1、1第五章第五章 频域分析法频域分析法 目的：直观，对高频干扰的抑制能力。对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。便于系统的分析与设计。易于用实验法定传函。5.1 频率特性频率特性一. 定义 )()()1npssG在系统输入端加一个正弦信号： tRtrmsin)()()(2jsjsRmm系统输出： )()()()1 jsjsRpspsY mn2tjtjeAetyt 瞬 态 响 应)()(1若系统稳定，即 的极点全位于 左半平面，则 sGs 0)(lim1tyt稳态响应为： tjtjs eAety)(而 )(21)(2 jGRjjssRAmjsm )(jjGjs tjmtjms ejRjejRjt
2、y )(21)(21= )( tjtj eGj又 为 的有理函数，故 ，即)(sG)(*jj3jeGj)()( )(21)( )()( tjtjms eejRjty= sint= )i(tY可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。其幅值是输入正弦信号幅值的 倍，其相移为 。)(jG)(jG 表示了稳定线性定常系统的稳态输出和输入正弦波之间的)()()(jjGj关系，故称 为频率响应函数。又称 为系统的频率特性。j可证： （见上面 ， 的求法）)()(jRYsjjA，2)(seRsYmjeGs)()即系统正弦稳态响应与其输入量之比称为系统的频率特性。4二
3、表示方法 )()()(jGjj= eA， 为系统的幅频特性， 为系统的相频特性0:)( )(1 极坐标图（奈奎斯特图） （幅相特性图）是复数，亦可看作一个矢量。)(jG从 变化时，矢量 的端点在复平面上的运动轨迹)(jG 正相角按正实轴方向反时针旋转定义。 用来表示频率特性 的平面称为 平面。)(jGG的幅相特性是 平面上的虚轴通过传递函数 在 平面上的映射。)(js )(jG52 对数频率特性（伯德图）对数幅频特性： )(lg)l20)(AL相频特性: 及 的变化范围太大，故用对数坐标表示。)(A 纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数 标尺刻度，但标出的是实际的 值，是
4、不均匀的。lg这种坐标系称为半对数坐标系。 在横轴上，对应于频率每增大 10 倍的范围，称为十倍频程(dec)，如 110，550，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。6 为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即 变lg化）所对应的纵坐标分贝数的变化量，记为 。decNB/相频特性也是在半对数坐标系上表示。纵坐标相角 是均匀的，横坐标同上不均匀。)( 基本性质串联环节总的对数幅频特性 )()(1nLL串联环节总的相频特性 )(互为倒数的传递函数，其 、 均以横坐标成镜像对称。)(1)(21jGj)()(lg0lg20 22LjL)(11 jjj3 对数幅相图（尼柯
5、尔斯图）)（为 参 数L 直角坐标系75.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性1 比例环节 0)(jeKjG, ； ALlg2)(0)(极坐标图 对数坐标图82 积分环节 21)(jejG, , ；Alg0)(L)(L90)(极坐标图对数坐标图93 微分环节 2)(jejG, , , ； Alg0)(L)(L90)(极坐标图对数坐标图104 惯性环节 TtgjeTjjG121)( , ； 2A2l0)(LTtg1)(极: ，001)(jejG，T452j，90)(jj对：近似法，1dBL， 二直线交点为TdecT/20lg)(T1，01l2011，T10210lg40)(dBL，n nnl
6、2即 10 倍， 20dB 20dB/dec)(L(转角频率)处， T1dB32lg0最大误差发生处。5 一阶微分环节12TtgjeTjjG121)( ,2A；lg0)(LTt1极: ，001)(jejG，T452j，90)(jej对：与惯性环节成镜像对称。6 振荡环节1322)()(nnjjjG2)()21nnjj 2122 )(exp)(4)1( nnntg,22)(4)()nnA22)()1(lg0)( nnL21)()(nt极: 14，001)(jejG，n92jn，180)(jej对：的渐近线)(L，ndB0，4lg2)(nLl40decB， ，为交接/转角频率。n)2lg()(L7
7、二阶微分环节152)(21)(njjjG极：对：与振荡环节成镜像对称。5.3 开环系统的频率特性开环系统的频率特性16一. 开环系统的极坐标图开环频率特性的一般形式： )1()(1()( 20 NnNmTjjTjjKjG1 由 决定 时的形状 时 0)(ij1iTj90j )(lim0NG0,|li0Kj17，0 型系统 ，N0)(jG0)(Kj1 , I 型系统 ，92 , II 型系统 ，18)(j)(j2 由 决定 时的形状nm 时, 90)1(ijij )90()90()(limNnG)nmKj0)(li18例. 已知 ，)1)()(1()( 32jTjjTjG求作极坐标图解： ， ，
