ae1 时， f(x) ，当 y00,1时，只有 y01 时 f(x)才有意义，而xf(1)0， f(f(1) f(0)
14、，显然无意义，故 C 错故选 A第卷(非选择题 共 100 分)注意事项：必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11答案：10解析：由二项式展开系数可得， x2y3的系数为 10.3C251012答案：2解析：如图所示，在平行四边形 ABCD 中， 2 ，ABDCAO 2.13答案： 3解析：sin 2 sin ，2sin cos sin .又 ，cos .,12sin .231cossin 2 ，cos 2 2cos
15、 2 1 .tan 2 .sinco314答案：(7,3)解析：当 x0 时，令 x24 x5，解得，0 x5.又因为 f(x)为定义域为 R 的偶函数，则不等式 f(x2)5 等价于5 x25，即7 x3；故解集为(7,3)15答案：解析：由“中位点”可知，若 C 在线段 AB 上，则线段 AB 上任一点都为“中位点” ， C 也不例外，故正确；对于假设在等腰 Rt ABC 中， ACB90，如图所示，点 P 为斜边 AB 中点，设腰长为2，则| PA| PB| PC| |AB| ，而若 C 为“中位点” ，则| CB| CA|432，故错；3对于，若 B， C 三等分 AD，若设| AB|
16、 BC| CD|1，则|BA| BC| BD|4| CA| CB| CD|，故错；对于，在梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 的交点为 O，在梯形 ABCD 内任取不同于点 O 的一点 M，则在 MAC 中，| MA| MC| AC| OA| OC|，11同理在 MBD 中，| MB| MD| BD| OB| OD|，则得，|MA| MB| MC| MD| OA| OB| OC| OD|，故 O 为梯形内唯一中位点是正确的三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16解：设该数列公差为 d，前 n 项和为 Sn.由已知，可得 2a12 d8，(
17、a13 d)2( a1 d)(a18 d)所以， a1 d4， d(d3 a1)0，解得 a14， d0，或 a11， d3，即数列 an的首项为 4，公差为 0，或首项为 1，公差为 3.所以，数列的前 n 项和 Sn4 n 或 Sn .217解：(1)由 2 cos Bsin( A B)sin Bcos( A C) ，得cos( A B)1cosA35cos Bsin( A B)sin Bcos B ，35即 cos(A B)cos Bsin( A B)sin B .则 cos(A B B) ，即 cos A .35(2)由 cos A ，0 A，得 sin A ，45由正弦定理，有 ，s
18、inab所以，sin B .2由题知 a b，则 A B，故 .4根据余弦定理，有 5 2 c225 c ，解得 c1 或 c7(舍去)()35故向量 在 方向上的投影为| |cos B .CA218解：(1)变量 x 是在 1,2,3，24 这 24 个整数中随机产生的一个数，共有 24 种可能当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时，输出 y 的值为 1，故 P1；12当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时，输出 y 的值为 2，故 P2 ；312当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生
19、时，输出 y 的值为 3，故 P3 .16所以，输出 y 的值为 1 的概率为 ，输出 y 的值为 2 的概率为 ，输出 y 的值为 3 的概率2为 .6(2)当 n2 100 时，甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i1,2,3)的频率如下：输出 y 的值为 1 的频率输出 y 的值为 2 的频率输出 y 的值为 3 的频率甲 02737610697210乙 595比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大(3)随机变量 可能的取值为 0,1,2,3.P( 0) ，033128C7P( 1) ，149P( 2) ，213P( 3) ，0C7故 的分布列为 0 1 2
20、3P 84917所以， E 0 1 2 3 1.827492即 的数学期望为 1.19解：(1)如图，在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l BC，因为 l 在平面 A1BC 外， BC 在平面 A1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知， l平面A1BC由已知， AB AC， D 是 BC 的中点，所以， BC AD，则直线 l AD因为 AA1平面 ABC，所以 AA1直线 l.13又因为 AD， AA1在平面 ADD1A1内，且 AD 与 AA1相交，所以直线 l平面 ADD1A1.(2)解法一：连接 A1P，过 A 作 AE A1P 于 E，过 E 作 EF A1M 于 F，连接
