1、第 7 课时 直线的方向向量与平面的法向量教学过程一、 问题情境为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向” .如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?二、 数学建构问题 1 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线 ,在平面解析几何初步中如何用数学语言刻画直线的方向的?解 直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率研究了两条直线平行和垂直关系.问题 2 必修 4平面向量这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的 ?解 直线的方向向量,并用直线的方向向量研究了两条直线平行和垂直关系.直线 l 的方向向量:我们把直线 l 上的向量 e(e0)以及与 e 共线的
2、非零向量叫做直线 l 的方向向量.问题 3 平面有“ 方向”吗?通过展示平面的不同位置,使学生通过观察知道平面也有 “方向” .问题 4 如何用向量来刻画平面的 “方向”?通过模型观察、类比研究、共同讨论寻找出“平面的法向量 ”来刻画平面的方向.活动 1 类比直线的方向向量,与平面平行的直线的方向向量行吗?观察发现不行,方向不确定.活动 2 与平面垂直的直线的方向向量行吗?解 行,根据线面垂直关系,面的垂线方向确定,面的“方向”就确定.平面 的法向量:如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ,那么称向量 n垂直于平面 ,记作 n.此时, 我们把向量 n 叫做平面 的法向量 .概念理
3、解与平面垂直的直线叫做平面的法线,因此, 平面的法向量就是平面法线的方向向量 .三、 数学运用【例 1】 (教材第 99 页例 1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求证: 是平面 ACD1 的法向量. 3 (见学生用书 P61)处理建议 可用向量数量积的定义证明 与平面 ACD1 中两个不共线向量分别垂直;也可用待定系数法求出平面 ACD1 的法向量,再证明 与此向量共线.规范板书 证法一 不妨设正方体的棱长为 1,以 , , 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),(例 1)所以 =(
4、1,1,1), =(-1,1,0), =(-1,0,1).因为 =1(-1)+11+10=0,所以 .同理 .又 ACAD1=A,所以 DB1平面 ACD1,从而 是平面 ACD1 的法向量.证法二 设平面 ACD1 的一个法向量为 a=(x,y,z),则 a a ,从而 a =0,a =0.因为 =(-1,1,0), =(-1,0,1),所以 即 解得不妨取 y=z=x=1,所以 a=(1,1,1)就是平面 ACD1 的一个法向量.而 =(1,1,1),故 a,所以 是平面 ACD1 的法向量.题后反思 (1) 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 平面 ACD1 是一个重要的结论,以
5、前用综合法证明,这里用向量坐标法证明,可让学生分析比较各自的优点,以便今后灵活运用.(2) 求平面的法向量,先找是否有与平面垂直的直线 ;若没有 ,再用待定系数法.变式 已知四边形 ABCD 是直角梯形, ABC=90,SA平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD 的一个法向量.规范板书 解 以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 D ,C(1,1,0),S(0,0,1),所以 =(1,1,-1), = .(变式)设平面 SCD 的一个法向量为 n=(x,y,z),则 n =0,n =0,所以 解得令 y=1,则 x=-2,z=-1,所以 n=(-2
6、,1,-1)是平面 SCD 的一个法向量.题后反思 求平面的法向量通常用待定系数法,由于两个三元一次方程组成的方程组的解不唯一,为方便起见,需合理取值,平面的法向量不唯一.【例 2】 已知 A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).(1) 写出直线 BC 的一个方向向量;(2) 设平面 经过点 A,且 是平面 的法向量,M (x,y,z)是平面 内任意一点, 试写出 x,y,z满足的关系式.(见学生用书 P62)处理建议 先明确直线的方向向量和平面的法向量的定义,再由平面的法向量的定义得出线线垂直,从而确定 x,y,z 满足的关系式.规范板书 解 (1) B(2,0,0),C(0
7、,2,-2), =(-2,2,-2),即 =(-2,2,-2)为直线 BC 的一个方向向量.(2) A(2,2,2),M(x,y,z,), =(x-2,y-2,z-2). ,AM, , (-2,2,-2)(x-2,y-2,z-2)=0,化简得 x-y+z-2=0.题后反思 (1) 在空间直角坐标系中 ,平面可以用关于 x,y,z 的三元一次方程来表示.(2) 已知直线上一点和直线的方向向量,那么这条直线就唯一确定了.已知平面内一点和平面的法向量,那么这个平面是否唯一确定?(因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,所以,已知平面内一点和平面的法向量,这个平面是唯一确定的)四、 课堂练习(第 1
8、 题)1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证 : 是平面 A1D1F 的法向量.证明 建立如图所示的空间直角坐标系.由题意设 A(2,0,0),则 F(0,1,0),E(2,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),所以 =(0,2,1), =(-2,1,-2),=(0,1,-2).因为 =21+1(-2)=0, =0,所以 AEA1F,AED1F.又 A1FD1F=F,所以 AE平面 A1D1F,所以 是平面 A1D1F 的法向量.2.已知直线 l 经过点 A(1,-1,2),l 的方向向量 a=(1,-2,3).若 P(x,y,z)是 l 上任意一点,求 x,y,z 满足的关系式.解 由题意知 =(x-1,y+1,z-2).因为 a=(1,-2,3)是 l 的方向向量,所以 a,所以 x-1=- = .所以 x,y,z 满足关系式为 x-1=- = .五、 课堂小结1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.2.会用待定系数法求平面的法向量.3.在空间直角坐标系中,平面可以用关于 x,y,z 的三元一次方程表示.
