1、 宋代的数学成就和著名的数学家 宋朝数学家在方程论上的成就是相当高的，北宋数学家提出增乘开方法以后，到十三世纪初的南宋时期，又有天元术的运用，让代数学有了相当完整的发展系统。北宋数学家刘益，约在 1080 年（元丰三年）撰写著作，提出二次方程式的求根法。数学家贾宪在(黄帝九章细草)中，根据开方作法本源图的构造原理，创立了增乘开方法，不仅可以开平方和开立方，并可以运用在求任何高次方程式的正根。到了南宋，数学家秦九韶提出更为完备的算法。1247 年（淳佑七年），秦九韶在中使用增乘开方法解高次方程式的例子很多。而西方数学家研究三次以上方程序的正根，大约是在十九世纪以后。沈括根据在水利工程、建筑工程和
2、军事工程中计算土方和用料的方法，经过自己的研究，提出了隙积术。这是计算长方台形垛积的一种法，是求积方法的新创造。沈括之前，己有了计算各种立体体积的方法。但是它们只是把各种立体进行分割和拼合，由直观来证明它们的求积公式。沈括在隙积术中讨论了两类体积：一个是积，即实体，一个是隙，即虚隙。所谓隙积，是指球面有虚隙的堆积体的体积，如垒起来的瓮、缸、瓦盆之类或一层层筑起来的阶梯土台。隙积术采用分层计算，然后再用级数求和的办法。它以几何的表示法和独特的几何代数变换，来研究高阶等差级数的求和问题，用以求累层堆积的缸之类物体的总和，即高阶等差级数求总和的算法。这在数论的发展史上是十分重要的。南宋数学家杨辉和元
3、朝数学家朱世杰，更进一步的加以研究，发展成为垛积术，解决了更为复杂的高阶等差级数求和问题。沈括在数学上的另一个重要贡献是会圆术。这是我国数学史上第一个求弓形弧长的近似公式。贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的黄帝九章算法细草（九卷）和算法?古集（二卷）（?xio，意：数导）均已失传。 他的主要贡献是创造了贾宪三角和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。杨辉，字谦光，中国南宋（11271279）末年钱塘（
4、今杭州市）人。其生卒年月及生平事迹均无从详考。据有关著述中的字句推测，杨辉大约于 13 世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。杨辉一生编写的数学书很多，但散佚也很严重。据史料记载，他至少有以下书，曾在国内或国外刊行：详解九章算法12 卷（1261）详解算法若干卷日用算法（1262）乘除通变算宝3 卷（1274）续古摘奇算法如卷（1275）田亩比类乘除捷法如卷（1275）其中详解九章算法残缺不全，详解算法、日用算法迄今未见传本。而后 3 种共 7 卷合刊在一起，被称为杨辉算法。杨辉继承中国古
5、代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图（即误传为“杨辉三角”），就是极其宝贵的数学史料。杨辉继沈括研究“隙积术”之后，研究了“垛积术”，即关于高阶等差数列的研究。他首次将所谓“幻方”问题作为数学问题研究，并创“纵横图”之名。他给出了三阶至十阶幻方的实例，对某些构成原理也有所研究。杨辉之前在中国尚无这方面的研究成果，杨辉之后，明、清两代中国数学家关于纵横图的研究相继不绝，因此杨耀的著述也是研究关于幻方乃至组合数学历史的珍贵资料。杨辉还非常关心日常计算技巧，改进算法程序。杨辉不仅著
6、述甚丰，而且是一位杰出的数学教育家。他特别注重数学的普及教育，其许多著作都是为此而编写的教科书。杨辉主张在数学教育中贯彻理论联系实际的原则，在日用算法中，他说：“以乘除加减为法，称斗尺田为问；用法必载源流，命题须责实用。”他还主张贯彻循序渐进的原则，在算法通变本末（即乘除通变算宝上卷）中，专门为初学者制了一份“司算纲目”，要求学习者抓住要领，反复练习，这是我国历史上第一部数学教学大纲。他又告诫初学者：“夫学算者，题从法取，法将题验，凡欲明一法，必设一题。”又说：“题繁难见法理，定摆小题验法理，义既通虽用繁题了然可见也。”可见，他十分强调习题应有典型性。杨辉一生治学严谨，教学一丝不苟，他的这此教
