1、 求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千 锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就 是我们研究的中心话题. 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的 计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事. 1 定义法 即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之 源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！. 例1 正方体ABCD-A1B1C1
2、D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没 有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中 必须发展这种重要的思维能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且 tanCOC1= 2 。 将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为 . 在图1中，A1OC1是二面角 A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cosA1OC1= 3 1例2(2006年江苏试题)如图 2(1)，在正三角形 ABC中，E、F、P分别是AB
3、、AC、BC上的点，满足AE： EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将AEF折起到A1EF 的位置，使二面角 A1-EF-B成直二面角，连 接A1B、A1P. ()与()略；()求二面角B-A1P-F 的余弦值。 分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种 对称和谐性.若取 BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形 ABC中，很容易证得BEQ PEQPEFAEF，那么在图 2(2)中，有A1Q=A1F.作 FMA1P于 M，连接 QH、QF，则易得 A1QPA1FP，QMPFMP，所以PMQ=PMF=90 o ，QMF为二面角 B-
4、A1P-F的平面角，使题解取得 了突破性的进展.设正三角形的边长为 3，依次可求得 A1P= 5 ，QM=FM= 5 5 2 ，在QMF中，由余弦定理得 cosQMF= 8 7 。 练习：2011广东高考理 18.(本小题满分 13 分) 如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为 1的菱形，且DAB=60， 2 PA PD ,PB=2, E,F分别 是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; (2) 求二面角 P-AD-B的余弦值. 2 三垂线法 这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图 3，设锐二面角 l ，过面 内
5、一点 P作PA 于A，作ABl于 B，连接PB，由三垂线定理得 PBl，则PBA 为二面角 l 的平面角，故称此法为三垂线法. 最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所 在的三角形(最好是直角三角形，如图 3 中的 RtPAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐 角的补角不就是钝角吗？ 例3(2006年陕西试题)如图 4，平面 平面 ， =l，A ，B ，点 A 在直线l上的射影为 A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求： ()略；()二面角 A1ABB1的正弦值. 3 垂面法 事实上，图1 中的平面
6、 COC1、图2(2)中的平面 QMF、图 3中的平面PAB、图4 中的平面A1FE都是相关二面 角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得 良好的效果. 例4空间的点P到二面角 l 的面 、 及棱 l的距离分别为4、3、 3 39 2 ，求二面角 l 的 大小. 分析与略解：如图5，分别作 PA 于A，PB 于B，则易知l平面 PAB，设 l平面PAB=C，连接 PC，则 lPC.分别在 RtPAC、RtPBC中，PC= 3 39 2 ，PA=4，PB=3，则AC= 3 3 2 ，BC= 3 3 5 .因为 P、 A、C、B四点共圆，且 PC
7、为直径，设PC=2R，二面角 l 的大小为 .分别在PAB、ABC中，由余 弦定理得 AB 2 =AC 2 +BC 2 -2ACBCcos =PA 2 +PB 2 -2PAPBcos( )，则可解得cos = 2 1 ， =120 o ， 二面角 l 的大小为 120 o . 4 面积法 如图1，设二面角C-BD-C1的大小为 ，则在RtCOC1中，cos BD C CBD S S BD O C BD CO O C CO 1 1 1 2 1 2 1 ，在某些情 况下用此法特别方便. 例5 如图6，平面 外的A1B1C1在 内的射影是边长为1 的正三角形 ABC，且 AA1=2，BB1=3，CC
8、1=4，求 A1B1C1所在的平面与平面 所成锐二面角的余弦值 分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在 BB1、CC1取 BD=CE=AA1，则A1B1C1A1DE， 可 求得A1B= 2 ，A1C1= 5 ，B1C1= 2 ，所以等腰A1B1C1的面积为 4 15 ，又正ABC的面积为 4 3 . 设所求二面角的大小为 ，则cos = 5 5 . 5 变式二面角的求法 以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变 化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略. 5.1 “无棱”二面角的求法 严格地说，任何二面角都是有棱的，“无
9、棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有 两种处理办法： (1)用面积法，见例5； (2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”. 在例5中，延长C1B1和C1A1分别交 CB 和CA的延长线于 G、H，连 GH.作 CMGH于 M，连 C1M，C1MGH，则 CMC1是所求二面角的平面角.由平几知识得CG=4，CH=2，则CGH的面积为 3 2 ，又CGH的面积为 2 1 CHCM. 又由余弦定理得GH= 3 2 ，所以CM=2，则在RtCMC1中，cos = 5 5 .在原图中，面 A1B1C1与 的公共点 都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一 个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了. 面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例 5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴 涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法. 5.2 有关二面角的最值问题 求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题. 例6 二面角 -l- 的大小是变量 ) 2 0 ( ，点 B、C在 l上，A、D 分别在面 、 内，且 ADBC，AD 与面 成 6 角，若ABC的面积为定值S，求BCD面积Q 的最大值.
