1、http:/- 1 -5.3 平行线的 性 质(二)典型例题【例 1】 如图 5-103，已知直线 l3、l 4 分别交直线 l1、 l2 于点 A、B 和 C、D, 且 l1l 2 l3l 1，则下列说法中正确的是( )A.线段 AB 是直线 l1、l 2 间的距离； B.线段 CD 是直线 l1，l 2 间的距离C.线段 AB 的长度是直线 l1、l 2 间的距离；D. 线段 CD 的长度是直线 l1，l 2 间的距离图 5-103【解析】 只有同 时满足下列两个条件才是平行线间的距离 :夹在两平行线之间的线段同时垂直于这两条平行线；夹在两条平行线之间的线段的长度.本题中，因为 l1l 3
2、，所以BAC=90.又因为 l1l 2，所以BAC+ ABD=180 ，所以ABD=90. 即 l3l 2.故同时垂直于两条平行线 l1，l 2 并且夹在这两条平行线间的线段 AB 的长度，叫做这两条平行线l1、l 2 的距离.【答案】 A【例 2】 如图 5-104，AB CD，EPF 为折线.(1)试探究P 与、 的关系，并给了证明；(2)若交换 (1)中的条件与结论，是否还成立，请说明理由.图 5-104【解析】 (1)由测量可得P=+.证明P=+ 的方法很多，可利用平行线的性质，或利用三角形相关知识求证；(2)交换(1)中的条件与结论，仍成立，可综合运用平行线的性质与平行线的条件进行证
3、明.http:/- 2 -【答案】 (1)探究P=+.证明如下:证法一 过点 P 作直线 PQAB ，如图 5-105.图 5-105因为 ABCD，所以 PQCD.即 ABPQCD.根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，可得1=，2=所以1+2=+即P=+ 证法二 延长 FP 交 AB 于 Q，如图 15-106.图 5-106因为 ABCD ，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得1=因为三角形的内角和为 180，所以+ 1+ EPQ=180.所以+EPQ=180又EPF 与EPQ 互为邻补角，所以EPF+EPQ=180.所以EPF=+.证法三 过 P 作 MNAB 于 M、
4、N，N 如图 15-107.图 15-107因为 AB/CD，所以 MNCD由平角的定义，有EPF=180-(1+2)=(90-1)+(90-2)=+http:/- 3 -【例 3】 已知，如图 5-108，DBFGEC，ABD=70，ACF=34，AP 平分BAC，求PAG 的度数.图 5-108【解析】 题目中已知角与待求角较分散，可利用平行线的性质将已知角与待求角联系在一起.然后结合角平分线的性质求解.【答案】 因为 DBEC，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得BAC= DBA+ ACE .因为DBA=70，ACE=34，所以BAC=70+34=104.因为 PA 平分BAC ，所以C
5、AP= 2BAC=52.1又因为 GFCE ，根据两直线平行，内错角相等 .可得GAC=ACE=34.因此PAG= CAP-GAC=52-34=18课前热身1.如图 5-109，直线 c 与 a、b 相交，且 ab，若1=40，则 2=_.答案：402.如图 5-110，直 线 AB、CD 被直线 EF 所截，若1= 2，则AEF+CFE=_度.图 5-109 图 5-110答案：1803.如图 5-111，OE 是AOB 的平分线，CDOB 交 OA 于 C、交 OE 于 D， ACD=50，则COE 的度数是_.答案：25http:/- 4 -4.已知，如图 5-112，ABCD，EF A
6、B，EH EF ，则 AB 与 CD 间的距离是_.图 5-111 图 5-112答案：线段 EF 的长度5.如图 5-113，D、E、F 和点 A、B 、C，各自在一条直线上，若1=2，C=D，则A=_，C=_ _.答案：F；D(或CEF)6.如图 5-114，ABCD，MPAB，MN 平分AMD，A=40，D=30，则NMP=_.图 5-113 图 5-114答案：5课下作业一、填空题(每题 5 分，共 50 分)7.如图 5-115，l 1l 2，1 是2 的 2 倍，则3=_.图 5-115 图 5-116 图 5-1178.如图 5-116，ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD
