1、1图和子图图和简单图图 G = (V, E)， 其中V = V -顶点集， -顶点数 v,.21 E = E -边集， -边数e 例。 左图中，V=a, b,.,f,E=p,q, ae, af,.,ce, cf注意， 左图仅仅是图 G 的几何实现（代表） ， 它们有无穷多个。真正的 图 G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。称 边 ad 与顶点 a (及 d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。称顶点 a 与 e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如 p 与 af 。环（loop，selfloop ）：如边 l。棱（lin
2、k）：如边 ae。重边：如边 p 及边 q。简单图：（simple graph）无环，无重边平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环） 。一条边的端点：它的两个顶点。记号： 。(),().GVGE习题1.1.1 若 G 为简单图，则 。21.1.2 n ( 4 )个人中，若每 4 人中一定有一人认识其他 3 人，则一定有一 人认识其他 n-1 人。同构在下图中，图 G 恒等于图 H , 记为 G = H V（G)=V(H), E(G)=E(H)。图 G 同构于图 F V(G)与 V(F), E(G)与 E(F)之间各存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。 记为 G F。注 往往将同构慨念引
3、伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。d e f G = (V, E) p q a b c r ay zx wb cde G=(V, E)x wb cdeay z H=(V, E)x d wa b cy e zF=(V, E)2注 判定两个图是否同构是 NP-hard 问题。完全图(complete graph) Kn空图（empty g.） E = 。V ( V) 为独立集 V中任二顶点都互不相邻。二部图（偶图，bipartite g.） G = (X, Y ; E) 存在 V(G) 的一个 2-划分 (X, Y), 使 X 与 Y 都是独立集。完全二部图 Km,n 二部图 G =
4、(X, Y)，其中 X 和 Y 之间的每对顶点都相邻，且 X = m, Y = n 。类似地可定义，完全三部图（例如 Km,n,p） ，完全 n-部 图等。例。用标号法判定二部图。习题1.2.1 G H (G) = (H) , (G) = (H) 。 并证明其逆命题不成立。1.2.2 证明下面两个图不同构：1.2.3 证明下面两个图是同构的：1.2.4 证明两个简单图 G 和 H同构 存在一一映射 f : V(G) V(H) ，使得 uv E(G)当且仅当 f(u)f(v) E(H) 。1.2.5 证明：(a).(K m,n ) = mn ;(b). 对简单二部图有 2/4 .1.2.6 记
5、Tm,n 为这样的一个完全 m-部图：其顶点数为 n，每个部分的顶点数为n/m或n/m个。证明：(a). (Tm,n) = 其中 k =n/m .nkmk212()(b)*. 对任意的 n 顶点完全 m-部图 G，一定有 (G) (Tm,n)，且仅当 G Tm,n 时等式才成立。1.2.7 所谓 k-方体是这样的图：其顶点是由 0 与 1 组成的有序 k-元组，其二顶点相邻当且仅当它们恰有一个坐标不同。证明 k-方体有个顶点，k*2 k-1 条边，且是一偶图。二 部 图K1 K2 K3 K4 K5K3,3 K1,5 K2,2,231.2.8 简单图 G 的补图 G c 是指和 G 有相同顶点集
6、 V 的一个简单图，在 G c 中两个顶点相邻当且仅当它们在 G 不相邻。 (a). 画出 Kcn 和 Kcm,n。(b). 如果 G G c 则称简单图 G 为自补的。证明：若 G 是自补的，则 0, 1 (mod 4) 关联矩阵 M(G)与邻接矩阵 A(G)M(G)=mi,j ,A(G)=ai,j ,其中 m i,j = 顶点 vi与边 ej 的关联次数= 0, 1, 2.ai,j = 连接顶点 vi 与 v j 的边数 。 例。 eeMGv1234567123401010() vvAGv123412340101() 子图子图(subgraph) H G V(H) V(G) , E(H)
