1、第 2 节 椭圆的简单几何性质撰写：刘一博 审核：冬焱三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质 奎 屯王 新 敞新 疆2掌握标准方程中 的几何意义，以及 的相互关系 奎 屯王 新 敞新 疆cba, ecba,3理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法 奎 屯王 新 敞新 疆2理解椭圆第二定义与第一定义的等价性；能推导，掌握椭圆的焦半径公式，并能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题；2能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题二、重点与难点教学重点：椭圆的几何性质，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程 奎 屯王 新 敞新 疆教学难
2、点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质三、本节知识理解1.学法点拨椭圆1 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹定义2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（00)2byax( 0)参数方程为 离 心 角 ）参 数 (sincobyax 为 离 心 角 ）参 数 (sincobyax范围 axa，b yb axa，byb中心 原点 O（ 0，0） 原点 O（0，0）顶点 (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)对称轴 X 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bX 轴，y
3、 轴；长轴长 2a,短轴长 2b焦点 F1(c,0), F2(c,0) F1(c,0), F2(c,0)焦距2c （其中 c= ）2ba2c （其中 c= ）2ba离心率 )10(ec )10(ec准线x= c2x= c2焦半径 exarexar通径 b2 b2精题精讲例 1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画40256yx出它的图形解：把已知方程化成标准方程1452yx所以， ，3,2cba因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 ，离心率 ，两个焦82,10ba53ace点分别为 ，椭圆的四个顶点是 ， 奎 屯王 新 敞新 疆)0,(,3(21F ),5(A)4,
4、0(,(2B将已知方程变形为 ，根据 ，在 的范围内算出254xy254xy50几个点的坐标 ：),(x0 1 2 3 4 5y4 3.9 3.7 3.2 2.4 0先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆： 4-4 5-5xOy例 2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。（1） （2）1652yx1952yx答：简图如下： 4-45-5 -33xOy例 3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。（1） （2）192yx13692yx答：简图如下： 奎 屯王 新 敞新 疆 2-23-3xOy 6-6 7-7xOy例 4 写出下列椭圆的准线
5、方程：（1） (2) 奎 屯王 新 敞新 疆42yx1862yx解：方程 可化为 ，是焦点在 轴上且 ， 的椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆42yx12 ,ba3c所以此椭圆的准线方程为 奎 屯王 新 敞新 疆34x方程 是焦点在 轴上且 ， 的椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆1862yxy,9ba65c所以此椭圆的准线方程为 奎 屯王 新 敞新 疆6581例 5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆过(3，0)点，离心率 e= 。3（2）过点（3，-2）且与椭圆 有相同焦点。24x9y6（3）长轴长与短轴长之和为 10，焦距为 。5（4）中心在原点，离心率为 ，准线方程为 。3x3（5
6、）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离是 。105【解】 当椭圆的焦点在 x 轴上时，a=3, = ,c= .从而 b2=a2c 2=96=3,36椭圆的方程为 =1.92y当椭圆的焦点在 y 轴上时，b=3, = ,ac36 = ,a 2=27.a236椭圆的方程为 =1.279yx所求椭圆的方程为 =1 或 =1.392yx例 6 求满足下列条件的椭圆的离心率.（1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的 2 倍.（2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.（3）设 为椭圆 的两个焦点，以 为圆心过椭圆中心