7、育思考和方法，至今也有很重要的参考价值。秦九韶（约 1202-1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261 年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247 年写成著名的数书九章。数书九章全书凡 18 卷，81 题，分为九大类。其最重要的数学成就-“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术“(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。秦九韶的大衍求一术，不但远比欧洲发明得早，有其历史上的崇高地位，而且在方法上也比欧洲人的办法来得简洁、
8、具体，易于作数值计算。直到现在，与数论里的“一次同余式”的办法相比较，仍有其优越性。所以这个算法一直被欧美学者推崇，称为“中国剩余定理”。李冶 李冶(1192-1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232 年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248 年撰成测圆海镜，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设 x 为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作益古演段（1259）也是讲解天元术的。朱世杰是中国数学黄金时代(宋元时期)最后的
9、且是最伟大的数学家。史家总是描述他是所有时期伟大的数学家之一。然而，朱世杰的生平少有人知，就连他生日和祭日的确切数据也没人知道。他住在现今北平附近的燕山。他曾”以数学名家周游湖海二十余年，四方之来学者日众”，说明他以数学研究和数学教学为业游学四方。他的两本最重要的数学著作是，共 3 卷 259 问，成书于公元 1299 年，是一部当时较好的教科书；而，共 3 卷 288 问，写于公元 1303 年。在玉鉴中的四元术是天、地、人、物表示在单一的方程式中的四个未知数。曾流传到朝鲜、日本等国，在中国一度失传，直到 1839 年得到朝鲜翻刻本，才再重新翻印流传。朱世杰的著作深深地影响着亚洲数学的发展。
10、为中国代数发展达致巅峰。书中主要论及处理齐次方程组、帕斯卡尔三角形，以及解高次方程(如 14 次方程)。朱世杰解 14 次方程式的方法就是现在所周知的霍纳(Horner)方法(用 19 世纪的数学家霍纳之名)。虽然朱世杰似乎是第一个发表帕斯卡尔三角形和霍纳方法的数学家，但是他的名字并没有和他的发现齐名，但这并无损朱世杰在数学上所做出的重要贡献。沈括(1031-1095)，字存中，浙江钱塘(今杭州市)人。北宋天圣九年，出生于一个下层官吏的家庭，家境并不富裕，沈括常自谓“出自寒门”。母徐氏，是苏州吴县人，知书达礼，谙通文墨；父沈周，为官清正，不主张严刑苛法，到泉州任职时，沈括随往。皇佑三年(105
11、1)，沈周病殁，按宋朝职官死后荫子的制度，沈括守父丧到至和元年(1054)。他 24岁出任冰阳主簿。此时，冰水为患，河道淤塞，漫淹成泽，灾害频仍，许多田地“熟不长粮，荒不长草”，人民生活十分困苦，而当时的冰阳县令，不管人民生计，反而横征暴敛，曾激起农民反抗事件。上司为平息民愤，调走了这一县令，授命沈括代行县令，治理冰阳。由于他深入下层，体察民情，顺乎民意，撤销了百姓反对的无理禁约，“择可为而后为”，“专心致意，毕力于其事”。率民开“百渠九堰，得上田七干顷”，一度克服了冰河下游的连年水患，促进了农业的发展，缓解了当时当地的社会矛盾。他这种勤政务实精神，赢得广大人民的爱戴。嘉佑年间，沈括考取进士，
12、开始了上层的官宦生涯。神宗时累官至太子中允，翰林院学士，终为光禄寺少卿。沈括的一生，可以概括为从政和科学研究两个方面，兹举其要点：熙宁三年(1070)，他参加了王安石变法，并且是改革派的中坚人物；熙宁八年(1075)，他出使辽国，“正驳斥辽国无理争地要求，维护了宋室主权；继而镇守延州(今陕西延安)，加强武备，设防边睡，有效地抵御西夏。他一向重视兴修水利、监制兵器、管理财政等，希望促进国家强盛。沈括在从政的同时，一生重视科学研究和科学发明的记载。他所进行的科研，堪称广博，诸如观测天象，绘制浑仪景表，补修奉元历(类似今天的阳历)；在数学方面，创立“隙积术”和“会圆术”；在物理学方面，他发现地磁偏角
