1、1.7.1 定积分在几何中的简单应用 教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积； 教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数教学过程设计（一） 、复习引入，激发兴趣。【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？(二)、探究新知，揭示概念【热身训练】练习计算 计算 dx2242sindx【热身训练】练习用定积分表示阴影部分面积【学生
2、活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案. 0yx22214dxsindx图1 图2（三） 、分析归纳，抽象概括探究由曲线所围平面图形的面积解答思路a b XA0yA2a b曲边梯形（三条直边，一条曲边）a b XA0y曲边形面积 A=A1-A2a b1xyNMOabA BCD)(1yfx)(2yfxyNMO a bAB CD)(1xf)(2fyxyOABCD2xy11-1-1（四） 、知识应用，深化理解例 1计算由两条抛物线 和 所围成的图形的面积.2yx2【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解： ，所以两曲线的交点为（0，0
3、） 、 （1，1） ，21yxx及面积 S= ，所以 =11200xd120S=(x-)d3210x13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。例 2计算由直线，曲线 以及 x 轴所围图形的面积 S.4yx2y分析：首先画出草图（图 1.7 一 2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分 S1和 S2为了确定出被积函数和积分的上、下xyOABCD2xy11-1-1限，需要求出直线 与曲线 的交点的横坐标，直线 与 x 轴的交点4yx2yx
4、4y解：作出直线 ，曲线 的草图，所求面积为图 1. 7 一 2 阴影部分的面积4yx2yx解方程组 得直线 与曲线 的交点的坐标为（8,4) . 2,yx直线 与 x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为 S=S1+S24y4880442()dxd.338282410|3x由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限课堂练习如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数 h，宽为常数 b 求证：抛物线拱的面积 bhs32（五） 、归纳小结、布置作业解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：1画草图，求出曲线的交点坐标hb2将曲边形面积转化为曲边梯形面积3根据图形特点选择适当的积分变量 （注意选择 y 型积分变量时，要把函数变形成用 y 表示 x 的函数）4确定被积函数和积分区间5计算定积分，求出面积.布置作业：
