1、命题猜想八 三角函数的图像与性质【考向解读】 1.三角函数 yAsin (x )(A0，0)的图象变换，周期及单调性是 2016 年高考热点2.备考时应掌握 ysin x，y cos x，ytan x 的图象与性质，并熟练掌握函数 yAsin (x)(A0，0)的值域、单调性、周期性等3.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.4.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.【命题热点突破一】 三角函数的概念、同角三角函数关系、诱导公式例 1、(1)已知 2sin 21cos 2 ，则 tan 2( )A B.43 43
2、C 或 0 D. 或 043 43(2)已知 是第二象限角，P(x，4)为其终边上一点，且 cos ，则 tan ( )x5A. B.43 34C D43 34【答案】 （1）D （2）C 【解析】【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在 x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值如果不是在单位圆中 定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义【变式探究】 当 x 时，函数 f(x)Asin(x)(A0)取得最小值，则函数 yf 是( )4 (34 x)A奇函
3、数且图像关于点 对称(2，0)B偶函数且图像关于点( ，0) 对称C奇函数且图像关于直线 x 对称2D偶函数且图像关于点 对称(2，0)【答案】C 【解 析】当 x 时，函数 f（x）Asin（x） （A0 ）取得最小值，即 2k，kZ ，4 4 2即 2k ，kZ，所以 f（x）Asin（x ） （ A0） ，所以 yf （ x）Asin（ x ）34 34 34 34 34Asin x，所以函数 yf（ x）为奇函数，且其图像关于直线 x 对称.34 2【命题热点突破二】 函数 yAsin(x)的图像与解析式例 2、设函数 f(x)sin xsin ，xR.(x 2)(1)若 ，求 f(x
4、)的最大值及相应的 x 的取值集合；12(2)若 x 是 f(x)的一个零点，且 00，0)的形式，利用有界性处理；(2)形如 yasin 2xbsin xc 的函数可利用换元法转化为二次函数，通过配方法和三角函数的有界性求解；(3)形如 y 的函数，一般看成直线的斜率，利用数形cos x asin x b结合求解【变式探究】2015安徽卷 已知函数 f(x)Asin(x)(A， 均为正的常数)的最小正周期为 ，当 x 时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是 ( )23Af(2)0，|0)个单位长度，得到 yg(x)的图像，若 yg(x) 图像的一个对称中心为 ，求 的最小值(512
5、，0)【解析】 （1）根据表中已知数据，解得 A5， 2， .数据补全如下表：6x 0 2 32 2x 12 3 712 56 1312Asin（x ）来源:Zxxk.Com0 5 0 5 0且函数解析式为 f（x）5sin .(2x 6)（2）由（1）知 f（x）5sin ，所以 g（x）5sin .(2x 6) (2x 2 6)因为 ysin x 的图像的对称中心为（ k，0） ，kZ.所以令 2x2 k，kZ ，解得 x ，kZ.6 k2 12由于函数 yg（x）的图像关于点 成中心对称，所以令 ，kZ，解得(512，0) k2 12 512 ，k Z.由 0 可知，当 k1 时， 取得
6、最小值 .学科网k2 3 6【感悟提升】函数图像的平移变换规则是“左加右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量 x，如果 x 的系数不是 1，那么就要提取这个系数后再确定变换的单位长度和方向【变式探究】函数 f(x)sin(2x ) 的图像向左平移 个单位长度后所得图像关于原点对称，则(|2) 6函数 f(x)在 上的最小值为 ( )0，2A B32 12C. D.12 32【答案】A 【解析】【命题热点突破四】 三 角函数图像与性质的综合应用例 4、 已知函数 f(x)2cos 2x2 sin xcos xa ，当 x 时，f(x)的最小值为 2.3 0，2(1)求 a 的值，并求 f(x
7、)的单调递增区间；(2)先将函数 f(x)的图像上的点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，再将所得的图像向 右平移 个12 12单位长度，得到函数 g(x)的图像，求方程 g(x)4 在区间 上所有根之和0，2【解析】解：（1）f（x） cos 2x1 sin 32xa2sin a1.x ，2x ，(2x 6) 0，2 6 6，76f（x） minf（ ）1a12，得 a2，2故 f（x）2sin 3.(2x 6)令 2k 2x 2k ，kZ ，2 6 2得 k xk ，kZ，3 6函数 f（x）的单调递增区间为 ，kZ .k 3，k 6【感悟提升】三角函数综合解答题的主要解法就是先把三角函数
