1、第 4 课时 等差数列的通项公式教学过程一、 问题情境引入“ 即时体验” 中的问题,观察数列 :4,7,10,13,16,如何写出它的第 100 项 a100 呢?二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 说出该数列的通项公式 .(结合前面所学知识,引导学生进行归纳)问题 2 这个数列是等差数列吗 ?为什么?如果是等差数列,它的公差是多少?(引导学生看到连续两项的差是定值,即 a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,这一串式子要给出板书)问题 3 对于这个数列,我们已经知道了它是等差数列,那么现在不用归纳的方法,你能求出它的通项公式吗?(让学生观察 a2-a1=3,a3-a2=3,a4-
2、a3=3,引导学生进行叠加,进而求出该数列的通项公式)问题 4 设数列 是一个首项为 a1,公差为 d 的等差数列 ,你能求出它的通项公式吗?(从特殊到一般,让学生经历数学发现的完整过程)通过讨论,结合前面的具体问题 ,给出等差数列通项公式的推导过程以及通项公式 .证明:因为数列 是等差数列,所以当 n2 时, 有a2-a1=d,a3-a2=d,an-an-1=d.将上面 n-1 个等式的两边分别相加,得 an-a1=(n-1)d,所以 an=a1+(n-1)d.当 n=1 时,上面的等式也成立.(二) 理解概念1. 强化推导方法中“叠加法 ”的使用, 同时,指出这一推导思想也是以后求等差数列
3、通项公式的重要思想.2. 等差数列通项公式 an 中的 n 是取值于从 1 开始的正整数,而在等差数列通项公式的证明过程中,n 是取大于或等于 2 的正整数, 所以要独立验证 n=1 时的情形.(三) 巩固概念问题 5 利用推导的公式,写出“问题情境”中问题的通项公式 .(首项 a1=4,公差 d=3,所以 an=a1+(n-1)d=4+(n-1)3=3n+1)问题 6 (根据教材 P39 练习第 2 题改编)求等差数列 8,5,2,的第 20 项;-25,-30 是不是这个数列的项? 如果是, 是第几项; 如果不是,请说明理由.(首项 a1=8,公差 d=-3,则 an=a1+(n-1)d=
4、8+(n-1)(-3)=-3n+11,所以 a20=-320+11=-49.令-3n+11=-25,解得 n=12,所以-25 是这个数列的第 12 项.令-3n+ 11=-30,解得 n= ,而 nN*,所以-30不是这个数列中的项)三、 数学运用【例 1】 (教材 P38 例 2)在等差数列 中,已知 a3=10,a9=28,求 a12.3(见学生用书课堂本 P23)处理建议 分析确定一个等差数列的两个基本量是 a1,d,则条件可以用来建立二元方程.规范板书 解 由题意得 解得 所以 a12=4+(12-1)3=37.题后反思 利用等差数列的首项和公差(一般称为基本量),通过解方程或方程组
5、进行计算是等差数列的基本运算方式; 知道了等差数列的首项和公差可以求数列的任意一项; 知道等差数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项.变式 1 从上面的求解过程可以看到:a 3 比 a1 多 2 个 d,a9 比 a1 多 8 个 d,则 a9 比 a3 多 6个 d,即 a9=a3+6d.能不能不需要求出 a1,也能求出 a12 呢?处理建议 引导学生从项与项的关系进行思考.规范板书 解 由 a9=a3+6d,得 d=3,所以 a12=a3+9d=37(或 a12=a9+3d=37).题后反思 通过等差数列的任意两项的关系,可以获得更具一般性的等差数列的通项公式:由 (m,nN*,mn)得
6、 an-am=(n-m)d,所以 an=am+(n-m)d. 将an=am+(n-m)d 变形为 d= ,这和我们学过的什么知识很相似?(让学生先思考,不要急于让学生回答)变式 2 (教材 P41 习题 2.2(1)第 16 题)在等差数列 中 ,已知 ap=q,aq=p(pq),求 ap+q.规范板书 解法一 两式相减得(p-q)d=q-p,因为 pq,所以 d=-1.则 ap=a1+(p-1)(-1)=q,所以 a1=p+q-1,所以 ap+q=a1+(p+q-1)d=(p+q-1)+(p+q-1)(-1)=0.解法二 ap=aq+(p-q)d,即 q=p+(p-q)d,得(p-q )d=
