1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数,函数的最大（小）值与导数,内容：利用导数研究函数的最大（小）值,应用:,1.求函数的最大值和最小值,2.已知函数的最值求函数的解析式,3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取值范围.,本课主要学习利用导数研究函数的最大（小）值。以视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联系，感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决的三类问题给出4个例题和变式，通过解决问题巩固新知，强调利用导数研究函数最值问题的重要性。 在讲述利用导数研究函数最值时，采用例题与变式结合
2、的方法，通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在闭区间的最值的方法。例3及变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力；而例4是与函数最值有关的恒成立问题，说明思路的由来过程，开阔了学生的思路,通过观看视频，大家一起讨论一下荡秋千线最高、最低点问题.,世界上最长的荡秋千线最高、最低点,f (x)0,f (x)0,问题1：函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)为增函数,f(x)为减函数,问题2：函数的极大（小）值的概念,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)
3、f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称 为极值.,使函数取得极值的点x0称为极值点,（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f(x)（3）求方程f(x)=0的根,找到临界点（4）解不等式并列成表格（5）求出极值,问题3:求函数的极值的方法与步骤,左正右负极大值，左负右正极小值,问题4: 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？,观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值.,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为
4、求一个函数的最大值和最小值问题.,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.,问题1：这个函数f(x)在区间a,b上有极值吗？问题2：指出它的极值点有哪些，并分别说明是极大值点还是极小值点问题3：f(x)在a,b上存在最值吗？你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得？问题4：你是如何得出最大（小）值的？,观察下面一个定义在区间a,b上的函数f(x)的图象,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象：,如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判
5、断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,例如:已知函数 ，求f(x)在区间0,3上的最大值和最小值,例如:已知函数 ，求f(x)在区间0,3上的最大值和最小值,问题1：你能否自己画出这个函数的图象，再通过画出的图象确定函数的最值呢？问题2：你的作图是否准确无误呢？如果作图出现较大的误差，会不会影响到你的判断？问题3：假设你的作图准确度很高，你觉得每次都这么去作图是否很方便？问题4：有没有更好的办法，使我们不用作图就能准确的求出任意一个函数的最值呢？,问题1：你是如何理解“连续不断的曲线”的？问题2：给定函数的区间a,b能否改为(a,b)？,通过以上的思考，你能否给出某函数在一个确定的闭
6、区间上存在最值的条件呢？,观察下列图形,你能找出函数的最值吗？,在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值,在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,问题3：你能说出函数的极值与最值有什么区别与联系吗？,(1)“最值”是整体概念，而“极值”是个局部概念(2)从个数上看，一个函数在给定定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一，也可能没有(3)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值,一般的如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必
7、有最大值和最小值。,由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.,例1.已知函数 ,求f(x)在区间0,3上的最大值和最小值,(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤：,(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；,1.求出所有导数为0的点；,2.计算；,3.比较确定最值。,求函数的最大值和最小值,求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x
8、变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).,例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37, (1)求a的值
9、；（2）求f(x)在-2,2上的最大值,已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由,例4设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的取值范围,有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数,教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1知识：（1）极值与最值的区别与联系：（2）利用导数求函
10、数的最值的步骤：2思想：归纳概括思想、数形结合思想教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用,D,A,A,必做题:,4.函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为（ )(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20,C,1.函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值为 ,最小值为 .,分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =2
11、0 , f (4) =76,得x1=3，x2=1,函数值为f (3)=27, f (1)=5,76,-5,当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5,选做题:,反思：本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。,3. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值.,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为2,解法二:,f (x)=2x-4,令f (x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理,