7、的圆与椭圆有一12F,2xy1ab0()1F个交点 M，若直线 与圆 相切.21F（4）若 分别为椭圆 的左、右焦点，P 是以 为直径的圆与椭圆的12F, 2xyab0()12F一个交点，且 .1221P5F例 7 已知椭圆 与 轴的正半轴交于 A,O 是原点,若椭圆上存在一点 M,使)0(2bayxxMAMO,求椭圆离心率的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆例 8 椭圆 上有一点 P，它到椭圆的左准线距离为 10，求点 P 到椭圆的右焦点的距离 奎 屯王 新 敞新 疆13602yx解：椭圆 的离心率为 ，根据椭圆的第二定254e义得，点 P 到椭圆的左焦点距离为 奎 屯王 新 敞新 疆810再
8、根据椭圆的第一定义得，点 P 到椭圆的右焦点的距离为20812 奎 屯王 新 敞新 疆例 9 设 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上12Fc0,2xy1ab0()0Pxy,一点，求证： 奎 屯王 新 敞新 疆1020PaeFae,例 10 椭圆 ，其上一点 P(3, )到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5，求椭)0( 12bayax y圆方程 奎 屯王 新 敞新 疆解：由椭圆的焦半径公式，得，解得 ，从而有 奎 屯王 新 敞新 疆5.36ea21,ea 475,252cabc所求椭圆方程为 奎 屯王 新 敞新 疆7542yx例 11 已知椭圆的中心在原点，长轴在 x 轴上，离心率 ，已知
9、点 到这个椭圆上的点3e23P02(,)的最远距离是 ，求这个椭圆方程.7例 12 已知 是椭圆 的两个焦点，点 P 是椭圆上一点.12F,2xy1064（1） 若 ，求 的面积；12P312FA（2） 若 为钝角，求点 P 横坐标的取值范围.例 13 已知椭圆 内一点 P（1，-1） ，F 是椭圆的右焦点，点 M 在椭圆上， （1）求点 M 坐2xy43标，使 最小；（2）求点 M 坐标，使 最大.PMFP解：A( ,0)，设 M 点的坐标为 （ ） ，由 MAMO 得a)sin,co(ba20 奎 屯王 新 敞新 疆1sincosib化简得 奎 屯王 新 敞新 疆 21,0cos1cosi
10、n)c(22 a所以 奎 屯王 新 敞新 疆1,12be例 14 把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程10F2F1N1K1 P B2B1 A2A1xOy(1) (2) .)(sin4co3为 参 数yx 182yx解：(1) )(i为 参 数 432(2) 182yx )(sinco为 参 数yx例 15 已知椭圆 上的点 P( ),求 的取值范围.),0(sico为 参 数bayx,y21解： yx212,4sin(2例 16 已知直线 l 与椭圆 相交于 A、B 两点，弦 AB 中点坐标（1，1） ，求 及4x9y36 AB直线 l 的方程。例 17 已知椭圆21（1）求斜率为
11、 2 的平行弦的中点轨迹方程；（2）过 引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程；(,)A（3） 求过点 ，且被 平分的弦所在的直线方程.1P例 18 已知中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点横坐标为 ，05,y3x212求此椭圆的方程.例 19 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 被椭圆截得的弦 AB 的长为1，且 AB 的中点 C 与椭圆中心的连线的斜率为 ，求这个椭圆的方程.2 2例 20 已知椭圆 上有两个不同点关于直线 对称，求 m 的取值范围.2xy143y4x基础达标1.椭圆 6x2+y2=6 的长轴的端点坐标是（ ）A.(1,0)、(1,0) B.(6,0
12、)、(6,0)C.( ，0)、( ,0) D.(0, )、(0, )6【答案】 D2.已知点（m，n）在椭圆 8x2+3y2=24 上，则 2m+4 的取值范围是（ ）A.4-2 ,4+2 B.4- ,4+ 33C.4-2 ,4+2 D.4- ,4+ 22【解析】由 8x2+3y2=24 得 =1.- m ,4-2 2m+44+2 .832yx333【答案】 A3.椭圆 25x2+9y2=225 的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）A.5，3，0.8 B.10，6，0.8 C.5，3，0.6 D.10，6，0.6【解析】把椭圆的方程写成标准方程： =1，知259yxa=5， b=3，c=4.
13、2a=10，2b=6， =0.8.ac【答案】B4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的设心率是（ ）A. B. C. D.5143321【解析】椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，a=2c， = .ac21【答案】D5.已知椭圆 + =1 与椭圆 + =1 有相同的长轴，椭圆 + =1 的短轴长与椭圆2axby25x16y2xby+ =1 的短轴长相等，则（ ）2y9A.a2=25,b2=16 B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9 或 a2=9,b2=25 D.a2=25,b2=9【解析】 椭圆 + =1 的长轴长为 10，焦点在 x 轴上，椭圆 + =1 的短
