1、1.6微积分基本定理 教学目标：1、能说出微积分基本定理。2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。3、能掌握微积分基本定理的应用。4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。教学重点： 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分； 教学难点：微积分基本定理的含义教学过程设计（一） 、复习引入，激发兴趣。【教师引入】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:1. 我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？2. 如何求曲线下方的面积？3. 用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？求由连续曲线 y=
2、f(x)对应的曲边梯形面积的方法。我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。(二)、探究新知，揭示概念变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)（ ） ，()vto则物体在时间间隔 内经过的路程可用速度函数表示为 。12,T21()Tvtd另一方面，这段路程还可以通过位置函数 S（t）在 上的增量 来表达，即2,12)(ST=21()Tvtd12)(S而 。()Stv对于一般函数 ，设 ，是否也有()fx()Ffx()baf
3、dba（三） 、分析归纳，抽象概括若上式成立，我们就找到了用 的原函数（即满足 ）的数值差 来计算()fx()Fxf()Fba在 上的定积分的方法。()fx,ab注：1：定理 如果函数 是 上的连续函数 的任意一个原函数，则()Fx,ab()fx()bafxd证明：因为 = 与 都是 的原函数，故t()x()f- =C（ ）()Fxb其中 C为某一常数。令 得 - =C，且 = =0a()a()(aftd即有 C= ，故 = +FxF= - =()x()(aft令 ，有b)afdxb此处并不要求学生理解证明的过程为了方便起见，还常用 表示 ，即()|baFx()Fa()()|bbaafxd该式
4、称之为微积分基本公式或牛顿莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。（四） 、知识应用，深化理解例 1计算下列定积分：（1） ； （2） 。dx321()xd解：（1）因为 ，所以 。(ln)211ln|lln2x（2） ）因为 ，2 2,xx所以 。3332111()dd231
5、1|(9)3x练习：计算 0x解：由于 是 的一个原函数，所以根据牛顿莱布尼兹公式有32= = =10xd10|31例 2计算下列定积分：。2200sin,si,sinxd由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。解：因为 ，(cos)ix所以，00sin(s)|(cos)(s0)2d，22| coxx . 00si(cs)|(cs)(s)可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图 1.6一 3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图 1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）当对应的曲边梯形位于 x
6、 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 例 3汽车以每小时 32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 =1.8米/秒 2刹车，a问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当 t=0时，汽车速度 =32公里/小时=0v米/ 秒 8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 当汽车停住时,速度32106 0(t)=t8.-1tva,故从 解得 秒(t)=v(t)8.-1t=0v8.t4.931于是在这段时间内,汽车所走过的距离是= 米,即在刹车后,汽车需走过4.934.9300(t)(.8t)svdd4.93201(.8t).21.90米才能停住.课堂练习（五） 、归纳小结、布置作业1.微积分基本定理2.基本初等函数的原函数公式布置作业：
