1、1.7.1 定积分在几何中的应用【 学 情 分 析 】 ：在 上 一 阶 段 的 学 习 中 ， 已 经 学 习 了 利 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 单 个 被 积 函 数 的 定 积 分 ，并 且 已 经 理 解 定 积 分 可 以 计 算 曲 线 与 x 轴 所 围 面 积 。 本 节 中 将 继 续 研 究 多 条 曲 线 围 成 的 封闭 图 形 的 面 积 问 题 。 学 生 将 进 一 步 经 历 到 由 解 决 简 单 问 题 到 解 决 复 杂 问 题 的 过 程 ， 这 是 一 个 研究 问 题 的 普 遍 方 法 。 学 生 能 正 确 的 理 解 定 积 分
2、的 几 何 意 义 ， 是 求 面 积 问 题 的 基 础 。 但是 对 各 种 图 形 分 割 的 技 巧 以 及 选 择 x 型 区 域 或 y 型 区 域 计 算 是 比 较 陌 生 的 。 突 破 点 是一 定 要 借 助 图 形 直 观 ， 让 学 生 清 楚 根 据 曲 线 的 交 点 划 分 图 形 （ 分 块 ） 以 及 根 据 曲 线 的 特 点（ 解 出 变 量 x 还 是 y 简 单 ） 选 择 x 型 区 域 或 y 型 区 域 。【 教 学 目 标 】 ：（ 1） 知 识 与 技 能 ： 解 决 一 些 在 几 何 中 用 初 等 数 学 方 法 难 以 解 决 的
3、平 面 图 形 面 积 问 题（ 2） 过 程 与 方 法 ： 在 解 决 问 题 中 ， 通 过 数 形 结 合 的 思 想 方 法 ， 加 深 对 定 积 分 几 何 意 义 的理 解（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 体 会 事 物 间 的 相 互 转 化 、 对 立 统 一 的 辩 证 关 系 ， 培 养 学 生 辩 证唯 物 主 义 观 点 ， 提 高 理 性 思 维 能 力 【 教 学 重 点 】 ：（ 1） 应 用 定 积 分 解 决 平 面 图 形 的 面 积 问 题 ， 使 学 生 在 解 决 问 题 的 过 程 中 体 验 定 积 分 的价 值 以 及 由 浅 入
4、 深 的 解 决 问 题 的 方 法 。（ 2） 数 形 结 合 的 思 想 方 法【 教 学 难 点 】 ：利 用 定 积 分 的 几 何 意 义 ， 借 助 图 形 直 观 ， 把 平 面 图 形 进 行 适 当 的 分 割 ， 从 而 把 求 平 面图 形 面 积 的 问 题 转 化 为 求 曲 边 梯 形 面 积 的 问 题 【 教 学 过 程 设 计 】 ：教 学 环节教 学 活 动 设 计 意 图一、例题1（ 1） 师 ： 我 们 已 经 看 到 ， 定 积 分 可 以 用 来 计 算 曲 边 梯 形 的 面 积 ，事 实 上 ， 利 用 定 积 分 还 可 以 求 比 较 复 杂
5、 的 平 面 图 形 的 面 积 。（ 2） 例 题 1 计 算 由 曲 线 所 围 图 形 的 面 积 S。22,yx 1DC BA1y2=xy=x2O xy生 ： 思 考 ， 讨 论师 （ 引 导 ， 总 结 ） ： 例 1 是 求 由 两 条 抛 物 线 所 围 成 的 平 面 图形 的 面 积 第 一 步 ， 画 图 并 确 定 图 形 大 致 形 状 、 范 围 ， 借 助 几何 直 观 ， 将 所 求 平 面 图 形 面 积 看 成 位 于 x 轴 上 方 的 两 个 曲 边 梯形 面 积 之 差 ；引 入 课 题1BA1y2=xO xyAy=x21 B1O xy师 ： 第 二 步
6、 ， 确 定 积 分 上 、 下 限 ， 即 通 过 解 方 程 组 求 出 交 点 的 横坐 标 ， 进 而 确 定 被 积 函 数 和 积 分 上 、 下 限 (本 例 中 需 将 曲 线的 解 析 式 进 行 变 形 ， 得 到 ， 由 于 所 围 图 形 在 x 轴2yxyx上 方 ， 因 此 取 )；yx y=xA1 B1O xy解 方 程 组 得 交 点 的 横 坐 标 为 及 。2yx0x1师 ： 第 三 步 ， 写 出 平 面 图 形 面 积 的 定 积 分 表 达 式 ， 运 用 微 积 分 基本 定 理 计 算 定 积 分 ， 从 而 求 出 平 面 图 形 的 面 积因