7、E(G) 。真子图 H G。母图（super graph） 。生成子图（spanning subg.） H G 且 V(H) = V(G) 。生成母图。基础简单图 （underlying simple g.） 。导出子图（induced subg.）GV, (非空 V V ) 以 V为顶点集，以 G 中两端都在 V上的边全体为边集构成的 G 的子图。边导出子图 GE 非空 E E 以 E为边集，以 E中所有边的端点为顶点集的的子图。例。e1e2 e3e4e5 e6v1 v2v3v4 G = (V, E)e7Gc, d, eGf, ce abcdfghG=(V, E)x wvyuGu,w,x,y
8、 Gu,w,x4以上两种子图，其实，对应于取子图的两种基本运算。下面是取子图的另两种基本运算：G - V 去掉 V及与 V相关联的一切边所得的剩余子图。 即 GV VG - E 从中去掉 E 后所得的生成子图例。G - b, d, g, ( = GE b, d, g ) G - b, c, d, g, ( GE b, c, d, g ) G - a, e, f, g. ( GE a, e, f, g )注意 GE E 与 G - E 虽有相同的边集，但两者不一定相等 ： 后者一定是生成子图，而前者则不然。上述四种运算是最基本取子图运算，今后老要遇到，一定要认真掌握好。关于子图的一些定义还有：G
9、 + E 往 G 上加新边集 E 所得的（G 的母）图。为简单计，今后将G e 简计为 G e ；G - v 简计为 G - v 。设 G1, G2 G ，称 G1 与 G2 为不相交的（disjiont） V(G1) V(G2) = ( E(G1) E(G2) = ) 边不相交 （edge-distjiont） E(G1) E(G2 ) = 。( 但这时 G1 与 G2 仍可能为相交的） 。并图 G1G2 , 当不相交时可简记为 G1+G2.交图 G1G2 .习题1.4.1 证明：完全图的每个导出子图是完全图；偶图的每个导出子图是偶图。1.4.2 设 G 为一 完全图， 1 n -1。证明：
10、若 4，且 G 中每个 n 顶点的导出子图均有相同的边数，则 G K或 Kc 。顶点的度顶点 v 的 度 dG(v) = G 中与顶点 v 相关联边数。 （每一环记为 2）最大、最小度 ， 。 （(G) , (G) ) 定理 1.1 (hand shaking lemma) 任一图中，.vV()2系 1.1 任一 图中，度为奇数顶点的个数为偶数。例。任一多面体中，边数为奇数的外表面的数目为偶数。证明。作一图，使其顶点对应于多面体的面，并使其中二顶点相邻当且仅当对应的两个面相邻。. k-正则图 （k-regular g.) d(v) = k, v V . 习题3-正 则 图0-正 则 图 1-正
11、 则 图 2-正 则 图51.5.1 证明： 2/ 。1.5.2 若 k-正则偶图(k 0)的 2-划分为 (X, Y),则 X = Y。1.5.3 在人数 1 的人群中，总有二人在该人群中有相同的朋友数。1.5.4 设 V(G) = ，则称 ( d(v1), d(v2), . , d(v) ) 为 G 的度序列。证明：非负v12,.,整数序列 ( d1 ,d 2, ., d n) 为某一图的度序列 是偶数。 din1.5.5 证明：任一 无环图 G 都包含一 偶生成子图 H，使得 dH(v) dG(v)/2 对所有 v V 成立。1.5.6* 设平面上有 n 个点，其中任二点间的距离 1，证
12、明：最多有 3n 对点的 距离 = 1 。 路和连通性途径 （walk) 例如 （u，x）-途径 W = ueyfvgyhwbvgydxdydx (有限非空序列）= uyvywvyxyx (简写法-当不引起混淆时）起点（origin ） u 。终点（terminus） x。内部顶点（internal vertex） y, v, w, x。（注意，中间出现的 x 也叫内部顶点。 ）长 边数（重复计算） 。节（段，section） 。 例如 W 的(y, w)-节=yvw 。W-1 （逆途径）, WW（两条途径 W 与 W相衔接） 。迹( trail) 边各不相同的途径。 例如，yvwyx 。路
