1、1第 31 练 函数与导数明考情函数与导数问题是高考的必考题，作为试卷的压轴题，在第 21 题或第 22 题的位置.知考向1.导数的几何意义.2.导数与函数的单调性.3.导数与函数的极值、最值.考点一 导数的几何意义要点重组 导数的几何意义：函数 y f(x)在 x x0处的导数 f( x0)就是曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处切线的斜率.方法技巧 (1)已知斜率求切点：已知斜率 k，求切点( x1， f(x1)，即解方程 f( x1) k.(2)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.1.已知函数 f(x) x3 x1
2、6.(1)求曲线 y f(x)在点(2，6)处的切线方程；(2)直线 l 为曲线 y f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；解 (1)由计算可知，点(2，6)在曲线 y f(x)上. f( x)( x3 x16)3 x21， y f(x)在点(2，6)处的切线的斜率 k f(2)13，切线方程为 y13( x2)(6)，即 y13 x32.(2)设切点为( x0， y0)，2则直线 l 的斜率为 f( x0)3 x 1，20直线 l 的方程为 y(3 x 1)( x x0) x x016.20 30又直线 l 过点(0，0)，0(3 x 1)( x0) x x016，20
3、30整理得 x 8，30 x02， y0(2) 3(2)1626，k3(2) 2113.直线 l 的方程为 y13 x，切点坐标为(2，26).2.设函数 f(x)( x a)ln x， g(x) .已知曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线与直线x2ex2x y0 平行.(1)求 a 的值；(2)是否存在自然数 k，使得方程 f(x) g(x)在( k， k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；解 (1)由题意知，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2，又 f( x)ln x 1，即 f(1) a12，所以 a1.ax(2)
4、当 k1 时，方程 f(x) g(x)在(1，2)内存在唯一的根.设 h(x) f(x) g(x)( x1)ln x ，x2ex当 x(0，1时， h(x)0.又 h(2)3ln 2 ln 8 0，4e2 4e2所以存在 x0(1，2)，使得 h(x0)0.因为 h( x)ln x 1 ，1x xx 2ex所以当 x(1，2)时， h( x)0，所以 h( x) h(1)2 0，1e当 x(2，)时， h( x)0，所以当 x(1，)时， h(x)单调递增，所以当 k1 时，方程 f(x) g(x)在( k， k1)内存在唯一的根.3.已知定义在正实数集上的函数 f(x) x22 ax， g(
5、x)3 a2ln x b，其中 a0.设两曲线12y f(x)， y g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.3(1)若 a1，求 b 的值；(2)用 a 表示 b，并求 b 的最大值.解 (1)当 a1 时， f(x) x22 x， g(x)3ln x b.12设 y f(x)与 y g(x)(x0)在公共点( x0， y0)处的切线相同，f( x) x2， g( x) ，3x由题意知， f(x0) g(x0)， f( x0) g( x0)，Error!由 x02 ，得 x01 或 x03(舍去).3x0 b .52(2)设 y f(x)与 y g(x)(x0)在公共点( x0， y0)处
6、的切线相同，f( x) x2 a， g( x) .3a2x由题意知， f(x0) g(x0)， f( x0) g( x0)，Error!由 x02 a ，得 x0 a 或 x03 a(舍去)，3a2x0即 b a22 a23 a2ln a a23 a2ln a.12 52令 h(t) t23 t2ln t(t0)，则 h( t)2 t(13ln t)，52则当 2t(13ln t)0，即 0 t13e时， h( t)0；当 2t(13ln t)0，即 t 时， h( t)0.故 h(t)在(0，)上的最大值为 h(13e)2，故 b 的最大值为23e.32 32考点二 导数与函数的单调性方法技
7、巧 (1)函数单调性的判定方法：在某个区间( a， b)内，如果 f( x)0，那么函数y f(x)在此区间内单调递增；如果 f( x)0，那么函数 y f(x)在此区间内单调递减.(2)常数函数的判定方法：如果在某个区间( a， b)内，恒有 f( x)0，那么函数 y f(x)在此区间内是常数函数，不具有单调性.(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数 f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数 f(x)在这个区间内 f( x)0(或 f( x)0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验).44.设 f(x) ，其中 a 为正实数.ex1 ax2(1)当 a
8、 时，求 f(x)的极值点；43(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围.解 对 f(x)求导得 f( x)e x .1 ax2 2ax1 ax22(1)当 a 时，若 f( x)0，则 4x28 x30，43解得 x1 ， x2 .结合可知，32 12x ( ， 12) 12 (12， 32) 32 (32， )f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 x1 是极小值点， x2 是极大值点.32 12(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f( x)在 R 上不变号.结合与条件 a0 知， ax22 ax10 在 R 上恒成立，即 4 a24 a4 a(a1)
9、0，由此并结合 a0 知，00，求函数 f(x)的单调区间；(3)设函数 g(x) f(x)2 x，且 g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围.解 (1) f( x) x2 ax b，由题意得Error!即Error!(2)由(1)，得 f( x) x2 ax x(x a)(a0)，当 x(，0)时， f( x)0；当 x(0， a)时， f( x)0.所以函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，( a，)，5单调递减区间为(0， a).(3)g( x) x2 ax2，依题意，存在 x(2，1)，使 g( x) x2 ax20，故 f(x)在(0，)上单调递增.若
10、a0；(0， 12a)当 x 时， f( x)0；当 x(1，)时， g( x)0 时， g(x)0.从而当 a0，即( x22)e x0，因为 ex0，所以 x220，解得 0，所以 x2( a2) x a0 对 x(1，1)都成立，即 a ( x1)x2 2xx 1 x 12 1x 1 1x 1对 x(1，1)都成立.令 y( x1) ，则 y1 0，1x 1 1x 12所以 y( x1) 在(1，1)上单调递增，1x 1所以 y0 分 a 0， a0， a0， 利 用 导 数 ， 求 出 hx的 最 大 值 为 1e解 不 等 式 a2 1e， 可 求 得 a的 取 值 范 围规范解答评分标准解 (1) f( x) a2x (x0).1 分1x当 a0 时， f( x)0，故 f(x)在(0，)上单调递减.当 a0 时， f( x) ，a2x2 1x a2(x2 1a2)x由 f( x)0，得 x ；由 f( x)0，得 0 x .3 分1a 1a所以 f(x)的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .(0，1a) 1a， )