7、此 ， 所 求 图 形 的 面 积 为120332d13OABCOABDSSx曲 边 梯 形 曲 边 梯 形10师 ： 我 们 解 决 这 样 问 题 的 一 般 解 题 方 法 和 步 骤 是 ？生 （ 总 结 ） ： 一 般 先 画 出 它 的 草 图 借 助 图 形 直 观 确 定 出 被 积 函 数 以 及 积 分 的 上 、 下 限 利 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 定 积 分 ， 从 而 求 出 平 面 图 形 的 面 积 师 ： 我 们 把 这 个 题 目 提 升 为 一 般 类 型 ： 即 求 两 条 曲 线 所 夹 面 积 ：若 函 数 和 在 区 间 上 连 续
8、且 在 上 有 ,()fxg,ab,ab()fxg那 么 由 y f (x)， y g（ x） ,x=a,x=b 所 围 成 的 有 界 区 域 面 积 为板 书 解 题 详 细 步 骤 ，规 范 学 生 的 解 题 格式 。结 合 例 题 ， 对 解 题步 骤 进 行 归 纳 总 结 ，使 学 生 明 确 利 用 定积 分 求 平 面 图 形 面积 的 基 本 步 骤 。简 单 的 证 明 可 以 留给 学 生 作 为 课 外 联系 。b()daAfxg fb()axAy=g(x)baO xy y=f(x)我 们 看 到 ， 尽 管 我 们 的 证 明 的 示 意 图 中 曲 线 与()yf
9、x的 均 在 x 轴 上 方 ， 但 是 ， 由 1.6 的 学 习 我 们 可 以 知 道 ，()ygx曲 线 或 在 x 轴 下 方 也 不 影 响 我 们 的 证 明 ， 结 论 仍f()yg然 是 正 确 的 。师 ： 更 一 般 的 ， 若 函 数 和 在 区 间 上 连 续 ,那 么 由()fg,aby f (x)， y g（ x） ,x=a,x=b 所 围 成 的 有 界 区 域 面 积 为。 但 是 仍 然 去 绝 对 值 后 转 化 为 分 出 和bdaA ()fx的 大 小 解 决 。()gx二 、例题2例 题 2 计 算 由 直 线 ， 曲 线 以 及 x 轴 所 围 图
10、 形 的4yx2y面 积 S。师 ： 仿 照 上 题 的 思 路 ， 能 够 解 决 这 个 题 目 。生 ： 可 以 。生 ： 思 考 ， 计 算 ， 对 比 课 本 的 解 答 。师 ： 巡 视 。师 ： 本 题 还 有 其 他 的 解 法 吗 ？生 ： 将 所 求 平 面 图 形 的 面 积 看 成 一 个 曲 边 梯 形 与 一 个 三 角 形 的 面积 之 差 8805402d()d3Sxx y=2xxOyx=y+4xOy师 ： 本 题 还 可 以 将 所 求 平 面 图 形 的 面 积 看 成 位 于 y 轴 右 边 的 一个 梯 形 与 一 个 曲 边 梯 形 的 面 积 之 差
11、 ， 因 此 取 y 为 积 分 变 量 ， 还需 要 把 函 数 变 形 为 ， 函 数 变 形 为 。4yx4xy2x2y x=y+4xOyy22xOy这 时 候 ， 把 例 题 2 转 化 成 例 题 1 的 图 形 。4400()d3ySy师 ： 比 较 这 些 解 法 ， 你 有 什 么 想 法 ？生 ： 比 较 这 些 解 法 可 以 发 现 利 用 定 积 分 求 平 面 图 形 面 积 时 ， 适当 地 分 割 图 形 或 适 当 地 选 择 积 分 变 量 可 以 简 化 解 题 过 程 如果发现其他解法，记录展示。教 学 中 可 以 引 导学 生 得 出 不 同 的 解法
12、并 进 行 比 较 选 择 x 作 为 积 分 变量 则 作 为 x 型 计算 ， 选 择 y 作 为积 分 变 量 则 作 为y 型 计 算 。三 、实 践新 知练 习 ： 1.计 算 曲 线 和 所 围 的 图 形 面 积 。2xy24y 体 会 如 何 灵 活 处理 x 型 区 域 问 题与 y 型 区 域 问 题 2412x=4y2x=y2Oyx解 法 一 （ 按 x 型 计 算 ） ： 联 立 ， 解 得 。24y2,xy如 图 ， 由 对 称 性 ,1S， 其 中 被 积 函 数410()dSfx , 02()44xf 24102dx其 中 31 132 22,(4)xx ， 24
13、332108Sx163S解 法 二 （ 按 y 型 计 算 ） ：联 立 ， 解 得 。24x2,xy2 22 232()d(4)d164Syxyx2 求 抛 物 线 与 直 线 所 围 成 的 平 面 区 域 的 面 积 。yx230y 91x2y3=0y2=xOyx解 法 一 ： 所 给 的 区 域 不 是 一 个 规 范 的 x-型 区 域 ， 如 图 ， 为 了便 于 计 算 需 将 其 图 形 进 行 分 割 ,即 可 化 成 两 个 x-形 区 域 的 面积 问 题 。91x2y3=0y2=xOyx联 立 方 程 组 得 ， 解 得 ，230xy12,9x ，104()Sd9212