13、(path) 顶点各不相同的途径。 （可当作一个图或子图)。例如， yvwx 。d(u, v) = u 与 v 之间最短路的长。例。 （命题）G 中存在(u, v)-途径 G 中存在(u, v)-路。G 中顶点 u 与 v 为连通的(connected) G 中存在(u, v)- 路 ( G 中存在(u, v)- 途径。)V 上的连通性是 V 上的等价关系，它将 V 划分为（等价类）：V1,.,V使每个 Vi中的任二顶点 u 及 v 都连通（即存在(u, v)-路） 。 称每个GVi i=1,2,.为 G 的一个分支（component）; 称(G）为 G 的分支数。G 为连通图 (G) =
14、1 G 中任两点间都有一 条路相连。G 为非连通图 (G) 1。记号 对任 一非空 SV ，令 = VS, 记（称为边割）SS, = G 中 一 端在 S 中，另一 端在 中 的一切边的集合。S例。 （命题）G 连通 对任 S V 都有 S, 例。 （命题） 简单图 G 中， k G 中有 长 k 的路。uvyx we abd hcfg图 GComment sun1: 页码: 66习题1.6.1 证明：G 中长 k为的(v i ,vj )-途径的数目, 就是 A k中的(I, j)元素。1.6.2 证明：对简单图 G有， G连通。12对于 1，试给出 的不连通简单图。1.6.3 简单图 G中，
15、 /2 - 1 G 连通。 当是偶数时，试给出一个不连通的(/2-1)正则简单图。1.6.4 G不连通 G c 连通。1.6.5 对任意图 G的任一边 e，有 (G) (G-e) (G) +1 。 1.6.6 G连通，且 d(v)=偶数， v V (G-v) d(v)/2, v V.1.6.7 连通图中，任二最长路必有公共顶点。1.6.8 对任一图的任三个顶点 u, v, w 都有 d(u, v)+d(v, w) d(u, w)。 1.6.9 任一简单图非完全图中，一定有三个顶点 u, v, w， 使得 uv, vw E 而 uw E。 圈闭途径（closed walk) 起点=终点且长 0
16、的途径。闭迹 (closed trail) 边各不相同的闭途径。圈（cycle） 顶点各不相同的闭迹。 （可当作一图或子图。 ）例。闭途径： uyvyu ; uywxywvu ； uyuyu。闭迹：uyxwyvu。圈： yfvgy ; uywvu。k-圈（k-cycle） 长为 k的圈。例。1-圈（即一条环） ， 2-圈(由重边组成） ，3-圈（又称三角形） 。奇圈 (odd cycle)。偶圈 (even cycle)。定理 1.2 G 为二部图 G 不含奇圈。证明：设 G的 2-划分为（X, Y） ，由 G的定义，G 的任一圈中，X 和 Y的顶点一定交错出现，从而其长必为偶数。：不妨设 G
17、为 连通的。 任取一顶点 u,令X = xV d(u, x) = 偶数 ,Y = yV d(u, y) = 奇数。由于，易见，(X, Y)为 V的 2-划分，只要再证 X和 Y都是 G的独立集（ 即 X（或 Y）中任二顶点 v， w 都不相邻 ）即可： 令 P与 Q分别为最短(u, v)-路与最短(u, w)-路。设 u为 P与 Q的最后一个公共顶点； 而 P 与 Q分别为 P的(u, v)-节与 Q的(u , w)-节。则 P与 Q只有一公共顶点。 又，由于 P与 Q的(u, u)-节的长相等， P 与 Q的长有相同的奇偶性，因此v与 w不能相邻，不然，v( P)-1 Qwv将是一 奇圈，矛
18、盾。uvyx we abd hcfgPQu PQuvw7例。 （命题） 图 G 中 2 G 中含圈。例。 （命题） 简单图 G， 2 G 含长 +1 的圈。例。 （命题） 任一图中(a). 含圈。(b)*. + 4 含二条边不重的圈。习题1.7.1 若边 e 在 G 的一闭迹中，则 e 在 G 的一圈中。1.7.2 证明：(a). G 含圈。(b)*. + 4 G 含两个边不重的圈。最短路问题赋权图（weighted g.)(权 1 之推广 )权( weight ) w(e) 0.w(H) = , H G . weeEH()路 P 的长 = w(P)顶点 u 与 v 距离 d(u, v) =
19、最短(u, v)- 路的长。问题 求最短( u 0, v0)-路。转 求最短(u 0, v)-路, v V u0.简化 只考虑简单图，且 w(e) 0 e E.（ w(uv) = 0 时， 可合并 u 与 v 为一 顶点） 。原理 逐步求出顶点序列u1, u2, . 使 d(u 0, u1) d(u 0, u2) .记 S0 = u0 ,Sk = u 0, u1,.,u k ， = V S 。kPi 为最短( u 0, ui)-路 i= 1, 2,.(1).u1 ： u1 是使 w(u 0u1) = min w(u 0v) v u 0 者 .得 S1 = S0u1 , P1 = u 0u1 .
