1、课时作业(十) 曲边梯形的面积、汽车行驶的路程A 组 基础巩固1和式 (xi1)可表示为 ( )5 i 1A(x 1 1)(x 51)Bx 1 x2x 3x 4x 51Cx 1 x2x 3x 4x 55D(x 1 1)(x2 1)(x51)解析： (xi1)(x 11) (x 21)( x31)(x 41)(x 51)5 i 1x 1x 2x 3 x4x 55.答案：C2求由抛物线 y2x 2 与直线 x0，xt(t 0) ，y0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间0， t等分成 n 个小区间，则第 i1 个区间为( )A.i 1n，inB.in，i 1n C.ti 1n ，tinD.ti 2n
2、 ，ti 1n 解析：在0，t上等间隔插入 (n1)个分点，把区间0，t等分成 n 个小区间，每个小区间长度均为 ，故第 i1 个区间为 .tn ti 2n ，ti 1n 答案：D3已知某物体运动的速度为 vt 3，t 0,1，若把区间 4 等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的近似值为( )A. B.119 111256C. D.110270 2564解析：s .(14)3 (12)3 (34)3 13 14 13 23 33 4344 2564答案：D4设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax 0x 1x i1 x ix nb，把区间 a， b等分成 n
3、个小区间，在每个小区间x i1 ，x i上任取一点 i(i1,2，n) ，作和式 Sn f(i)x(其中 x 为小区间的长度)，那么 Sn 的大小( )n i 1A与 f(x)和区间a，b有关，与分点的个数 n 和 i 的取法无关B与 f(x)和区间 a，b的分点的个数 n 有关，与 i 的取法无关C与 f(x)和区间 a，b的分点的个数 n， i 的取法都有关D与 f(x)和区间a，b的 i 的取法有关，与分点的个数 n 无关解析：用分点 ax 0x 1x i1 x ix nb 把区间a，b 等分成 n 个小区间，在每个小区间x i1 ，x i上任取一点 i(i1,2，n)，作和式 Sn f
4、(i)x.若对和式求极n i 1限，则可以得到函数 yf( x)的图象与直线 xa，x b，y0 围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关答案：C5已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线) 行驶，甲车、乙车的速度曲线分别为 v 甲 和 v 乙 (如图所示) 那么对于图中给定的 t0 和 t1，下列判断中一定正确的是( )A在 t1 时刻，甲车在乙车前面Bt 1 时刻后，甲车在乙车后面C在 t0 时刻，两车的位置相同Dt 0 时刻后，乙车在甲车前面解析：因为变速直线运动的物体在某一时间区间上的路程等于在这一区间上的函数图象与 x 轴之间
5、区域的面积图中各部分的面积我们用 a，b，c，d 表示，如图，故当时间为t0 时，甲走过的路程是 ac ，乙走过的路程是 c；当时间为 t1 时，甲走过的路程是acd，乙走过的路程是 c db.从图象可知 ab，所以在 t1 时刻 ac dcdb，即甲车的路程大于乙车的路程，A 正确；t1 时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙车走过的路程，但甲车不一定在乙车后面，B错；t0 时刻，甲、乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C 错；t0 时刻后，t 1 时刻时，甲车走过的路程大于乙车走过的路程， D 错答案：A6求由抛物线 f(x)x 2，直线 x0，x 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若
6、将区间0,15 等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为_解析：S Error!15Error!0.33.答案：0.337如图，曲线 C：y 2 x(0x2)两端分别为 M，N ，且 NAx 轴于点 A，把线段 OA分成 n 等份，以每一段为边作矩形，使其与 x 轴平行的边的一个端点在曲线 C 上，另一端点在曲线 C 的下方，设这 n 个矩形的面积之和为 Sn，则 (2n3)( 1)S nlimn n4_.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为 1，公比为 2 ，n则 Sn (12 2 2 ) .2n 4nn2n 2n 31 n4所以 (2n3)( 1)
7、S nlimn n4 12.limn 2n 3n4 12n 31 n4答案：128已知自由落体的物体速率为 vgt (g 为常数)，则物体从 t0 到 t4 所走的路程为_解析：物体从 t0 到 t4 所走的路程就是速率时间曲线与时间轴所围成图形的面积，因为 t0 时，v0；t4 时，v4g，所以所走路程 s 44g8g.12答案：8g9求由直线 x1，x 2，y 0 及曲线 y 围成的图形的面积 S.1x2解析：(1)分割：将区间1,2 等分成 n 个小区间，记第 i 个区间为(i1,2， n)，其长度为 x .每个小区间对应的小1 i 1n，1 in (1 in) (1 i 1n ) 1n
8、曲边梯形的面积记作 S1，S 2，S n，则小曲边梯形的和为 S Si.n i 1(2)近似代替：因为 1 1 ，所以可用 fi 1n (1 i 1n )(1 in) in近似代替函数在这个小区间上的函数值，则小曲边梯形的面积 Si 可用以( (1 i 1n )(1 in)f 为高， 为底边长的小矩形的面积 Si 近似代替即( (1 i 1n )(1 in) 1nSiS if x( (1 i 1n )(1 in) n2n i 1n i1n (i1,2，n)nn i 1n i(3)求和：Sn Si n i 1 n i 1 nn i 1n i nnn 1 nn 1n 2 nn n 1n nn (1
9、n 1n 1 1n 1 1n 2 1n n 1 1n n)n (1n 12n) ，12从而得到 S 的近似值 SS n .12(4)取极限：当 n 趋向于无穷大时，S n 越来越趋向于 S，所以 S Sn .limn 12所以由直线 x1，x 2，y 0 及曲线 y 围成的图形的面积 S 为 .1x2 12B 组 能力提升10汽车做变速直线运动，在时刻 t 的速度(单位：km/h)为 v(t)t 22，那么它在1t 2( 单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解析：将区间1,2等分成 n 个小区间，第 i 个小区间为(i1,2， n)1 i 1n，1 in第 i 个时间区间的路程的近似值为i i
10、v(t) v 1n (1 i 1n )1n ，3n 2i 1n2 i 12n3于是 sn i n i 1 n i 13n 2i 1n2 i 12n3 n (0 12n 1) 122 2( n1) 23n 2n2 1n33 2n2n 1n2 1n3n 1n2n 163 .(1 1n) 13(1 1n)(1 12n)所以 s snlimn limn 3 (1 1n) 13(1 1n)(1 12n) .133答：这段时间行驶的路程为 km.13311如图所示，求图中曲边梯形的面积(只要求写出极限形式)解析：(1)分割：如图所示，将区间 a，b任意分割成 n 个小区间，其分点记为：x1，x 2，x n
11、1 ，x 0a，x nb，即 x0ax 1x 2x n1 x nb，每个区间记为xi 1，x i(i1,2 ，n)(2)近似代替：在每个小区间上任取一点，记为 i(xi1 ix i)并记 xix ix i1 .以小区间长度 xi 为底，f( i)为高的小矩形面积 f(i)xi，设小曲边梯形面积为Ai(i1,2 ， ，n)，则有 Aif( i)Ai(i1,2，n)(3)求和：将所有 n 个小矩形面积加起来，得Snf( 1)x1f( 2)x2f( n)xn f(i)xi.n i 1(4)取极限：如果分点的数目无限增多，且每个小区间的长度趋近于零时，和式的极限存在，则和式的极限就是所求曲边梯形的面积 S.即 S f(i)xi.limn n i 1
