1、园区公开课讲师团公开课教案第 1 页 共 17 页课题：函数与方程西安交通大学苏州附属中学 秦卫东【 教 学 目 标 】1、函数零点的定义；2、函数零点的判定(零点存在性定理 )；3、函数与方程的转化【重点难点】重点：三个等价关系方程 f(x)0 有实数根函数 yf (x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x) 有零点难 点 ： 等 价 转 换 ， 函 数 的 图 像【 基 础 训 练 】1、函数 f(x)(x 22)( x23x2)的零点为_答案： ， ，1,22 2解析：解方程即得结果。点评：零点不是一个点，函数零点就是方程 f(x)0 的实数根。2、根据表格中的数据，可以判定方程 exx
2、20 的一个根所在的区间为_x 1 0 1 2 3ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09x2 1 2 3 4 5答案：(1，2)解析：设函数 f(x)e xx2，从表中可以看出 f(1)f(2)x 1，得 x0，此时 f(x)( x1) 2 (2x1)(x1) x 2x，所以f(x) Error!作出函数 f(x)的图象如图所示，要使方程 f(x)a 恰有三个互不相等的实数根x1，x 2，x 3，不妨设 x10，f（1） 4m 20) m 56，) 0，f（1）0， 0，0 12，m 12，m 1 2或 m 1 2， 10 时，设 g(x)x 2，h( x)ln x，如图分别作出两
3、个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数 f(x)在 x0 时有两个零点(2)函数 f(x) Error!的图象如图所示，当 a1， )|1 实根的个数为_答案：4解析：由题意得：求函数 yf(x)与 y1g(x)交点个数以及函数 yf(x)与y1g(x)交点个数之和，因为 y1g(x) 所以函数 yf(x)与1，0 x 1，7 x2，x 2，x2 1，1 x 2，)y1g(x)有两个交点又 y1g(x) 所以函数 yf(x)与 1，0 x 1，5 x2，x 2，x2 3，1 x 2，)y1g(x)有两个交点，因此共有 4 个交点园区公开课讲师团公开课教案第 6 页 共 17 页
4、点评：函数 y f(x)有零点方程 f(x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 ym 有交点，准 确 熟 练 地 画 出 函 数 图 像 。例 3、若函数 f（x）= ln（x+1）不存在零点，则实数 k 的取值范围是 解：由题意可知 ，解得 x1 且 x0，由对数的性质可得 lnkx=2ln（x+1）=ln（x+1） 2，可得 kx=（x+1） 2，变形可得 k= =x+ +2， （x1 且 x0）由“对号函数”的性质可知 x+ 2，或 x+ 2，x+ +20，或 x+ +24，要使函数 f（x）= ln（x+1）不存在零点，只需 k 取 x+ +2 取值集合的补集，即k|0k4，当 k
5、=0 时，函数无意义，故 k 的取值范围应为：（0，4）答案为：（0，4）点评：本题要注意题目的问法。例 4、设函数 f(x) ax 2，aR.(1) 当 a2 时，求函数 f(x)的零点；|x|x 2(2) 当 a0 时，求证：函数 f(x)在(0，) 内有且仅有一个零点；(3) 若函数 f(x)有四个不同的零点，求 a 的取值范围(1) 解：当 x0 时，由 f(x)0，得 2x 20，即 x(2x24x1) 0，xx 2解得 x0 或 x (舍负)； 2 62当 x0 且 x0 时，由 f(x)0，得 ax 20，即 ax22ax10.xx 2记 g(x)ax 22ax1，则函数 g(x
6、)的图象是开口向上的抛物线又 g(0)10，由(2)知，当 a0 时，函数 f(x)在区间(0，) 内有且仅有一个零点；当 a0 时，g(x)ax 22ax 11，1a综上所述，a 的取值范围是(1，) 点 评 ： 本 题 考 查 了 函 数 的 零 点 与 方 程 的 根 的 关 系 ， 分 类 讨 论 的 数 学 思 想 。例 5、已知函数 ( 为常数, 是自然对数的底 )， 是函数 的()exfce(fx()yfx导函数 （1）求 的单调区间；（2）当 时，试证明： 对任意的 ，1c0恒成立；(ln)(l)fcxf函数 有两个相异的零点y解析：（1） ，()exfc若 ，则 恒成立，此时
7、函数 的增区间为 ；0c 0()fx(,)若 ，令 ，得 ，()flnxcx,l)lc(ln,)c()f 0 减 极小值 ln增所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ()yfx(,ln)c(l,)c（2）令 ln)le)2xgcf x则 ，且 仅在 时成立，()e20xc (0g园区公开课讲师团公开课教案第 8 页 共 17 页所以 在 上单调递增 ()gxR所以当 时, ，即 0()0g(ln)(l)fcxfcx因为 ，所以 1clnfcl而 ,所以 ，所以 在 内存在一个零点，()ef()10f()f1,ln)取 ( )，22lnl(e2lncc设 ( ), ，()elcc)所以 在
