1、3.2.4 二面角及其度量一、基础过关1一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角( )A相等 B互补C相等或互补 D不确定2若分别与一个二面角的两个面平行的向量 m(1，2,0)，n(1,0 ，2)，且 m、n 都与二面角的棱垂直，则二面角的正弦值为 ( )A. B.15 245C. D.14 1543二面角 l 中，平面 的一个法向量 n1 ，平面 的一个法向量 n2(32， 12， 2)，则二面角 l 的大小为 ( )(0，12，2)A120 B150C30或 150 D 60或 1204.在正方体 AC1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面
2、 ABCD 所成的二面角的余弦值为 ( )A B.12 23C. D.33 225平面 的一个法向量 n1(1,0,1)，平面 的一个法向量 n2(3,1,3)，则 与 所成的角是_6已知 A ，P ， ，平面 的一个法向量 n ，则直线PA ( 32，12，2) (0， 12， 2)PA 与平面 所成的角为 _二、能力提升7在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后BD1，则二面角 BACD 的余弦值为 ( )A. B. C. D.13 12 233 328A、B 是二面角 l 的棱 l 上两点，P 是平面 上一点， PBl 于 B，PA 与 l 成
3、 45角，PA 与平面 成 30角，则二面角 l 的大小是 ( )A30 B60 C45 D759.如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B处从A，B 到直线 l(库底与水坝的交线)的距离 AC 和 BD 分别为 a 和b，CD 的长为 c，AB 的长为 d.水库底与水坝所成二面角的余弦值为_10.如图，已知四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且 ABCD 为正方形，PAABa，点 M 是 PC 的中点(1)求 BP 与 DM 所成的角的大小；(2)求二面角 MDAC 的大小 11.如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线AC2，BD .CF 与
4、平面 ABCD 垂直，CF2.求二面角 BAFD 的大小2三、探究与拓展12. 如图，在四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE，BC2，CD ，ABAC.2(1)证明 ADCE；(2)设 CE 与平面 ABE 所成的角为 45，求二面角 CADE 的余弦值答案1C 2B 3C 4B5907A 8C 9.a2 b2 c2 d22ab10解 (1)建系如图，由已知得 A(0,0,0)，B( a,0,0)，C(a ，a,0) ，D(0， a,0)，P(0,0 ，a )，M .(a2，a2，a2)设直线 BP 与 DM 所成的角为 . (a,0，a)，BP ，DM
5、(a2， a2，a2) 0.BP DM BP 与 DM 所成的角的大小为 90.(2) (0,0，a)， (a,0,0)， (0，a,0) ，AP AB AD ( a,0，a)，BP 0， 0， 0.BP AD AP AB AP AD 又由(1)知 0，BP DM 是平面 MDA 的法向量， 是平面 ABCD 的法向量，则 cos ， BP AP BP AP BP AP |BP |AP |.22所求的二面角 MDAC 的大小为 45.11解 过点 A 作 AE平面 ABCD.以 A 为坐标原点， 、 、 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系BD AC AE (如图)于是
6、 B ，( 22，1，0)D ，F (0,2,2)(22，1，0)设平面 ABF 的法向量 n1(x，y ，z) ，则由Error! 得Error!令 z1，得Error! 所以 n1( ，1,1) 2同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2( ，1,1)2由 n1n20 知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直，所以二面角 BAFD 的大小等于 .212. (1)证明 作 AOBC，垂足为 O，则 AO底面 BCDE，且 O 为 BC的中点以 O 为坐标原点，射线 OC 为 x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系 Oxyz.设 A(0,0，t )由已知条件有 C(1,0,0)，D(1 ， ，0
7、) ，E(1， ，0)，2 2(2， ，0)， (1 ， ，t)，CE 2 AD 2所以 0 ，得 ADCE.CE AD (2)解 作 CFAB ，垂足为 F，连接 FE，如图所示设 F(x,0，z )，则 (x1,0，z) ， (0， ，0) ，CF BE 2 0.故 CFBE.CF BE 又 ABBEB，所以 CF平面 ABE，故CEF 是 CE 与平面 ABE 所成的角，CEF 45 ，由 CE ，得 CF .6 3又 CB2，所以FBC60，所以ABC 为等边三角形，因此 A(0,0， )3作 CGAD，垂足为 G，连接 GE.在 Rt ACD 中 ，求得| AG| |AD|.23故 G ， ，(23，223，33) GC (13， 223， 33) .GE ( 53，23， 33)又 (1 ， ， )， 0， 0，AD 2 3 GC AD GE AD 所以 与 的夹角等于二面角 CADE 的平面角GC GE 由 cos ， .GC GE GC GE |GC |GE | 1010
