1、1 函数平移 ： 把 y f（ ax）向右平移 m个单位，再向下平移 n个单位所得的 新 解析式为 y n f（ a(x m） ) 把 y f（ ax）向左平移 m个单位，再向上平移 n个单位所得的新解析式为 y n f（ a(x m） ) 把 y f（ ax）向左平移 m个单位，再向下平移 n个单位所得的新解析式为 y n f（ a(x m） ) 这些规律又可总结为左右平移“ x右减左加”，上下平移“ y 上减下加” 函数的轴对称： y = f(x) 与 y = f(-x) 关于 x=0 对称 y = f(x) 与 y = -f(x) 关于 y=0 对称 定 理 1：如果函数 ()y f x
2、 满足 ( ) ( )f a x f a x ，则函数 ()y f x 的图象关于直线 xa 对称 . 定理 2：如果函数 ()y f x 满足 2f x f a x，则函数 ()y f x 的图象关于直线 xa 对称 . 定理 3：如果函数 ()y f x 满足 2f x f a x ，则函数 ()y f x 的图象关于直线 xa 对称 . 定理 4：如果函数 ()y f x 满足 ( ) ( )f a x f b x ，则函数 ()y f x 的图象关于直线2abx 对称 . 定理 5：如果函数 ()y f x 满足 ( ) ( )f x f x，则函数 ()y f x 的图象关于直线 0
3、x （ y轴）对称 . 函数的点对称： y = f(x) 与 y= -f(-x) 关于点 (0,0) 对称 定理 1：如果函数 ()y f x 满足 ( ) ( ) 2f a x f a x b ，则函数 ()y f x 的图象关于点 (, )ab 对称 . 定理 2：如果函数 ()y f x 满足 22f x f a x b ，则函数 ()y f x 的图象关于点 (, )ab 对称 . 定理 3：如果函数 ()y f x 满足 22f x f a x b ，则函数 ()y f x 的图象关于点 (, )ab 对称 . 定理 4：如果函数 ()y f x 满足 ( ) ( ) 0f a x
4、f a x ，则函数 ()y f x 的图象关于点 (,0)a 对称 . 2 定理 5：如果函数 ()y f x 满足 ( ) ( ) 0f x f x ，则函数 ()y f x 的图象关于原点 (0,0) 对称 . 含绝对值的函数图象的画法 : 一、 含绝对值的函数常见情况的分类： 已知函数 Rxxfy , ， x 叫做函数的自变量； y 叫做函数的应变量（函数值）。 对自变量 x 取绝对值： Rxxfy , ； 对应变量 y 取绝对值： Rxxfy , ； 对 yx, 全都取绝对值： Rxxfy , ； 对整个函数取绝对值： Rxxfy , ； 对 xfx, 都取绝对值： Rxxfy ,
5、； 部分自变量取绝对值： Rxxxfy , 。 二、 分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法： 对自变量 x 取绝对值： Rxxfy , 【特征分析：】 已知函数 Rxxfy , ，设 yx, 是函数图象上任意一点，则该点与点 yx, 关于 y 轴对称。因为点 yx, 与 yx, 都在函数 xfy 上，所以其函数图象关于 y 轴对称。 【作图步骤：】 3 （ 1）作出函数 xfy 的图象； （ 2）保留 0x 时函数 xfy 的图象； （ 3）当 0x 时，利用对称性作出（ 2）中图象关于 y 轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数 22 xxfy 的图象 对应变量 y 取绝对值： Rx
6、xfy , ； 【特征分析：】 已知函数 Rxxfy , ，设 yx, 是函数图象上任意一 点，则该点与点 yx, 关于 x 轴对称。因为点 yx, 与 yx, 都在函数 xfy 上，所以其函数图象关于 x 轴对 称。 【作图步骤：】 （ 1）作出函数 xfy 的图象； （ 2）保留 0y 时函数 xfy 的图象； （ 3）当 0y 时，利用对称性作出（ 2）中图象关于 x 轴对称后的图象。 【作图展示 ：】作函数 22 xxfy 的图象 4 对 yx, 全都取绝对值： Rxxfy , ； 【特征分析：】 已知函数 Rxxfy , ，设 yx, 是函数图象上任意一点，它与点 yx, 关于 x