7、于点 E、F，EG 平分AEF，1=40，则2 的度数是_.9.一个人从 A 点出发沿北偏东 60方向走了 2 m 到了 B 点，再沿南偏西 15方向走了 3m 到http:/- 5 -C 点，则ABC_.10.如图 5-117，ABCD，ADC 的面积为 9，AB= CD，则ABC 的面积为32_.二、选择题(每题 5 分，共 10 分)11.如图 5-118 所示，l 1l 2，1=120，2=100，则3=( )A.20 B.40 C.50 D.60图 5 -118 图 5-11912.已知:如图 5-119，AOB 的两边 OA、OB 均为平面反光镜， AOB=40.在 OB 上有一点
8、 P，从 P 点射出一束光线经 OA 上的 Q 点反射后，反射光线 QR 恰好与 OB 平行，则QPB 的度数是 ( )A.60 B.80 C.100 D.120三、解答题(每题 20 分，共 40 分)13.如图 5-120，已知直线 mn，A 、B 为直线 n 上两点，C、D 为直线 m 上两点(1)请写出图中面积相等的三角形；(2)如果 A、B、 C 为三个定点，点 D 在 m 上移动，那么，无论 D 点移动到任何位置，总有_与ABC 的面积相等，理由是：_ _.图 5-120 图 5-12114.如图 5-121，已知 ADBC 于 D，EG BC 于 G，E= 3，AD 平分 BAC
9、 吗? 若平分，请写出推理过程；若不平 分，试说明理由.http:/- 6 -参考答案课前热身1.如图 5-109，直线 c 与 a、b 相交，且 ab，若1=40，则 2=_.答案：402.如图 5-110，直 线 AB、CD 被直线 EF 所截，若1= 2，则AEF+CFE=_度.图 5-109 图 5-110答案：1803.如图 5-111，OE 是AOB 的平分线，CDOB 交 OA 于 C、交 OE 于 D， ACD=50，则COE 的度数是_.答案：254.已知，如图 5-112，ABCD，EF AB，EH EF ，则 AB 与 CD 间的距离是_.图 5-111 图 5-112答
10、案：线段 EF 的长度5.如图 5-113，D、E、F 和点 A、B 、C，各自在一条直线上，若1=2，C=D，则A=_，C=_. 答案：F； D(或CEF)6.如图 5-114，ABCD，MPAB，MN 平分AMD，A=40，D=30，则NMP=_.http:/- 7 -图 5-113 图 5-114答案：5课下作业一、填空题(每题 5 分，共 50 分)7.如图 5-115，l 1l 2，1 是2 的 2 倍，则3=_.图 5-115 图 5-116答案：608.如图 5-116，ABCD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，EG 平分AEF，1=40，则2 的度数是_.答案：1
11、009.一个人从 A 点出发沿北偏东 60方向走了 2 m 到了 B 点，再沿南偏西 15方向走了 3m 到C 点，则ABC_.答案：4510.如图 5-117，ABCD，ADC 的面积为 9，AB= CD，则ABC 的面积为32_.图 5-117答案：6http:/- 8 -二、选择题(每题 5 分，共 10 分)11.如图 5-118 所示，l 1l 2，1=120，2=100，则3=( )A.20 B.40 C.50 D.60图 5 -118 图 5-119答案：B12.已知:如图 5-119，AOB 的两边 OA、OB 均为平面反光镜， AOB=40.在 OB 上有一点 P，从 P 点
12、射出一束光线经 OA 上的 Q 点反射后，反射光线 QR 恰好与 OB 平行，则QPB 的度数是 ( )A.60 B.80 C.100 D.120答案：B三、解答题(每题 20 分，共 40 分)13.如图 5-120，已知直线 mn，A 、B 为直线 n 上两点，C、D 为直线 m 上两点(1)请写出图中面积相等的三角形；(2)如果 A、B、 C 为三个定点，点 D 在 m 上移动，那么，无论 D 点移动到任何位置，总有_与ABC 的面积相等，理由是：_.图 5-120答案：(1)S ABC =SABD ，S ACD =SCDB ，S ACO=SBDO(2)ABD；平行线间的距离处处相等14.如图 5-121，已知 ADBC 于 D，EG BC 于 G，E= 3，AD 平分 BAC 吗? 若平分，请写出推理过程；若不平 分，试说明理由.http:/- 9 -图 5-121答案：AD 平分BAC. 证明如下：ADBC，EGBC(已知)，ADEG.2=3(两直线平行，内错角相等).l=E(两直线平行，同位角相等). 又E=3(已知)，1=2( 等量代换).即 AD 平分BAC.