14、轴长为5x16y 21y9x6，a 2=25,b2=9.【答案】 D6.已知椭圆 C： + =1 与椭圆 + =1 有相同离心率，则椭圆 C 的方程可能是（ 2axby42x9y）A. + =m2(m0) B. + =182x4y 162x4yC. + =1 D.以上都不可能【解析】 把方程 + =m2 写成 + =1,则 a2=8m2,b2=4m2,82x4y28x4yc 2=4m2, = = ,e= = ,而椭圆 + =1 的离心率为 .ac1ac【答案】 A7.椭圆 1（ab0）的准线方程是（ ）2yxA.y .y2 2ba.y .x2ba 2【解析】 椭圆焦点在 y 轴上，且 c= 2
15、ba椭圆的准线方程为 y= .2【答案】 8.若椭圆上的点 P 到焦点的距离最小，则 P 点是（ ）A.椭圆的短轴的端点 B.椭圆的长轴的一个端点C.不是椭圆的端点 D.以上都不对【答案】B9.已知椭圆 =1(ab0)的两准线间的距离为 ，离心率为 ，则椭圆方程为（ 2yx31623）A. =1 B. =1 C. =1 D. =1342yx3162yx126yx4162yx【解析】 由 = , = ，得 a2=16,b4=4.cac【答案】 D10.两对称轴都与坐标轴重合，离心率 e=0.8，焦点与相应准线的距离等于 的椭圆的方程是49（ ）A. =1 或 =1925yx925xB. =1 或
16、 =116yC. + =1162x9yD. =15【解】 设所求椭圆的方程为=1(ab0)2yx或 =1(ab0).由题意，得 22498.0cbac解这个方程组，得 .435cb所求椭圆的方程为： =1 或 =1.925yx925x【答案】 A11.已知椭圆 =1(ab0)的左焦点到右准线的距离为 ,中心到准线的距离为 ，2yx 3734则椭圆的方程为（ ）A. +y2=1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =14xx42xy82x4y【解析】 由 (c)= , = 得 a2=4,b2=1.a37c4【答案】 A12.椭圆 = 的离心率为（ ）22)()(yx58yxA. B. C
17、. D.无法确定2515110【解析】 由 = 知 e= .843)2()(2yx5【答案】 B椭圆上一点的坐标可设为(acos ,bsin ).【答案】 A13.设 O 是椭圆 的中心， P 是椭圆上对应于 = 的点，那么直线 OP 的斜率为（ sin2co3yx 6）A. B. C. D.3323932【解析】 当 = 时，612yxk OP= .932【答案】 D14.点（2，3 ）对应曲线 ( 为参数) 中参数 的值为（ ）sin6co4yxA.k + (kZ) B.k + (kZ ) C.2k + (kZ) D.2k + (kZ )6363【解析】 由 得 ，sin63co422i1
18、cs =2k + (kZ).【答案】 D15.曲线 ( 为参数 )的准线方程为（ ）sin4co5yxA.x= B.y= C.x= D.y=325325425425【答案】 A综合发展1.椭圆 1 与 1（0k）的关系为（ ）25x9ykx2y52A.有相等的长、短轴 .有相等的焦距.有相同的焦点 .有相同的准线【解析】 25k（k ）16，焦距相等.【答案】 2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5，焦点到椭圆中心的距离为 3，则椭圆的标准方程是（ ）A. =1 或 =1 B. =1 或 =1162x9y2x16y2x9y259xC. 1 或 =1 D.椭圆的方程无法确定55【解析】
19、由题意，a=5,c=3,b 2=a2c 2=259=16,椭圆的标准方程为 1 或 =1.2x6y516x【答案】 C3.中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A. =1 B. =1812x7y 812x9yC. =1 D. =145 36【解析】 2a=18,2c= 2a=6,a=9, c=3,b2=819=72.31【答案】 A4.已知点（3，2）在椭圆 =1 上，则（ ）2xyA.点（3，2）不在椭圆上B.点（3，2）不在椭圆上C.点（3，2）在椭圆上D.无法判断点（3，2） 、 （ 3，2） 、 （3，2）是否在椭圆上【解析】
20、 点（3，2）在椭圆 =1 上，axby =1, =1.23ab22)(3ba即点(3,2) 在椭圆 =1 上.xy【答案】 C5.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 26，cos OFA= ，则椭圆的方程是（ ）135A. =1 B. =141692yx14692xyC. =1 或 =1 D. =1 或 =12514692yx214692xy【解析】由 cosOFA= ，知 A 是短轴的端点.长轴长是 26，|FA|=13 即3a=13. = ，c=5，b 2=132-52=122=144.椭圆的方程为 =1 或 =1.13c 1469
