1、二面角一、素质教育目标（一）知识教学点1二面角的有关概念2二面角的平面角的定义及作法（二）能力训练点1利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念；掌握二面角的平面角的定义2用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力3通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法（三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点二、教学重点、难点、疑点及解决方法1教学重点：二面角、二面角的平面角的概念2教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题3教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件：一是平面角的顶点
2、必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内三、课时安排1 课时四、教与学过程设计（一）二面角师：我们知道，两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫生时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度（图看课本 P39 中图 143），等等这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角”叫二面角，那么如何定义二面角呢？阅读课本 P3940，回答下列问题师：我
3、们先来回忆：什么是角？如何表示？生：从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图 1117），表示为AOB师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角先给出半平面的定义生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面（如图 1119）师：那么如何表示二面角呢？生：棱为 AB，面为 、 的二面角记作二面角 AB，如果棱用 a 表示，则记作二面角 a师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式（如图 1120）第二种是立式法，也称为直立式（二）
4、平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题如门和墙所在的平面是相交的，但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上，也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度现在我们来思考：问题 1：这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的如图 1121，在二面角 a 的棱 a 上
5、任取一点 O，在半平面 和 内，从点 O 分别作垂直于棱 a 的射线 OA、OB，射线 OA 和 OB 组成AOB，在棱上另取任意一点 O，按同样的方法作AOB，因为 OA 和 OA、OB 和OB都垂直于棱 a，所以AOB 和AOB的两边分别平行且方向相同，根据等角定理，得：AOBAOB，即AOB 的大小是一定的由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点 O 在棱上的位置无关问题 2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内师：平面角是直角的二面角叫直二面角在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成
6、的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见 P40 中图 145）我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是 68.5，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5（图见 P39 中图 143）下面请同学们完成例题和练习（三）练习例 如图 1122，山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60，山坡上有一条直道 CD，它和坡脚的水平线 AB 的夹角是 30，沿这条路上山，行走 100 米后升高多少米？解：已知 CD=100 米，设 DH 垂直于过 BC 的水平平面，垂足为 H，线段 DH 的长度就是所求的高度在平面 DBC 内，过点 D 作 DGBC，垂足是 G，连结
7、GHDH平面 BCH，DGBC，GHBC因此，DGH 就是坡面 DGC 和水平平面 BCH 所成的二面角的平面角，DGH60，由此得：43.3（米）答：沿直道前进 100 米，升高约 43.3 米注：在解题中要特别注意书写规范如：DGBC，GHBC，DGH 是坡面 DGC 和水平面 BCH 所成二面角的平面角练习：（P4142 练习 1、2、3、4）1拿一张正三角形的纸片 ABC，以它的高 AD 为折痕，折成一个二面角，指出这个二面角的面、棱、平面角2一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角为什么？3教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度？4在 3
8、0二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是 10cm，求它到棱的距离解：1如图 1123，二面角 BADC 中，面 ABD，面 ACD；棱 AD；平面角BDC2如图 1124，平面 AOBa，平面 AOB 与平面 、 的交AOB 是二面角 a 的平面角3如图 1125，二面角 c，二面角 b，二面角 a 的平面角分别为AOB，AOC，BOC，都是 904已知：如图 1126，二面角 AB 为 30，P，P 到平面 的距离为 10cm求 P 到 AB 的距离解：在 内作点 P 的射影 O，过点 P 作 PQAB 于 Q，连结 OQ，根据三垂线定理，可得 OQABPQO 为二面角 AB 的平
9、面角，即PQO3OPO10cm，PQ20cm即 P 到 AB 的距离为 20cm小结：从上面四题练习，我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法1定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角（如练习 1，3）2应用三垂线（逆）定理法：在二面角 l 的面 上取一点 A，作 AB 于 B，BCl 于 C，则ACB 即为 l 的平面角（如练习 4）3作垂面法：作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角（如练习 2）（四）总结本节课我们学习了二面角，二面角的平面角等有关概念，并学会了如何作二面角的平面角学习的关键是将二面角的问题转化为其平面角的问题五、作业P4546 中习题六 1、2、3、4、5
