1、 1应用多元统计分析各章作业题及部分参考答案 第 2 章 参数估计 1. 设随机向量 X 的均值向量、协方差阵分别为 和 ，证明： () EXX =+ 。 2. 设随机向量 (,)pXN ，又设1rp rYAXb = + ，证明： (,)rYNA bAA+ 。 3. 设3(,), 1,2, ,10iXN i =null，则101()()iiiWXX =_。 4. 设 ,1,2,16iXi= null 来自正态总体 (,)pN ， X 和 L分别为该正态总体的样本均值和样本离差阵，则21154()4()TXLX= _。 5. 设随机向量123(, , )X xxx= ， 且协差阵44349 23
2、216 = ， 则它的相关阵 R=_。 参考答案 1. 因为 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) V X E X EX X EX E XX EX EX E XX = = = = ，故 () EXX =+ 。 2.由题意可知， Y 服从正态分布， () ( ) ( )E YEAXbAEXbAb= += += +，() ( ) ( ) VY VAX b AVXA AA=+= =，故 (,)rYNA bAA+ 。 3.3(10, )W 。 4.2(,15)Tp 或者15(, )16pFpn pp。 5. 231382113631186R = 第三章 假设检验 对某地区农村的 6 名
3、2 周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得到样本数据如下表。根据以往资料，该地区城市 2 周岁男婴的这三项指标的均值0(90,58,16) = ，现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。 2应用多元统计分析表 1 某地区农村男婴的体格测量数据 编号 身高（ cm） 胸围（ cm） 上半臂围（ cm） 1 2 3 4 5 6 78 76 92 81 81 84 60.6 58.1 63.2 59.0 60.8 59.5 16.5 12.5 14.5 14.0 15.5 14.0 解：作如下假设 0010:,:HH = 经计算，求的样本均值向量 (82.0,60.2
4、,14.5)x = ，0( 8,2.2, 1.5)x = ，样本协差阵31.6 8.04 0.5008.04 3.172 1.3100.5 1.31 1.9S=，则10.1863 -0.6319 0.3866-0.6319 2.5840 -1.61530.3866 -1.6153 1.5383S = 。 故2100( ) ( ) 6 70.07 420.445Tnx Sx= = = 。 查2T 分布表， 得临界值20.05(3,5) 46.383T = ， 所以在显著水平 0.05 = 下， 拒绝原假设0H ，即认为农村与城市的 2 周岁男婴在上述指标的均值有显著差异。 解法二：利用 F 统计
5、量，查表得0.05(3,3) 9.28F = ，于是有： 20.051420.445 84.089 (3,3) 9.28(1) 5npFT Fnp=所以在显著水平 0.05 = 下，拒绝原假设0H ，即认为农村与城市的 2 周岁男婴在上述指标的均值有显著差异。 第 4 章 叛变分析 1、在企业的考核种，可以根据企业的生产经营情况把企业分为优秀企业和一般企业。考核企业经营状况的指标有：资金利润率 =利润总额 /资金占用总额；劳动生产率 =总产值 /职工平均人数；产品净值率 =净产值 /总产值。 三个指标的均值向量和协方差矩阵如下。现有二个企业，观测值分别为（ 7.8， 39.1， 9.6）和（
6、8.1， 34.2， 6.9） ，问这两个企业应该属于哪一类？ 变量 均值向量 协方差阵 优秀 一般 资金利润 13.5 5.4 68.39 40.24 21.41 劳动生产率 40.7 29.8 40.24 54.58 11.67 产品净值率 10.7 6.2 21.41 11.67 7.902、 设123,GGG三个组， 欲判别某样品0x 属于何组， 已知1230.05, 0.65, 0.3,ppp= = 3应用多元统计分析10 20 30( ) 0.10, ( ) 0.63, ( ) 2.4fx fx fx=，假定误判代价矩阵为： 3、 设已知有两个正态总体1G 和2G ，且126=，2
7、42=，121119=，而其先验概率分别为120.5qq= = ，误判损失为4(2 |1)Ce= ， (1 | 2)Ce= ，用 Bayes 判别法确定样本35X=属于哪一个总体。 参考答案 1、 解：易得 10.119337 0.02753 0.282760.02753 0.033129 0.0256590.28276 0.025659 0.854988=，128.110.94.5 = ，129.45( ) / 2 35.258.45+=。 判别函数为：112() ( ) ( )Wx X = 9.45 0.119337 0.02753 0.28276 8.1( 35.25 ) 0.02753
8、 0.033129 0.025659 10.98.45 0.28276 0.025659 0.854988 4.5X = 。 将127.8 8.139.1 34.29.6 6.9XX = ， 分别代入判别函数得：1( ) 4.0883WX = ，属于第一类；2( ) -2.2955WX = ，属于第二类。 2、 解：要判断0x 属于哪个总体，只要前计算出 3 个按先验分布加权的误判平均损失 3001() (|)()jiiihpCjf=xx， 1, 2, 3j = 。有 10 220 330( ) ( ) (1| 2) ( ) (1| 3) 51.39hx pfxC pfxC=+=； 20 11
9、0 330( ) ( ) (2 |1) ( ) (2 | 3) 36.05hx pfxC pfxC ； 判 别 为 真 实 组 1G 2G 3G 1G (1 | 1) 0C = (2 |1) 10C = (3 |1) 200C = 2G (1 | 2) 20C = (2 | 2) 0C = (3 | 2) 100C = 3G (1 | 3) 60C = (2 | 3) 50C = (3 | 3) 0C = 4应用多元统计分析30 110 220( ) ( ) (3 |1) ( ) (3 | 2) 41.95hx pfxC pfxC=+ =。 由于320 01( ) (2 | ) ( ) 36.