8、上单调递增,所以 1)(1)e0c从而 ，(2ln(0f所以 ,所以 在 内存在一个零点)l)cf()fxln,2)点评：本题涉及函数零点的证明，不能用图像来代替证明，而应该根据根的存在性定理找一些特殊点的函数值，要得到 ， 才能证明。(l)10fcf(l)ln1)0fcf例 6、设函数 ， ，其中 为实数。axfln)( axeg)(（1）若 在 上是单调减函数，且 在 上有最小值，求 的取值范x,1)(),1a围；（2）若 在 上是单调增函数，试求 的零点个数，并证明你的结论。)(g),)(xf解析：（1）由 即 对 恒成立，01 axfx,1max1而由 知 1 ),(x由 令 则aeg
9、x 0)(gaxln当 时 0，当 时 0，ln )(g 在 上有最小值)(x),1 1 ale园区公开课讲师团公开课教案第 9 页 共 17 页综上所述： 的取值范围为a),(e（2）证明： 在 上是单调增函数)(xg1 即 对 恒成立，0)( exe),1( minxa而当 时， ),1(xeea分三种情况：（）当 时， 0 f（x）在 上为单调增函数0af1)(),0(x f（x）存在唯一零点)1(f（）当 0 时， 0 f（x）在 上为单调增函数af)( ),(x 0 且 01)(aaeefaf)1(f（x）存在唯一零点（）当 0 时， ，令 得xf)( )(xf1当 0 时， 0；
10、时， 0xa1af)1)(xaf)1()( 为最大值点，最大值为 1lnln)(af当 时， ， ， 有唯一零点1ln1lnae)(xf e当 0 时，0 ， 有两个零点ae)(xf实际上，对于 0 ，由于 0，ea1l01ln1ln)(aaf且函数在 上的图像不间断 函数 在 上有存在零点e, )(xfae,园区公开课讲师团公开课教案第 10 页 共 17 页另外，当 ， 0，故 在 上单调增， 在ax1,0axf1)( )(xfa1,0)(xf只有一个零点,下面考虑 在 的情况，先证)(xf,1a0)(lnln 11111 2 aaa eeeef为此我们要证明：当 时， ，设 ，则 ，再设
11、xx2)xhxeh2)( exl2)( x当 1 时， -20， 在 上是单调增函数)(xel xel2)(,1故当 2 时， 0xh2 4h从而 在 上是单调增函数，进而当 时， 2)(ex, xe2)(xeh0h即当 时， ，xex2当 0 时，即 e 时，a110)(lnln)( 11111 2 aaa eeef又 0 且函数 在 上的图像不间断，a xf1,函数 在 上有存在零点，又当 时， 0 故)(xf1,aeaxaf)()(在 上是单调减函数函数 在 只有一个零点1 )(xf,1园区公开课讲师团公开课教案第 11 页 共 17 页综合（） （） （）知：当 时， 的零点个数为 1
12、；当 0 时， 的零0a)(xf ae1)(xf点个数为 2点评：第(1)问用导数研究单调性和最值,很容易上手、难度不大,第(2)问用导数研究函数的零点个数(即方程根的个数),题目结构简洁、表达流畅,看起来很平常,实际上却丰富多彩,有一定难度和区分度,也有很大的研究空间,【 巩 固 训 练 】1、若方程 x2ax20 的两根都小于1，则实数 a 的取值范围为 答案：2 a0， 0， a2a， )取值范围是_答案：(，0)(1 ，)解析：问题等价于方程 x3b(xa) 与方程 x2b(xa)的根的个数和为 2，若两个方程各有一个根：则可知关于 b 的不等式组 有解，从而 a1；若方程b13 a，
13、b a， b a)x3b(x a) 无解，方程 x2b(xa)有 2 个根，则可知关于 b 的不等式组 有解，b13 a， b a)从而 a0.综上，实数 a 的取值范围是(，0) (1，)3、已知函数 f(x)Error!当 x(0,100时，关于 x 的方程 f(x)x 的所有解的和为15_答案：10 000解析：当 x(0,1时， x1( 1,0，f(x)f(x1)1 ( x1) 22(x 1)1x 2，此时 f(x)x 有两解且和为 1；当 x(1,2时，x1(0,1 ，f (x)f(x1) 1(x1)15园区公开课讲师团公开课教案第 12 页 共 17 页21，此时 f(x)x 有两