8、0m4nN90)(lij36G由 可求与虚轴交点处频率 ,)(Rej y由 可求与实轴交点处频率 ,0Imx代入 及 即与实、虚轴交点)(xj)(IyjG由 时， 沿平行于虚轴的渐近线0渐近线与实轴的交点 )(Relim0jVx19二. 开环系统的伯德图一般规则：1 将 写成典型环节之积)(jG2 找出各环节的转角频率3 画出各环节的渐近线4 在转角频率处修正渐近线得各环节曲线5 将各环节曲线相加即 的波特图)(jG（实验法测 的方法：先图，再函数）)(jH5.4 频域稳定判据频域稳定判据 由开环频率特性判别闭环稳定性的方法 此法的优点： 主要靠作图，计算量很小。20 不仅能回答闭环系统是否稳
9、定，而且还可以得出系统接近不稳定的程度，称为稳定裕度。 不要求知道系统的微分方程或传递函数，而只要依靠实验测出其开环频率特性就可以。由于这些重要优点，Nyquist 稳定判据在控制系统稳定性的分析中有十分重要的地位，事实上它是整个频域控制理论的基石。一奈奎斯特稳定判据1 与 的关系)(sFT)()(1sFGHsRC分母 )()()()( sDNssGsF(21nmppszzK极点开环 的极点)(s)(sH21零点闭环 的闭环极点)(sF)(sT闭环稳定 闭环极点在 s 左半平面零点在 s 左半平面2辐角原理（映射定理） )()()()()()() 2121 nm pspsszszzsF s 平
10、面：顺时针包围 的 个零点 F 平面： 顺时针绕原点 圈)(sFz)(sz角增量z)2(s 平面：顺时针包围 的 个极点 F 平面： 逆时针绕原点 圈p p角增量p22s 平面：顺时针包围 的 个极点及 个零点 F 平面： 绕原点逆时针转)(sFpz )(s圈（*）)(zpN3映射定理在分析闭环稳定性中的应用奈奎斯特围线：令 s 平面上的封闭曲线包围全部右半 s 平面，曲线由整个 轴（从 到j）和右半 s 平面上半径为无穷大的半园轨迹构成。轨迹为顺时针。包含了 的全部具有正实部的零极点。)(F若 在此无零点，则此处亦无闭环极点，系统闭环稳s定。如何知 在此无零点 ?)(可由 ， ( 的零点 )
11、 ( 的极点，即开环极点)知道，即可根据zpN0sFpNsF逆时针绕原点的圈数，反推出闭环极点0 个数。)(sF23 平 面 原 点位 于，（ 分 母 阶 数 大 ） 平 面 实 轴 ，位 于沿 无 穷 大 半 园 变 化轴 变 化沿 FKsFs jj n,m 0 )(li s考虑 是否包围 F 平面上的原点)(s考虑 s 平面的 轴，即变点从 运动的情形j jj而 绕原点)(F)(1sHG )(1HG绕 点的次数 N(逆时针)（*）)(j0j：*)(zpNN4 奈奎斯特稳定判据若开环传函 在 s 的右半平面有 个极点，则为了使闭环系统稳定，当 从)(HsGp变化时， 的轨迹必反时针包围 平面
12、上的 点 次。j GH)01(jpN即 0Npz24而 闭环传递函数在 s 右半平面的极点数。 （ 的零点数）z )(sF开环传函在 s 右半平面的极点数。p 绕 点逆时针转的次数。N)(jHG)01j（若 为顺时针转时，则应为 ）Npz例.判别 0 型系统 的稳定性。)1()(210sTKs解： ，2mn0N可画出开环系统的极坐标图， 0pZ即闭环传函在 s 右半平面无极点 系统稳定25二对数判据1 极坐标与对数坐标图的对应关系极坐标图单位圆 对数幅频图的 0dB 线；1)(jHG极坐标图负实轴 对数相频图的 线；a180极坐标图单位圆外区域对数幅频图的 0dB 以上区域；极坐标图单位圆内区
13、域对数幅频图的 0dB 以下区域；极坐标图上 点对数 。)01(j )(,0)(dBL26AB: ；CD: ; BC: ； DE: )(-180 GH)(-180 GH)(0 GH)(0 GH如图示系统开环 p0，其极坐标图及对数坐标图如上。根据奈氏判据及极坐标图，知系统稳定， 不包括 点 不穿越-1(j,1j)(j点以左的区段（如） ；或： 在-1 点以左的正穿越次数负穿越次数（如）)(j若用 的幅相关系表述，则为：在 的范围内， 对 线的正穿越)(j 1)j )(j80次数负穿越次数272 对数判据若开环系统稳定（p=0）， 则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内，dBL0)(正负穿
14、越 线的次数差为 0。)(180(R=p/2,p 为奇数时，半次穿越)例.若开环系统的对数坐标系图分别如下图所示，判其稳定性。N=0 稳定 N=1-1=0 稳定28三稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。可用 曲 线 接近 -1 点的程度来表征。)(jHG相位裕度 ：极坐标图 的矢量与负实轴的夹角1)(jHG对数坐标图上 处 与 的差0lg2)(系统稳定（对最小相位系统）029增益裕度 ：gk)(1ggjHjG对数图上 时的80)(gL系统稳定（对最小相位系统） ；)(dBKg )()(180ccjHjG5.5 闭环系统频率特性闭环系统频率特性一 闭环频率特性及性能指标若单位反馈系统的闭环传递函数为 ；则)(1)(sGsT)(1)(jGjT若 ，)()(jeAjG则 （*）)()(1jj eAM极坐标图对数坐标图301 较高rM时域阻尼小， 大，收敛慢，平稳及快速性差。p若 ，则闭环特征式 有 的特征根 临界稳定，r0rjst2 较大B系统惯性小，快速性好。若 ，则系统相当于放大环节。 ， 。b )(trktc0s 一般准则：频带宽，峰值小过渡性能好。