20、(2). 若已求得 S k-1 ; d(u 0, u1),.d(u 0, u k-1) ; 及最短 (u 0, u i)路 Pi i=1.2,.,k-1 .u k ：显然，d(u0, u k) = min d( u0, v) v Sk1= d(u 0, u j ) + w( u ju k ) 某 j 1,2,.,k-1 = min d( uo, u ) + w( uu k ) u S k-1 = mind( u 0 , u ) + w(uv ) v , u S k-1 k1= min l( v ) v 1其中， l( v ) = min d( u o, u ) + w( uv ) u S k-
21、1( l( u k ) = d( u 0 , u k ) ) S k = S k-1 u k ,P k = P j u ju k 某 j 1,2,.,k-1 。update 进行下一 步时，只要更新 l( v ) 即可：l( v ) min l( v ) , l( u k ) + w( u kv ) v SkDijkstra 算法(1).作为开始：l( u 0 ) 0 ; l( v ) v u 0 ;8S0 u 0 ; k 0 .(2). （这时已有 Sk = u 0, u1,.,u k）l( v ) min l( v ) , l( u k ) + w( u kv ) v Sk再计算 min
22、l( v ) ，设其最小值点为 u k+1 ，令S k+1 = S k u k+1 。(3). 若 k = - 1 , 仃止；不然，令 k k+1 ,并回到 (2) 。计算复杂性加法： (- 1)/2比较： (- 1)/2 2v ： (-1) 2S+)_共 O (2 )凡是复杂性为 p( , ) 的算法 ( p( . , . ) 为一多项式 ) 称为“好算法”( “good algorithm”-J.Edmonds )。这是相对于指数型算法而言的：在 10 - 6 秒/ 步运算速度下：复杂性 n= 10 20 30 40 50n3 .001sec .008sec .027sec .064sec
23、 .125secn5 .1sec 3.2sec 24.3sec 1.7min 5.2min2n .001sec 1.0sec 17.9min 12.7days 35.7years由上表可见，两种算法有天壤之别。注 1.若只关心求 d(u 0 , v 0)则算法进行到 v 0 S k 时停止。2.计算过程中，所得子图是一 棵树。每步都是往其上增加一条边及一个顶点，因此该过程称为 tree growing procedure 。3.若要计录 u 0 到每个顶点 u 的最短路，只要记录下该路中 u 的前一 个顶点即可。习题1.8.1 描述一个算法以确定(a). 一图的各个分支；(b). 一图的围长（
24、即最短圈的长） 。并说明你的算法好到什么程度。 树树无圈图（acyclic g.；林 forest） 。树（tree） 连通无圈图。叶 (leave) 树中度为 1 的顶点。定理 2.1 树中任二顶点间有唯一的路相连。证明：反证，假设存在树 G，其中有二顶点 u 与 v，其间有二不同(u, v)-路 P1 和 P2 相连。因 P1 7221321 7353444866u0u0u jvu kS k-1S k-1S k9 P2 ，一定存在 P1 的一条边 e = xy ，它不是 P2 的边。显然，图 P 1 P2 - e 是连通的，从而其中包含一条(x, y)-路 P。于是 P + e 是 G 中
25、的一 圈，这与 G 为无圈图相矛盾。 注意 (1). 当 G 无环时，易见，G 是树 G 中任二顶点间有唯一的路相连。(2). 以下结论不一 定成立： 闭途径 圈 。定理 2.2 G 是树 = - 1。证明：对 进行归纳。当 = 1 时，G = K 1 ，成立。假设定理对 小于 个顶点的树成立，而G 为 个顶点的树。任取 G 的一边 uv 。它是 G 中的一条路，由定理 2.1 知， G - uv 不连通，且 它恰有二分支（习题 1.6.5） ，设为 G 1与 G 2 。它们都是连通无圈图，因此是树。又，它们的顶点数都小于 。由归纳假设知(G I ) = (G I )- 1 I= 1,2 .故