14、解且和为 3；15当 x(99,100时，x1(98,99，f(x)f(x1)1( x 99)299，此时 f(x)x 有15两解且和为 199.所以所有解的和为 13199 10010 000.1 19924、已知 是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 时， . 若函)(xf )3,0x21()fx数 在区间 上有 10 个零点(互不相同) ，则实数 的取值范围是 .ay4,3 a答案： 10,2解析：作出函数 的图象，可知 ，当 时，21(),03)fxx1(0)2fx， ，方程 在 上有 10 个零点，即函数1()2fx极 大 73f()fa,4的图象与直线 在 上有 10 个交点，
15、由于函数 的周期为 3，因此yy,4 ()fx直线 与函数 的图象有 4 个交点，则 . a21(),03)fxx10,2a5、已知函数 ()fx满足 1()fx，当 ,3时， ()lnfx，若在区间 1,3内，函数 ga与 轴有三个不同的交点，则实数 a 的取值范围是 答案： ln31,)e解析：由题意知，ln,13()2,)xf，园区公开课讲师团公开课教案第 13 页 共 17 页在区间 1,3内，函数 ()gxfax与 x 轴有三个不同的交点，函数ln,13()2,)fx与 y在区间 1,3内有三个不同的交点，作函数l,()1n,)3xfx与 yax在区间 ,3内的图象 如下：结合图象可
16、知，当直线 yax与 ()lnfx相切时， l1x，解得： xe；此时 1ae；当直线 过点 3,时， 3a；故 ln31e.6、 已知 xR ，符号x表示不超过 x 的最大整数，若函数 f(x) a(x0) 有且仅有 3 个xx零点，则实数 a 的取值范围是_答案： (34，45 43，32)解析：当 00)由 f(x )0 得 xe a .当 x(0 ，e a )时，f( x)0，f(x)为增函数当 ea 1 时，f(x)在 上为增函数，f(x) min f ；1e 1e，e (1e) a 2e当 e a e，即1a1 时，f (x)在 上为减函数在e a ，e上为增函1e 1e，e a数
17、，f (x)minf(e a )e a ；当 ea e，即 a0，方程 f(x)2x 33x 2在 上有两个不相等的实数根，即方程12，22x23xln x (a1)0 在 上有两个不相等的实数根12，2令 g(x)2x 2 3xln x ( a1)，则g(x)4x3 (x0)，1x 4x2 3x 1x 4x 1x 1x令 g(x) 0，得 x1 (舍去)，x 21，因此 g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上14是增函数，因此，若方程 2x23xln x(a1) 0 在 上有两个不相等的实数根，只12，2需方程 2x23xln x( a1) 0 在 和(1,2上各有一个实根即可，12，
18、1)园区公开课讲师团公开课教案第 15 页 共 17 页于是Error!解得 00，f(x) 单调递增在 x0 处，f( x)取得极小值，a1.易知 f(x)在区间2,0上单调递减，在区间(0,1上单调递增，且 f(2) 3，f(1)e ，f(2) f(1)1e2故 f(x)在区间2,1上的最大值为 3.1e2(2)f(x) e xa，由于 ex0.当 a0 时，f (x)0，f(x )是增函数，且当 x1 时，f (x)e xa(x1)0.当 x0 时，函数 f(x)存在零点，不满足题意当 a0，f(x)单调递增，当 xln( a )时，f(x )取得最小值函数 f(x)不存在零点等价于 f
19、(ln(a) e ln(a) aln( a) a2aaln(a)0，解得e 20)ax(1)求 f(x)的单调区间；(2)讨论关于 x 的方程 f(x) 的实根情况x3 2bx a2x 12解：(1)f(x) ln x 的定义域为 (0，)，ax则 f(x ) .1x ax2 x ax2因为 a0，由 f(x)0，得 x(a，)，由 f(x )0，当 x(1 ，)时，h(x )0，即 b0 时，yh(x)的图象与 x 轴无交点，方程 f(x) 无实根x3 2bx a2x 1210、已知函数 f(x)ax1ln x，其中 a 为常数(1)当 a 时，若 f(x)在区间(0，e)上的最大值为4，求
20、 a 的值；( ， 1e)(2)当 a 时，若函数 g(x)| f(x)| 存在零点，求实数 b 的取值范围1e ln xx b2解：(1)f(x) a ，令 f(x)0 得 x ，1x 1a因为 a ，( ， 1e)所以 00 得 00，当 a 时，f(x ) 1ln x，所以 f(x) ，1e xe 1e 1x x eex当 00；当 xe 时，f(x)0；当 xe 时，h (x)0，从而 h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，) 上单调递减，所以 h(x)maxh(e) ，1e b2要使方程|f( x)| 有实数根，ln xx b2只需 h(x)max1 即可，故 b2 .2e即所求实数 b 的取值范围是 .2 2e， )
