1、第 8 课时 本章复习教学过程一、 数学运用【例 1】 化简: .(见学生用书 P75)处理建议 观察分析待化简的式子,可以看到分子较容易处理,它是二倍角余弦公式的逆用. 分母相对复杂,从名称看,有弦有切;从角看,两个角与分子中的角都不同,但-, +互余;从结构看,涉及正弦的平方.而后请学生从式子“角”、 “结构” 上的差异着手,使用不同的公式求解.规范板书 解法一原式=(复角化单角)= (化切为弦)= =1. (化简繁分式 )解法二 原式=(将分母化同角)= (化切为弦)= = =1.(逆用二倍角正弦公式)题后反思 三角变换的实质是灵活地运用公式进行运算,在这个过程中,要从“名” 、“角 ”
2、、 “结构”上的差异入手 .变式 化简: .(见学生用书 P75)规范板书 解 原式= = tan10= =-2.【例 2】 若 sin =,则 cos =-. (见学生用书 P75)处理建议 引导学生找出已知角与所求角,并找出两角之间的关系:2 + =.规范板书 解 cos +2 =cos -2 - =-cos2 - =2sin2 - -1=-.题后反思 三角变换过程中要注意寻找题中角与角的关系.变式 1 设 为锐角,若 cos =,则 sin = .(见学生用书 P75) 规范板书 解 为锐角, + .又 cos =, sin =. sin =2sin cos = , cos =2cos2
3、 -1= . sin =sin =sin cos-cos sin= .题后反思 本题是 2012 年江苏高考卷第 11 题,解题的关键是寻找所求角与已知角之间的关系.本题也可以先求出 sin 和 cos 的值,从而可求得 sin2 和 cos2 的值,进一步可求得 sin 的值 .变式 2 已知函数 f(x)=sin +cos , xR.(1) 求 f(x)的最小正周期和最小值;(2) 已知 cos(-)=, cos(+)=-, 0,求证: -2=0.规范板书 解 (1)因为 f(x)=sin +sin x- + =2sin x- ,所以 T=2,f(x)的最小值为-2.(2) 由已知可得 c
4、oscos+sinsin=, coscos-sinsin=-,两式相加得 2coscos=0.又因为 0,所以 =,所以 -2= -2=0.【例 3】 已知函数 f(x)=sin -cos +2cos2x.(1) 求 f 的值 ;(2) 求 f(x)的最大值及相应 x 的值.(见学生用书 P76)处理建议 第(1)问可直接代入化简、求值 ;第(2 )问需将函数 f(x)化为 Asin(x+)+B 的形式 .规范板书 解 (1) f =sin 2 + -cos 2 + +2cos2 =sin-cos+1+cos= +1.(2) f(x)=sin -cos +2cos2x=sin2xcos+cos
5、2xsin-cos2xcos+sin2xsin+cos2x+1= sin2x+cos2x+1=2sin +1.当 sin =1 时,f(x) max=2+1=3,此时 2x+=2k+,即 x=k+,kZ.题后反思 (1) 分析、研究三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的解析式变形化简成“ 一一型 ”(一个角的一个三角函数),然后根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.(2) 相应于 sinx-cosx=2sin ,还有更一般的情况:asinx+bcosx= sinx +cosx . + =1, 设 =cos, =s
6、in,则 asinx+bcosx= sin(x+),并由此可求出 asinx+bcosx 的取值范围.(如 3sinx-4cosx=5 ,设 cos=, sin=,则 3sinx-4cosx=5sin(x-).若 xR,则3sinx-4cosx-5, 5)变式 1 求函数 y=2cos cos + sin2x 的值域和最小正周期. (见学生用书 P76)答案 y=2sin ,值域为-2 , 2,最小正周期 T=.变式 2 若函数 f(x)= -asincos 的最大值为 2,试确定常数 a 的值.规范板书 解 f(x)= +sinx= sin(x+),其中 满足 sin= .由已知可得+ =4
7、,解得 a= .【例 4】 如图(1), A, B 是半径为 1 的圆 O 上任意两点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC,问:A , B 处于怎样的位置时,四边形 OACB 的面积最大?最大面积是多少 ? (见学生用书 P76)处理建议 引导学生分析四边形面积变化的原因,选择AOB 为自变量,将四边形OACB 的面积表示成AOB 的函数,再求这个三角函数的最大值.(例 4(1)(例 4(2)规范板书 解 设AOB= (0),四边形 OACB 的面积为 S.如图(2),取 AB 中点 D,连接 OD,则 ODAB.在 RtODA 中,OA= 1, AOD=,所以 AD=AOsinAOD=si
8、n,所以 AB=2AD=2sin,于是 S=SABC+SAOB=ACBCsin60+OAOBsin= +sin= sin2+sin=sin-cos+ =sin + .因为 0,所以当 -=,即 = 时, S 取得最大值 1+ .故当 OA 与 OB 夹角为 时,四边形 OACB 的面积最大,最大面积是 1+ .题后反思 (1)有关圆的最值问题要想到设圆心角为自变量.(2 )四边形 OACB 的面积还可以根据 AB 的变化而变化.即设 AB=x,则 S=SABC+SAOB= x2+x .变式 1 如图,工人师傅要从一块圆心角为 45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径为
9、 1,求割出的长方形桌面的最大面积. (见学生用书 P76)(变式 1)规范板书 解 如图,连接 OC,设COB=, 则 045, OC=1. AB=OB-OA=cos-AD=cos-sin, S 矩形 ABCD=ABBC=(cos-sin)sin=-sin2+sincos=-(1-cos2)+sin2=(sin2+cos2)-= cos(2-45)-.当 2-45=0,即 =22.5时,S max= . 割出的长方形桌面的最大面积为 .变式 2 如图(1),四边形 ABCD 是边长为 10 的正方形, 以点 A 为圆心, 9 为半径画弧,分别交 AB, AD 于点 E, F,P 是 上一动点
10、,过点 P 分别作 PMBC, PNCD,垂足为 M, N,求矩形PMCN 的面积的最小值. (变式 2(1)(变式 2(2)规范板书 解 如图(2),连接 PA,延长 NP 交 AB 于 H.设PAE= 0 ,矩形PMCN 的面积为 S,则PM=HB=AB-AH=10-9cos,PN=HN-HP=10-9sin,于是 S=PMPN=(10-9cos)(10-9sin)=100-90(sin+cos)+81sincos.令 sin+cos=t,则 sincos= ,所以 S=100-90t+ (t2-1)= t2-90t+ = + .因为 ,所以 t=sin+cos= sin ,所以当 t=
11、时, Smin= .故矩形 PMCN 的面积的最小值是 .二、 补充练习1. 函数 f(x)=3sin +4cos 的最小值是-5.提示 因为 f(x)=5sin(x+),所以 f(x)的最小值是-5.2. 已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx,求 f(x)的最大值和最小值.解 f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3 -.因为 cosx-1, 1,所以当 cosx=-1 时, f(x)取最大值 6;当 cosx=时, f(x)取最小值- . 三、 课堂小结1. 三角恒等变换公式:两角和 (差)的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.2. 求值常用的方法:化切为弦、升幂降幂、 “1”的代换等.3. 基本思想方法:化归思想、整体思想 .