7、q-p,因为 pq,所以 d=-1.所以 ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q(-1)=0.【例 2】 已知等差数列a n的通项公式为 an=3n+1,请你作出它的图象 .4(见学生用书课堂本 P24)处理建议 此数列的通项公式 an=3n+1 是从“ 问题情境” 得到,可先由学生讨论,尝试进行作图;然后教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生所作图象,纠正可能出现的错误.规范板书 解 如图:(例 2)题后反思 等差数列a n的通项公式 an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于 n 的一次式,但等差数列只是其对应一次函数的一系列孤立的函数值;一次函数的定义域是实数集 R,图
8、象是一条直线,等差数列的图象只是直线上均匀分布的一些点.变式 已知数列 的通项公式 an=kn+b,其中 k,b 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?处理建议 先由学生回忆,讨论判定数列 是不是等差数列的方法,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.规范板书 解 当 n2 时,a n-an-1=(kn+b)-k(n-1)+b=kn+b-(kn-k+b)=k,它为常数,所以数列 是等差数列.它的首项为 a1=k+b,公差为 k.题后反思 若 k=0,则数列 是公差为 0 的等差数列 ,即为常数列 b,b,b,; 若 k0,则数列 是关于 n 的一次式 ,一次项的系
9、数 k 即为公差 d.(回头看例 1 变式 1 题后反思中的 d= ,可问学生感悟到什么 )*【例 3】 在等差数列 中,若 a1+a9=32,a4=13,求 a6,a5.5处理建议 可先由学生讨论,利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误.本题的关键是引导学生观察所给项的下标,通过它们与 a1,d 的关系,找出项的和之间的关系式.规范板书 解 因为 a1+a9=2a1+8d,而 a4+a6=2a1+8d=a1+a9=32,a4=13,所以 a6=19.而a5=a1+4d=(a4+a6)=16.题后反思 在处理等差数列的计算时,有时候可以用整体的思想来解题. 在
10、等差数列 中,首项为 a1,公差为 d,若 m,n,p,q,sN*,且 m+n=p+q=2s,则有am+an=ap+aq=2as.(证明:a m+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(m+n-2)d,ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,as=a1+(s-1)d,因为 m+n=p+q=2s,所以 am+an=ap+aq=2as)也可理解成:a s 是am 与 an(或 ap 与 aq)的等差中项 .变式 已知等差数列 中,a 3+a4+a5+a6+a7=450,求 a2+a8.规范板书 解 因为 a3+a7=2a5,a4+a6=2a5.
11、所以由 a3+a4+a5+a6+a7=450,得 5a5=450,所以 a5=90.所以 a2+a8=2a5=180.四、 课堂练习1. -30 是不是等差数列 0,- ,-11,的项?如果是, 是第几项?如果不是, 请说明理由.解 由题意得 an=- n+ .令- n+ =-30,解得 n= ,而 nN*,所以-30 不是这个数列的项.2. 在等差数列 中,已知 a5=10,a12=31,则首项 a1=-2,公差 d=3.提示 由题可得 解得 a1=-2,d=3.3. 在等差数列 中,若 a5=a,a10=b,则 a15=2b-a.提示 2a10=a5+a15,即 2b=a+a15,所以 a15=2b-a.4. 某货运公司的一种计费标准是:1km 以内收费 5 元,以后每千米加收 2.5 元.如果运输某批物资 80km,那么需支付多少元运费 ?解 需支付运费 5+(80-1)2.5=202.5(元).五、 课堂小结1. 要会推导等差数列的通项公式:a n=a1+(n-1)d,掌握其基本应用,并掌握更具一般性的通项公式形式:a n=am+(n-m)d.2. 理解等差数列与一次函数的关系.3. 理解并掌握等差数列的重要性质:在等差数列 中,若 m,n,p,q,sN*,且 m+n=p+q=2s,则有 am+an=ap+aq=2as.