13、的存在，早于欧洲 400 多年，对共振规律也有研究；在地质学方面，从岩石生物遗迹中推论出冲积平原的形成，还提出石油的命名。此外，又钻研药用植物与医术。他平生著述颇多，著名的传世之作有梦溪笔谈、长兴集、苏沈良方等。在资治通鉴长编中，尚有一部分他所撰写的乙卯入国奏请、入国别录等资政史料。元丰五年(1082)，因徐禧失陷永乐城，沈括连累受贬，居润州，筑梦溪园(今镇江东郊)，潜心著述，至绍圣元年复官爵，次年(1095)辞世，终年 65 岁。贾宪与杨辉中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制
14、的“贾宪三角”了。由于史书没有贾宪的传记，所以我们今天对这位数学家的生平事迹已经无法搞清楚了。只知道他曾经当过宋代”左班殿直”的小官，是当时天文数学家楚衍的学生，还写过两部数学著作，可惜这两部著作现在都失传了。幸亏南宋数学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多数学思想资料，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。贾宪最著名的数学成就，是他创制了一幅数字图式，即“开方作法本源图”（见下图）。这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为恰当。开方作法本源图用现代的数学术语来说，这幅“开
15、方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道：如果把以上式子中等号右边的各个系数排列起来，则可得：这正好与“开方作法本源图”上的数字完全相符。这样一种二项式系数的展开规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”。帕斯卡是法国数学家，他是在年所著的书中给出类似于贾宪“开方作法本源图”的数字三角形表的（见图 1-6-1）。其实在欧洲，类似的数字三角形也并非帕斯卡最先发明，只是开始没有广泛流传罢了。西方最古的此类数字三角形，可以上溯到 1527 年；但与贾宪的这个图相比，已经晚了四百多年。因此我们完全有理由把这项中国人最先发明的数学成果称为“贾宪三角”而载人史册。不仅
16、如此，贾宪的这个图还蕴含了图中数字的产生规律。细心的读者也许已经发现，这个三角形的两条斜边都是由数字所组成的，而其它的数都等于它肩上的两个数相加。按此规律，这个数字三角形可以写到任意多层；也就是说，二项式任意正整次幂的系数展开都可以按照这个图很容易地得到。帕斯卡三角形根据杨辉的记载，贾宪求“开方作法本源图”中各项系数的方法，就是他在开平方、开立方中所用的新法-“增乘开方法”。应用这种“增乘开方法”，既可求得任意高次展开式系数，又可进行任意高次幂的开方。在贾宪之前，从汉代一直到唐代的一千多年时间里，中国古代数学家只能进行正数的开平方和开立方运算，对于四次方以上的高次幂开方没有什么好的方法。直到贾
17、宪的“增乘开方法”问世，才真正找到了开高次方的最佳方法，并能用它开任意有理数的高次方。这在中国数学史乃至世界数学史上，都是具有极其重要的价值的。以后的数学家在这个基础上继续前进，又把它推广为任意高次方程的数值解法。南宋时期的数学家秦九韶在系统总结前人成果的基础上，终于把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到了十分完备的程度。在秦九韶的著作中，方程的系数既有正的，也有负的；既有整数，也有小数；方程的次数最高达次方。如：其解法与现代通常使用的“霍纳法”（由英国数学家霍纳于年给出）基本一致，但比霍纳法要早了五百多年。从贾宪到秦九韶逐步发展完备起来的高次方程数值解法，是中国数学在宋元时期的一项杰出的创造。
