1、立体几何公理、定理一览表六个公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个面内。(P4)2.如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。(P 5)3.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。(P 5)推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。(P 10)射影定理：1.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）垂线段最短； （2）斜线段长相等 射影长相等。(P 24)2.如果一个角所
2、在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。(P 26/eg.3)和(P 29/11) *唯一性定理：1.过一点有且只有一 和一 垂直。(P 20)个 平 面条 直 线 条 直 线个 平 面2.过 外一点有且只有一 和已知 平行。(P 33/5) *平 面直 线 个 平 面条 直 线 平 面直 线等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。(P 10)推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。(P 11)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角
3、中最小的角。(P 25)三余弦定理：cos =cos cos （其中 、 、 分别是斜线与射影（即线与面） 、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)关系 判 定 方 法 关系 判 定 方 法三点(线)共线(点) 公理 2 （即三点（或两线的交点）在两面的交线上）异面1.反证法2.过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。 (P14/eg.3)线在面内1.公理 12.过平面内一点,且平行于与此平面平行的一条直线的直线在此平面内。3.过平面内一点,且垂直于与此平面垂直的一条直线的直线在此平面内。4.如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第
4、一个平面内。(P 37/e.g2)线线平行1.公理 42.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。(P 17)3.如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。(P 23)4.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(P31)线 线 垂 直1.一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条。2.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直。(P 20)3.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （三垂线定理）(P 26)4.在平面内的一条直线，如果和这
5、个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 （三垂线逆定理）5.三个平面两两互相垂直，则它们的三条交线也两两互相垂直 。 (P39/10)*线 面 平 行1.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。(P 17)2.两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。(P 31)3.如果一个平面和不在这个平面内的直线都垂直于另一个平面，那么已知平面和这条直线平行。(P 39/11)*4.如果一条直线上的两点在一个平面的同侧，并且到这个平面的距离相等，那么这条直线和平面平行。(P 49)*线 面 垂 直1.如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
6、那么这条直线垂直于这个平面。(P 21)2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。(P21/eg.1)3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。(P 31/eg.2)4.如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(P37)5.同时垂直于一个平面的两个平面的交线也垂直于这个平面。(P 39/9)*面面平行1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。(P 30)2.垂直于同一条直线的两个平面平行。(P 30/eg.1)3.平行于同一平面的两个平面平行。面面垂直 1.如果一个平面经过(或
7、平行)另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(P37) (或(P 38/8) * )2.如果三条共点的直线两两互相垂直，则它们中每两条确定的三个平面也两两互相垂直。(P 39/10) *用“平移法” 作异面直线所成的角 ，关键是选择适当的点，一般选在一对异面直线的一条线段的端点或中点；用“射影法”作斜线与平面所成的角 ，关键是垂足位置的确定；作二面角的平面角有三种方法，一是 “定义法”，二是“垂线法” ，三是作棱的“垂面法”。求距离，找垂足或 转换（利用平行间距离相等或三棱 锥的顶点转换）；即：遇到求“距离、线面所成角、面面所成角”等，都要设法找到图中存在或隐藏的“线面垂直、面面垂直”关系。且要一作（找）、二证（说理）、三 计算（平面分离）