7、轴对称、与点 yx, 关于 y 轴对称且与点 yx , 关于原点对称。因为点 yx, 、 yx, 、 yx, 与 yx , 都在函数 xfy 上，所以函数图象关于 x 轴、 y 轴及原点对称 。 【作图步骤：】 （ 1）作出函数 xfy 的图象； （ 2）保留 0,0 yx （第一象限）时函数 xfy 的图象； （ 3）利用对称性作出（ 2）中图象关于 x 轴、 y 轴及原点对称后的图象 。 【作图展示：】作函数 22 xxfy 的图象 5 对整个函数取绝对值： Rxxfy , ； 【特征分析：】 已知函数 Rxxfy , ，当 0xf 时 xfxfy ；当 0xf 时 xfxfy 。函数 x
8、fy 的图象在 0xf 时不变，在 0xf 时 xfy 图象关于 x 轴对称。 【作图步骤：】 （ 1）做出 xfy 的图象； （ 2）保留 0 xfy 的函数图象（ x 轴上方图象）不变； （ 3）当 0 xfy 时，利用对称性作出 x 轴下方图象关于 x 轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数 22 xxfy 的图象 对 xfx, 都取绝对值： Rxxfy , 【特征分析：】 已知函数 Rxxfy , ，由于该函数既对自变量取了绝对值，又对应变量取了绝对值，因此可看做是前两种情况的逐步复合，若令 xfu （偶函数），则 uy 。 【作图步骤：】 6 （ 1）利用 xfy 的方法步骤作出函数
9、 xfu 的图象； （ 2）利用 xfy 的方法步骤作出函数 uy 的图象。 【作图展示：】作函数 22 xxfy 的图象 部分自变量取绝对值： Rxxxfy , 。 【特征分析：】已知函数 Rxxxfy , ，这种类型的函数没有统一的特点，必须先利用绝对值的意义去掉绝对值，然后再利用相应的方法作出函数的图象。 特殊作图法： 1、三点作图法 三点作图法是画函数 )0(| akcbaxky 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“ V”，故称 V 型图）。 步骤是：先画出 V 型图顶点 cab，； 在顶点两侧各找出 一点； 以 顶 点 为 端 点 分 别 与 另 两 个 点 画 两 条 射 线
10、， 就 得 到 函 数)0(| akcbaxky 的图象。 例 1. 作出下列各函数的图象。 （ 1） 1|12| xy ；（ 2） |12|1 xy 。 解：（ 1）顶点 121，两点（ 0， 0），（ 1， 0）。其图象如图 1 所示。 7 图 1 （ 2）顶点 121，两点（ 1， 0），（ 0， 0）。其图象如图 2 所示。 图 2 注：当 k0 时图象开口向上，当 k0时图象开口向下。函数图象关于直线 abx 对称。 2、翻转作图法 翻转作图法是画函数 |)(| xfy 的图象的一种简捷方法。 步骤是：先作出 )(xfy 的图象；若 )(xfy 的图象不位于 x 轴下方，则函数 )(
11、xfy 的图象就是函数 |)(| xfy 的图象；若函数 )(xfy 的图象有位于 x 轴下方的，则可把 x 轴下方的图象绕 x 轴翻转 180到 x 轴上方，就得到了函数 |)(| xfy 的图象。 例 2. 作出下列各函数的图象。 （ 1） |1| xy ；（ 2） |32| 2 xxy ；（ 3） |)3lg(| xy 。 解：（ 1）先作出 1| xy 的图象，如图 3，把图 3 中 x 轴下方的图象翻上去，得到图 4。图 4 就 是要画的函数图象。 8 图 3 图 4 （ 2）先作出 322 xxy 的图象，如图 5。把图 5 中 x 轴下方的图象翻上去，得到图 6。图 6 就是要画
12、的函数图象。 图 5 图 6 （ 3）先作出 )3lg( xy 的图象，如图 7。把图 7 中 x 轴下方的图象翻上去，得到图 8。图 8 就是要画的函数图象。 图 6 图 7 3、分段函数作图法 分段函数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值的函数的图象的有效方法。 例 3. 作出下列函数的图象。 （ 1） 1|22 xxy ；（ 2） |1|1| xxy ；（ 3） |32| 2 xxy 。 解：（ 1）)0(12)0(121|2222xxxxxxxxy 图 9 就是所要画的函数图象。 9 （ 2）)1(2)11(2)1(2|1|1|xxxxxxxy 图 10 就是所要画的函数图象。 （ 3） |32| 2 xxy )032(32)032(322222xxxxxxxx )31(32)31(3222xxxxxxx 或 图 11 就是所要画的函数图象。 图 9 图 10 图 11 注：分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。三点作图法、翻转作图法虽然简便，但要注意适应的题型，第（ 3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一试。