21、AF.由(1)知， MN平面 AEA1，所以平面 AEA1平面 A1MN.所以 AE平面 A1MN，则 A1M AE.所以 A1M平面 AEF，则 A1M AF.故 AFE 为二面角 A A1M N 的平面角(设为 )设 AA11，则由 AB AC2 AA1， BAC120，有 BAD60， AB2， AD1.又 P 为 AD 的中点，所以 M 为 AB 中点，且 AP ， AM1，所以，在 Rt AA1P 中， A1P ；在 Rt A1AM 中， A1M .522从而 ，1AE.2FM所以 sin .5A所以 cos .22151sin故二面角 A A1M N 的余弦值为 .解法二：设 A1
22、A1.如图，过 A1作 A1E 平行于 B1C1，以 A1为坐标原点，分别以 ，1AE， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz(点 O 与D点 A1重合)则 A1(0,0,0)， A(0,0,1)因为 P 为 AD 的中点，所以 M， N 分别为 AB， AC 的中点故 M ， N .3,231,2所以 ， (0,0,1)， ( ，0,0)1A,1ANM3设平面 AA1M 的一个法向量为 n1( x1， y1， z1)，则 即1,n10,14故有 131,0,2xyz从而 11,0.xyzz取 x11，则 y1 ，3所以 n1(1， ，0)设平面 A1MN
23、 的一个法向量为 n2( x2， y2， z2)，则 即2,MN210,故有 23,0,xyz从而 2213.xyz取 y22，则 z21，所以 n2(0,2，1)设二面角 A A1M N 的平面角为 ，又 为锐角，则 cos 21| .,30,55故二面角 A A1M N 的余弦值为 .120解：(1)由椭圆定义知，2a| PF1| PF2| ，224141233所以 .又由已知， c1.所以椭圆 C 的离心率 .12cea(2)由(1)知，椭圆 C 的方程为 y21.x设点 Q 的坐标为( x， y)(1)当直线 l 与 x 轴垂直时，直线 l 与椭圆 C 交于(0,1)，(0，1)两点，
24、此时点 Q 的坐标15为 .350,2(2)当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y kx2.因为 M， N 在直线 l 上，可设点 M， N 的坐标分别为( x1， kx12)，( x2， kx22)，则| AM|2(1 k2)x12，| AN|2(1 k2)x22.又| AQ|2 x2( y2) 2(1 k2)x2.由 ，得|AQA，22211kxkxkx即 .1122将 y kx2 代入 y21 中，得(2k21) x28 kx60.由 (8 k)24(2 k21)60，得 k2 .3由可知， x1 x2 ， x1x2 ，6代入中并化简，得 .803k因为点 Q 在直线
25、y kx2 上，所以 ，代入中并化简，得 10(y2) 23 x218.kx由及 k2 ，可知 0 x2 ，即 x .36,06,又 满足 10(y2) 23 x218，50,故 x .6,2由题意， Q(x， y)在椭圆 C 内，所以1 y1.又由 10(y2) 2183 x2有( y2) 2 且1 y1，9,54则 y .15,所以，点 Q 的轨迹方程为 10(y2) 23 x218，其中 x ， y .6,2135,221解：(1)函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1,0)，(0，)(2)由导数的几何意义可知，点 A 处的切线斜率为 f( x1)，点 B 处的切线斜率
26、为 f( x2)，16故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时，有 f( x1)f( x2)1.当 x0 时，对函数 f(x)求导，得 f( x)2 x2.因为 x1 x20，所以，(2 x12)(2 x22)1.所以 2x120,2 x220.因此 x2 x1 (2 x12)2 x22 1，当且仅当(2 x12)12x2 x221，即 且 时等号成立3所以，函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线互相垂直时， x2 x1的最小值为 1.(3)当 x1 x20 或 x2 x10 时， f( x1) f( x2)，故 x10 x2.当 x10 时，函数 f(x)的图象在点( x1， f(
27、x1)处的切线方程为 y( x122 x1 a)(2 x12)(x x1)，即 y(2 x12) x x12 a.当 x20 时，函数 f(x)的图象在点( x2， f(x2)处的切线方程为 yln x2 (x x2)，即y xln x21.两切线重合的充要条件是 122,ln.xa 由及 x10 x2知，1 x10.由得， a x12 1 x12ln(2 x12)1.ln设 h(x1) x12ln(2 x12)1(1 x10)，则 h( x1)2 x1 0.所以， h(x1)(1 x10)是减函数则 h(x1) h(0)ln 21，所以 aln 21.又当 x1(1,0)且趋近于1 时， h(x1)无限增大，所以 a 的取值范围是(ln 21，)故当函数 f(x)的图象在点 A， B 处的切线重合时， a 的取值范围是(ln 21，)