26、， (G) = (G 1 ) + (G 2 ) + 1= (G 1 ) + (G 2 ) - 1= (G) - 1 。 推论 2.2 每棵非平凡树至少有两个度为 1 的顶点。证明：由于 G 为非平凡连通图，d(v) 1 , v V 。再由定理 1.1 及 2.2 知，dvV()2由此知推论成立。例。 （命题）恰只包含二度为一顶点的树是路。习题2.1.1 证明：非平凡树中，任一最长路的起点和终点均是度为 1 的顶点。再由此去证明推论2.2。2.1.2 当 = - 1 时，证明以下三结论是等价的：(a) G 是连通图；(b) G 是无圈图；(c) G 是树。2.1.3 一树中若 k，则其中至少有
27、k 个度为 1 的顶点。2.1.4 G 为 林 = - 。2.1.5 若林 G 恰有 2k 个奇点，则 G 中存在 k 条边不重的路 P1 ,P2 ,.,Pk ,使得 E(G) = E(P1 )E(P2 ) . E(Pk )。2.1.6 正整数序列(d 1 ,d 2 ,.,d )是一 棵树的度序列，当且仅当 。di1()2.1.7 饱和烃分子形如 C mH n ,其中碳原子的价键为 4，氢原子的价键为 1，且任何价键序列都不构成圈。证明：对每个 m，仅当 n = 2m + 2 时 C mH n方能存在。割边和键e 为割边( cut edge) (G-e) (G) 。 （即 (G-e) = (G
28、) + 1 ）定理 2.3 e 为 G 的割边 e 不在 G 的任一圈中 。证明：令 e = xy ，则 x 与 y 在 G 的同一分支中。于是，10e 为 G 的割边 (G-e) = (G) + 1 x 与 y 不 G-e 在同一分支中 G-e 中无(x,y)- 路 G 中无含 e 的圈。 定理 2.4 图 G 连通，且每边是割边 G 为树。证明：注意到以下事实即可，G 无圈 G 中每边不在任一圈中 G 中每边是其割边。 连通图 G 的生成树（spanning tree ) G 的生成子图，且为树。推论 2.4.1 每一连通图都包含一生成树。证明：令 T 为极小( minimal)连通生成子
29、图 （意指 T 的任一真子图都不是连通生成子图） （由定义，T 可在保持连通性的前提下，用逐步从 G 中去边（ 所去的边一定在一圈中（即非割边） ） （每次破坏一圈）的办法求出。 由 T 的定义知， (T) = 1 ，(T - e) = 2 e E(T) 。即 T 的每边为割边，故由定理 2.4 知 T 为树。 注 也可用极大无圈（生成）子图（即其真生成母图都含圈）来求生成树 T。它可由 V 上的空图开始，在保持无圈的前提下，逐步由 G 中取边的办法求出。 （为何是生成树？）推论 2.4.2 G - 1 。定理 2.4.5 设 T 为 G 的一生成树，e 为 G 中不属于 T 的边，则 T+e
30、 含唯一的圈。证明： 由于 T 无圈，T + e 中的每个圈都包含 e 。又，C 为 T + e 的一圈 C - e 为 T 中连接 e 的两个端点的路。但，由定理 2.1 知，T 中恰只有一条这样的路，因此 T + e 中包含唯一的圈。小结 G 为树 G 中任二顶点间有唯一的路相连，且无环 G 连通，无圈 G 连通，且每边为割边 G 连通，且 = - 1 G 连通。且 = - 1 。图 G 的边割（ edge cut） S, S V G 中一端在 S 另一端在 中的 边的子集合。显然，在连通图 G 中，E 边割 (G-E) 1 。 键（bond, 割集 cut set ) 极小非空边割。例。e 是 G 的割边 e 是 G 的键。例。左图 G 中，uv, zv, zy, vw, yx,zu, zv, zy, xy, xw,uv, zv, zyzu, zv, zy都是边割，其中后两个为键。而 E =zu, zv, zy, uv不是 G 的边割，当然更不是 G 的键，虽然 G- E 变成不连通。u v wxyz