21、2yx14692x【答案】D6.曲线 =xy（ ）925yxA.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.以上都不对【解析】同时以-x 代 x，以-y 代 y，方程不变，所以曲线关于原点对称 .【答案】C7.求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标及离心率.【解】 把已知方程化成标准方程： +x2=1，这里 a=5,b=1,所以 c= =2 .51256因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a=10 和 2b=2,两个焦点分别是 F1(0，2 )、F 2(0，2 )，6椭圆的四个顶点是 A1(0，5)、A 2(0，5)、B 1(1，0)和 B2(1，0)
22、. 椭圆的离心率是 58.AA是椭圆 =1(ab0)的长轴，CD 是垂直于长轴的弦，求直线 AC 和 AD 的交点 P2yx的轨迹方程.【解】 设 P（x ,y）,C(x 0,y0),D(x0,y 0)由 A、C、P 共线得： = axy0由 D、A、P 共线得： = 0由联立求出 代入 =1 中得 + =1,xay0220by2xaby整理得 =1.2bax9.椭圆 =1(ab0)的焦点到准线的距离为（ ）2yA. B. C. 或 D. 2ba2ba2ba22ba【解析】焦点到准线的距离为 -c 或 +c，即 或 .c22【答案】C10.若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4 倍，则这个椭圆的离
23、心率为（ ）A. B. C. D.412 21【解析】 椭圆的两准线之间的距离为 ( )= .ca22ca由题意，得 =42c, = .a1【答案】 D11.椭圆 =1 上点 P 到右焦点的最值为（ ）925yxA.最大值为 5，最小值为 4 B.最大值为 10，最小值为 8C.最大值为 10，最小值为 6 D.最大值为 9，最小值为 1【解析】 e= ,由焦半径公式得|PF 2|=5 x0,5x 0 5,当 x0=5 时| PF2|min=1,当 x0=5 时，4|PF2|max=9.【答案】 D12.椭圆的长轴长为 10，短轴长为 8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）A.8,
24、10 B.4,5 C.6,10 D.2,8【解析】由 2a=10，2b=8，得 a=5，b=4.【答案】B13.若椭圆的长轴长为 200，短轴长为 160，则椭圆上的点到焦点的距离的范围是（ ）A.40,160 B.0,100 C.40,100 D.80,100【解析】由题知 2a=200，2b=160，a=100，b=80，c=60.椭圆上的点到焦点的距离范围是100-60,100+60，即40,160.【答案】A14.P 是椭圆 上的点， F1、F 2 是两个焦点，则|PF 1|PF2|的最大值与最小值之差是 .342yx【解析】设 P（x，y） ，则|PF 1|PF2|=4- x2.|P
25、F 1|PF2|的最大值为 4，最小值为 3.4【答案】115.椭圆 (ab0)的两焦点为 F1（0，-c） ，F 2（0，c）(c0)，离心率 e= ，焦点2ba 23到椭圆上点的最短距离为 2- ，求椭圆的方程.3【解】椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，a-c=2- .3又 e= = ，a=2.故 b=1.ac2椭圆的方程为 +x2=1.4y16.已知椭圆的一个焦点是 F（1，1） ，与它相对应的准线是 x+y4=0,离心率为 ，求椭圆2的方程.【解】设 P（x ,y）为椭圆上任意一点， 椭圆的一个焦点是 F（1，1）与它相对应的准线是x+y 4=0,离心率为 ,2 ,4)1()(yx
26、4(x 1)2+4(y1) 2=(x+y4) 2.即 3x2+3y22xy8=0 为所求.17.已知点 P 在椭圆 =1 上（ab0),F 1、F 2 为椭圆的两个焦点，求|PF 1|PF2|的取值2xy范围.【解】 设 P（x 0,y0）,椭圆的准线方程为 y= ,不妨设 F1、F 2 分别为下焦点、上焦点，则ca,02201acyFacy|PF 1|= y0+a,|PF2|=a y0,cc|PF 1|PF2|=(a+ y0)(a y0)=a2 y02cay 0a当 y0=0 时，|PF 1|PF2|最大，最大值为 a2.当 y0=a 时，|PF 1|PF2|最小，最小值为a2c 2=b2.
27、因此，| PF1|PF2|的取值范围是b 2,a2.18.已知点 P 在椭圆 x2+8y2=8 上，并且 P 到直线 l：xy+4=0 的距离最小，求 P 点的坐标【解析】 P 点在椭圆上，设 P（2 cos ,sin ）则有 P 到 l 的距离为d= ,4)sin(324sinco其中 tan =2 ,当 = 时 d 最小，2此时 cos =sin = ,sin =cos = .331P( , )38119.已知 P(x,y)是椭圆 =1 上的点，求 u=x+y 的取值范围.2514yx【解】 椭圆的参数方程可写为 ,sinco1yx可设 P 点的坐标为(12cos ,5sin ).从而 u=12cos +5sin =13sin（ +arctan ）.521313sin（ +arctan ）13，512u 的取值范围是13u13.20.已知点 A（0，-1）及椭圆 =1，在椭圆上求一点 P 使|PA| 的值最大.14692yx【解】点 P 在椭圆上，设 P 的坐标为（13cos ，12sin）.|PA| 2=(13cos) 2+(12sin+1) 2=170-25sin2+24sin.当 sin=- 时， |PA|2 最大，此时 cos= .5425481点 P 的坐标为（ ， ）.8134