8、的解析式化为 yAsin(x)的形式，再结合题目要求，利用函数 yAsin(x) 的图像与性质解决问题【命题热点突破五】三角函 数图像、性质、正余弦定理、不等式等的综合例 5、 已知向量 a(sin x，2cos x) ，b(2 cos x，cos x)，函数 f(x)ab.3(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)在ABC 中，若角 A 满足 f 1，且ABC 的面积为 8，求ABC 周长 的最小值(A 6)【解析】 （1）f（x）2 sin xcos x2cos 2x sin 2xcos 2x12sin 1，3 3 (2x 6)函数 f（x）的最小正周期为 . 由 2k2x
9、 2k ，kZ ，得2 62 kx k，kZ，6 3函数 f（x）的单调递增区间为 ，kZ. 6 k，3 k（2）设 a，b，c 分别是内角 A，B，C 对的边，由 f 1，得 2sin 11，(A 6) (2A 3 6)即 sin 1，又A 为三角形的内角，A ，(2A 2) 2 bc8，b c16，来源:Zxxk.Com12bc2 8，a 4 ，当且仅当 bc4 时等号成立. bc b2 c2 2bc 2故ABC 周长的最小值为 84 . 2【失分分析】三角函数综合性问题最容易犯的错误是求错三角函数的解析式解题时要注意各种限制条件的应用，如指定的角的范围、三角形内角的范围等在使用基本不等式
10、时注意等号成立的条件【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，角 的始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线 l：y2 x(x0)2(1)求 cos 的值；( 6)(2)若点 P，Q 分别是角 始边、终边上的动点，且 |PQ|6，求三角形 POQ 面积最大时点 P，Q 的坐标【解析】【高考真题解读】1.【2015 高考新课标 1，理 2】 oosin0c1s60in1 =( )（A）32（B）32（C）12（D）12【答案】D【解析】原式= oosin20c1s20in1 = osi30=12，故选 D.2.【2015 江苏高考，8】已知 ta，ta7，则 tan的值为_.【答案】3【解析】12tan
11、()ta7tant() 3.1n 3.【2015 高考福建，理 19】已知函数 f()x的图像是由函数 ()cosgx=的图像经如下变换得到：先将()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（ 横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 2p个单位长度.()求函数 f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于 的方程 f()gxm+=在 0,)p内有两个不同的解 ,ab（1)求实数 m 的取值范围；（2)证明：2cos)1.5ab-(【答案】() f()2sinx=，(kZ).2xp+；( )（1） (5,)-；（2）详见解析【解析】(2)1) 21f()g2sinco5(sinc
12、os)5xxx+=+5si()xj（其中2i,jj=）依题意，in=mj+在区间 0,2)p内有两个不同的解 ,ab当且仅当|15m，故 m 的取值范围是 (5,)-.2)因为 ,ab是方程 5sin()=xj在区间 0,2)内有两个不同的解，所以sin()=mj+，i5bj+.当 15时，2(),2();pajapbj-=-+当 m-时, 3+=(),3();bj j-所以222cos)cos2()sin()1()1.5majbj-+-=-(解法二：(1)同解法一.4.【2015 高考山东，理 1 6】设2sincos4fxx.（）求 fx的单调区间；（）在锐角 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc,若0,12Afa,求 ABC面积的最大值.【答案】 （I）单调递增区间是,4kkZ；单调递减区间是3,4k（II） ABC 面积的最大值为24【解析】（）由1sin0,2Af得1sin2A由题意知 为锐角，所以3co由余弦定理： 22sabA 可得： 13cc 即： 2,b 当且仅当 b时等号成立.因此13sin4cA所以 BC面积的最大值为2学科网5.【2015 高考重庆，理 9】若tan2t5，则3cos()10in5（ ）A、1 B、2 C、3 D、4【答案】C
