1、第 5 课时 同角三角函数关系(1)教学过程一、 问题情境当角 确定后, 的正弦、余弦、正切值也随之确定, 它们之间有何关系?二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 设点 P(x, y)为单位圆上任意一点,则 x, y 满足什么关系?(结合前面知识,引导学生说出: x2+y2=1)问题 2 设角 的终边与单位圆交于点 P,则点 P 的坐标是什么 ?那么 sin 与 cos 满足什么关系?tan 与 sin,cos 之间满足什么关系?(引导学生研究任意角的三种三角函数之间的关系,得出三角函数的基本关系式)通过讨论,结合图 1,给出同角三角函数的基本关系式:sin2+cos2=1, tan= .(
2、图 1)问题 3 上述两式对于任意的 都成立吗?(引导学生理解等式成立的条件,突出三角函数的定义域)sin2+cos2=1 对于任意的角 都成立, tan= 在 k+ (kZ)时成立.问题 4 对于任意的两个角 , , sin2+cos2=1 能恒成立吗?(引导学生理解三角函数的基本关系式中,突出“同角”)问题 5 你能给出同角三角函数的基本关系式的几种变形吗?(引导学生进一步理解公式的形式,培养学生思维的灵活性)(二) 理解概念1. 注意“同角” ,至于角的形式无关重要, 如 sin24+cos24=1 等.2. 注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的,如 tan= (k+, kZ),
3、以后遇到的关系式(包括已证的和待证的 )也是这样.解题中, 如果没有特殊说明,一般都把关系式看成有意义的.3. 对这些关系式不仅要牢固掌握,还要能灵活运用, 如:公式的几种常见变形, sin2=1-cos2, cos2=1-sin2, cos= , sin= (注意分析“” 号的选取);sin =costan, cos=等.三、 数学运用【例 1】 已知 cos=,且 是第四象限角,求 sin, tan 的值. 3 (见学生用书 P9)处理建议 引导学生直接运用公式求解,但应注意角所在象限.规范板书 解 因为 sin2+cos2=1,所以 sin2=1-cos2=1- = .又 是第四象限角,
4、因此 sin0,知 是第一或第三象限角.若 是第一象限角,则 cos= , sin= ;若 是第三象限角,则 cos=- , sin=- .题后反思 本题的解题中,将正切化为正弦与余弦,一方面与解题目标相近,另一方面,也是“消元思想” 的体现 .在三角函数的解题中,经常会将“切”化“ 弦”.思考 2 上述解法的本质是什么 ?将 sin, cos 看成两个未知数, 通过建立方程组的方法来解出它们的值,它是一种方程思想的体现.思考 3 我们能直接找到 tan 与 sin 或 cos 的关系吗?解法 2:因为 sin2+cos2=1,所以 tan2+1= ,从而 cos2=.以下同上面的解法.变式
5、2 已知 tan=2,求下列各式的值:(1) ;(2) sin2+2sincos+3cos2.5 (见学生用书 P10 例 3)处理建议 引导学生尝试用不同的方法求解.规范板书 解 (1)方法 1:由 tan=2 得 sin=2cos,故 = =;方法 2: = = =;方法 3:由 tan=2 得 sin=2cos,又 sin2+cos2=1,故(2cos) 2+cos2=1,解得 cos2=.又由 tan=20,知 是第一或第三象限角.若 是第一象限角,则 cos= , sin= ,从而 = =;若 是第三象限角,则 cos=- , sin=- ,从而 = =.(2) 解法 1:sin2+
6、2sincos+3cos2=cos2(tan2+2tan+3)=11cos2.又由 sin2+cos2=1 得 1+tan2= ,故 cos2=,从而原式= .解法 2:sin2+2sincos+3cos2= = = .解法 3:(同(1) 的解法 3,略)题后反思 (1) 上述三种解法中,以解法一、二较为简便,解法三较为繁琐.一般地,已知 tan 或 sin 与 cos 的关系,求 , (齐次式)的值,可利用分子、分母同除以 cos, cos2 转化为 tan 的表达式,也可将正弦转化为余弦再约分求值;如果要求 sin, cos 的值,可采用解方程(组)的方法求解,需要注意的是要对角 所在的
7、象限进行讨论.(2) 学习中,要注意灵活地运用知识,对所学的公式进行适当的变形来使用,如本题中所用的由 sin2+cos2=1 得到 1+tan2= ,这样就直接沟通了正切与余弦的关系.(3) 第(2 )小题解法 2 中应用了常数“1”的代换,将 1 看成 sin2+cos2,简化了问题.【例 2】 已知 sinx+cosx= ,且 00, cosx0, cosx0,与 cosx=矛盾,故 tanx=- 不成立,从而 tanx=- .7*【例 3】 已知 sin, cos 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两个根( aR).(1) 求 sin3+cos3 的值;(2) 求 tan+ 的
8、值. 8处理建议 本题的易错点在于不能正确地求出 a 值,从而得到增根.要引导学生思考方程的根所满足的条件,从而得到正确的结果.规范板书 解 依题意,有从而得 a2=1+2sincos=1+2a,解得 a=1 .因为 sincos1,故 a=1- .(1) sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=a(1-a)= -2.(2) tan+ = + = =- -1.题后反思 由于 sin, cos 的自身的取值范围影响着 a 的取值,所以,在解题中要注意挖掘题目中的隐含条件,同时,对于含“切”的式子常化为“ 弦” 来处理.四、 课堂练习1. 已知 cos=, (0
9、, ),则 tan=.2. 已知 tan=- ,则 sin+cos= .提示 sin+cos=cos(1+tan)= cos,由 sin2+cos2=1 得 tan2+1= ,从而 cos= ,故sin+cos= .3. 若 =2,则 tan=1.4. 已知 A 是三角形的一个内角,且 sinA+cosA= ,则这个三角形的形状是钝角三角形.提示 由条件可得 sinAcosA=- ,又 0A,所以角 A 为钝角.五、 课堂小结1. 对同角三角函数的基本关系式,要注意两个方面: 一是 “同角”;二是“有意义” .2. 应用同角三角函数的基本关系解题时,要注意常见的几种变形的应用:(1) 切化弦;(2) 正弦、余弦的“齐次式”化为正切;(3) 常数“1” 的代换;(4) (sinxcosx)2=12sinxcosx.3. 要学会从不同的角度来分析同一个问题,培养思维的灵活性、简洁性与严谨性.