10、05iiihpCif=xx最小，故将0x 判给2G 。 3、由 Bayes 判别知1112 1 22()( ) exp( ) ( ) exp(4 2 4)()fxVx x x xfx= +，其 中12342+ =，1911118=，1224=，321(1 | 2)(2 |1)qCdeqC= = ，则3() ln 34WX d= =，故1X G 。 第 6 章 主成分分析 1、 设随机向量123(, , )x xxx= 的协方差矩阵为120250002 = ，试求 x 的主成分及主成分对变量ix 的贡献率iv （ 1, 2, 3i = ） 。 2、设1234 4(, , , ) (0,)Xxxx
11、x N= ，协差阵1111 = ， 01。 （ 1）试从 出发求出 X 的第一总体主成分。 （ 2）当 取多大时才能使第一主成分的贡献率达 95%以上？ 参考答案 1、解： 的特征根分布为15.83 = ，22.00 = ，30.17 = ，相应的特征向量分别为10.3830.9240.000T=，2001T=，30.9240.3830.000T = ，故主成分分别为 112233120.383 0.924 ; ; 0.924 0.383y xxyxyxx= =+若只取一个主成分，则贡献率为5.8372.875%5.83 2.00 0.17=+。 下面求出 3 个主成分对 (1,2,3)ixi
12、= 的贡献率： i ix 与1y 的相关系数 平方 ix 与2y 的相关系数 平方 贡献率 1 0.925 0.855 0 0 0.855 2 0.998 0.996 0 0 0.996 3 0 0 1 1 1 5应用多元统计分析由此可见1y 对第三个变量的贡献率为 0，这是因为3x 与1x 和2x 都是线性无关的，在1y 中没有包含3x 的信息，这是只取一个主成分就显得不够了，故应再取2y ，此时累计贡献率可得98.875%。 注：表格中211 1 11 15.83 0.383 1 0.925t=，212 1 21 22 ( 0.924) 5 0.998t=，130 = 。 2 、解：（ 1
13、 ）由11011 = ，得特征根113 =+ ，2341 =，解1 所对应的方程123411011xxxx = ，得1 对应的特征向量为11111t=，标准化后得11/21/21/21/2T=，故第一主成分为1 123411112222yTX x x x x=+。 （ 2）第一主成分的贡献率为112341395%4 +=+，得 0.933 。 第 7 章 因子分析 1、设123(, , )x xxx= 的相关系数矩阵通过因子分析分解为121330.934 0 0.1280.934 0.417 0.83511 0 0.417 0.894 0.0270 0.894 0.44730.835 0.44
14、7 0.1032013R = = + ，则1x 的共同度21h = ；1x 的特殊度21 = ；公因子1f 对 x 的方差贡献21g = ；1x 的方差11 = 。 6应用多元统计分析2、设标准化变量123,x xx的协差阵（即为相关阵）为1.00 0.63 0.450.63 1.00 0.350.45 0.35 1.00R = 。 （1） 计算因子载荷阵 A，并建立因子模型。 （2） 计算公因子jf 的方差贡献2(1,2,3)jgj= ，并说明其统计意义。 第 9 章 典型相关分析 设12(, )X X =X ，12(, )YY=Y 是来自正态总体中的随机向量。已知=XZY的协差阵12112
15、51211231235=11 1221 22null ，试求 X， Y 的第一对典型相关变量和相应的典型相关系数。 解：5221=-111 ，5332=-122 ，则5 211 5 311 5 22 1 12 3 2 12 2 1 = = -1 -11 1 122221M 53115211 723 2 12 2 1 12 4 1= =-1 -12 2 211112M 1M 的特征根为22125.828, 0.712=，解得21 对应的特征向量为 0.924,0.382=1a 。 2M 的特征根为22125.828, 0.172=， 解得21 对应的特征向量为 0.863, 0.505=1b 。 X， Y 的第一对典型相关变量分别为 1120.924 0.382UXX= + ，1120.863 0.505VYY=。 相应的典型相关系数分别为15.828 = ，15.828 = 。