14、83x 总 面 积 12S解 法 二 ： 以 y 为 积 分 变 量 ， 区 域 看 成 是 y 型 区 域 求 解 。联 立 方 程 组 得 ， 解 得 ，230x12,3 321()dSyy四 、巩 固新 知1.P65 练 习 (1)(2)总 结归 纳1.利 用 定 积 分 求 平 面 图 形 面 积 的 基 本 步 骤 ： 一 般 先 画 出 它 的 草 图 借 助 图 形 直 观 确 定 出 被 积 函 数 以 及 积 分 的 上 、 下 限 利 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 定 积 分 ， 从 而 求 出 平 面 图 形 的 面 积 2 若 函 数 和 在 区 间 上 连
15、续 ,那 么 由 y f (x)，()fxg,aby g（ x） ,x=a,x=b 所 围 成 的 有 界 区 域 面 积 为b()daAf3. 利 用 定 积 分 求 平 面 图 形 面 积 时 ， 适 当 地 分 割 图 形 或 适 当 地 选 择积 分 变 量 可 以 简 化 解 题 过 程 选 择 x 作 为 积 分 变 量 则 作 为 x型 计 算 ， 选 择 y 作 为 积 分 变 量 则 作 为 y 型 计 算 。布 置作 业1P67 习题 1.7 A 组 12P68 习题 1.7 B 组 1、 2、3设 计反 思如 果 特 色 班 在 学 习 例 题 1 的 时 候 ， 可 以
16、 由 学 生 总 结 规 律 。 例 题2 以 及 练 习 ， 教 师 特 别 应 该 强 调 清 楚 根 据 曲 线 的 交 点 划 分 图 形（ 分 块 ） 以 及 根 据 曲 线 的 特 点 （ 解 出 变 量 x 还 是 y 简 单 ） 选择 x 型 区 域 或 y 型 区 域 。 这 个 地 方 可 以 由 老 师 帮 助 学 生 归 纳 。（基础题）1. 如右图，求直线 与抛物线 所围成的图形面积。23yx2yx解：由方程组 ，可得 ，故所求面积为212,333221 1()dSxxx 2. 如图所示，阴影部分面积是（ ）(A) (B) (C) (D)232335答案：C解释：11
17、2323 3()dxx 3. 由曲线 和 x 轴、直线 、 所围成图形的面积为 1ye0x答案：3解释：如图所示，333112100dxxeSe4. 由曲线 和 x 轴所围成的图形面积为 64y答案：144解释：如图所示，曲线 与 x 轴交点为 ，与 y 轴交点为 ，64y(24,0)(0,6) 12()1S5. 由曲线 和直线 所围成的图形面积为 lnyx2,yy=x2y=2x+3xyO (-3,-6)(1,2)y=3-x2y=2xO xy311y=ex-1x=3Oyxx11y=x4-6Oy答案： 29e解释：如图所示，曲线 与 的交点为 ，lnyx22(,)e 2 2 21l()d(l)d
18、ee eSx 29（中等题）6. 求由曲线 和 所围成的图形在区间 上的面积。1sinyxsin2yx0,答案：1解释：如图所示， 0 011sinsidsinsid22Sxxx02cosx7. 求曲线 及直线 所围成的平面图形的面积1y,3yx解释：先求交点坐标，由 得交点 ，1(,1)A以 y 为积分变量，求面积3321 1dln4lSyy（难题）8. 的值为（ ）204dx(A) (B) (C) (D)以上都不对1答案：C解释：由定积分的几何意义可知，所求的为圆 的第一象限的面积24xy214S9. 在曲线 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 ，试求：2(0)yx（1）切点 A 的坐标；（2）过切点 A 的切线方程。解：如右图，设切点 ，由 ，过点 A 的切线方程为 ，0(,)xyx002()yx即 。令 ，得 ，即 。设由曲线和过 A 点的切线20020,xCx=2y=-2y=lnxx11OyO xy xy=111y=3y=xxyOB11CAy=x2xyO及 x 轴所围成的图形面积为 ， ，S002331d=xxAOB曲 边 ，即： ， ，从而切点 ，2300111()24ABCxS 3300142Sx0x(1,)A切线方程为 。y
