1、第 3 课时 任意角的三角函数(1)教学过程一、 问题情境引入教材的引言:用(r, )与用坐标( x, y)均可表示圆周上点 P,那么, 这两种表示有什么内在联系?确切地说 ,用怎样的数学模型刻画(x, y)与( r, )之间的关系?二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 在前面的学习中,我们如何来研究角?(引导学生应用建立坐标系的方法来研究角,也是对前面的内容的复习)问题 2 在初中我们是如何研究锐角三角函数的 ?(复习锐角三角函数的定义,以便为研究任意角的三角函数定义打下基础)问题 3 我们能用建立坐标系的方法来研究锐角三角函数吗?(引导学生来沟通初中、高中两种研究方法的联系,为下面任意角
2、的三角函数埋下伏笔)通过讨论,结合图 1,在平面直角坐标系中, 设 的终边上任意一点 P 的坐标是(x, y),它与原点的距离是 r(r= 0).(图 1)当 为锐角时,过 P 作 PMx 轴,垂足为 M.在 RtOPM 中,sin= , cos=, tan=.问题 4 怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数?(由特殊推广到一般,通过对比, 让学生对知识进行类比、迁移及联想,树立他们勇于探索的信心)通过讨论,结合图 2,给出任意角的三角函数的定义.(图 2)一般地,对任意角 ,我们规定 :(1) 比值叫做 的正弦,记作 sin,即 sin=;(2) 比值叫做 的余弦,记作 cos,即 co
3、s=;(3) 比值叫做 的正切,记作 tan,即 tan=.(二) 理解概念1. 根据相似三角形的知识 ,对于终边不在坐标轴上的角 的三角函数值不受终边上的点 P的位置的影响.2. 对于确定的角 ,比值和都唯一确定,故正弦和余弦都是角 的函数.3. 当 =k+ (kZ)时, 角 的终边在 y 轴上,故有 x=0,这时 tan 无意义,除此之外,对于确定的角 ,比值也是唯一确定的,故正切也是角 的函数.4. sin, cos, tan 分别叫做角 的正弦函数、余弦函数、正切函数 ,以上三种函数都称为三角函数.问题 5 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系, 因此三角函数可以看成是以实数
4、为自变量的函数,那么 ,在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么呢?(函数的定义域是函数的三要素之一,讨论三角函数的定义域是顺里成章的事,同时,也是三角函数定义的具体应用)通过讨论,借助于三角函数的定义 ,抓住分母等于 0 时比值无意义这一关键,可得正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别为 R, R, .问题 6 根据三角函数的定义 ,我们得到了三个三角函数的定义域.通过前面的学习,我们知道,在坐标系中,角的终边可能落在四个象限中,也可能落在坐标轴上,那么角所在的位置对三角函数的值有什么样的影响?这种影响表现在什么地方?(进一步加深三角函数的定义的应用,引导学生学会用知识)
5、通过讨论,分析可得正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号, 如图 3 所示:(图 3)进一步引导,归纳出更为容易的记忆方法 ,如图 4:(图 4)三、 数学运用【例 1】 已知角 的终边经过点 P(2, -5),求 的正弦值、余弦值、正切值. 3(见学生用书 P5)处理建议 紧扣三角函数的定义.规范板书 解 因为 x=2, y=-5,所以 r= = ,所以 sin= =- , cos= = , tan=-.题后反思 学会用定义来处理问题.变式 已知角 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin, cos, tan 的值. 4处理建议 启发学生将题目条件与三角函数定义联系起来.解 在直
6、线 3x+4y=0 上任取点 P(4a, -3a) (a0),则 r= =5|a|.当 a0 时,sin= =-, cos= =, tan= =-;当 a0;(2) -565=-2360+155,即-565是第二象限角, sin(-565)0;(3) =4+ ,即 是第三象限角 , tan 0.题后反思 正确确定角的终边所在的象限,是处理这类问题的关键.【例 3】 已知角 的顶点为坐标原点 ,始边为 x 轴的正半轴 ,若 P(4, y)是角 终边上一点,且 sin=- ,求 y 的值. 6 (见学生用书 P6)处理建议 由题设条件确定 是第几象限角,然后利用三角函数的定义求解.规范板书 解 r
7、= = ,且 sin=- ,所以 sin= =- ,得 y2=64.由题意知 为第四象限角 ,所以 y=-8.题后反思 若已知角终边上一点,则 x, y, r 即可确定.本题求解时应注意隐含条件 为第四象限角.*【例 4】 若 sin0,确定 是第几象限角. 7处理建议 让学生先回忆三角函数值在四个象限(包括在坐标轴上)的符号规律.规范板书 sin0, 是第一、三象限角.综上可得 是第三象限角.题后反思 本题的易错点在于由 sin0,则 x 的取值范围是(-2, 3. 提示 由 cos0, sin0 得 故- 2x3.五、 课堂小结1. 任意角的三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号规律.2. 重视数形结合思想、类比思想在分析问题和解决问题中的作用.
