1、2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质一、选择题1方程 y 表示的曲线是( )|x|x2答案 B解析 y ，故选 B.|x|x2 1|x|2直角坐标系内到 x 轴的距离与到 y 轴的距离之差等于 1 的点的轨迹方程为( )A|x| |y|1 B| y| x|1C|x| y|1 D|xy| 1答案 B3方程 xy2x 2y1 所表示的曲线 ( )A关于直线 yx 对称B关于 y 轴对称C关于 x 轴对称D关于原点对称答案 A4已知 A(1,0)、B(2,4)，ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是( )A4x3y160 或 4x3y160B4x 3y160 或 4x3y24
2、0C4x 3y160 或 4x3y240D4x3y160 或 4x3y240答案 B解析 |AB|5，C 到 AB 的距离 d 4，设 C(x，y)、AB 所在的直线为2S54x3y404|4x 3y 4|42 32|4 x3y4| 204x3y420 或 4x3y420故 4x3y160 或 4x3y240，故选 B.5方程(x1)(y 1)1(x0)表示的曲线关于_对称( )A直线 yxB直线 yx 2C直线 y xD(1 ，1)中心答案 B解析 曲线(x1)(y1)1，即 y1 可看作曲线 y 沿 x 轴向左平移 1 个单1x 1 1x位，沿 y 轴向上平移 1 个单位得到的，而 y 关
3、于 yx 对称，故曲线 y1 关于直1x 1x 1线 yx2 对称6下面所给图形的方程是图中的曲线方程的是( )答案 D解析 A 不是，因为 x2y 21 表示以原点为圆心，半径为 1 的圆，以方程的解为坐标的点不都是曲线上的点，如( ， )的坐标适合方程 x2y 21，但不在所给曲线上；22 22B 不是，理由同上，如点(1,1) 适合 x2y 20，但不在所给曲线上； C 不是，因为曲线上的点的坐标都不是方程的解，如(1,1) 在所给曲线上，但不适合方程 lgxlgy1.7已知点 P 是直线 2xy 30 上的一个动点，定点 M(1 ,2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且| PM|
4、MQ|，则 Q 点的轨迹方程( )A2xy10B2x y50C2x y10D2xy50答案 D解析 设 Q 为 (x，y)，|PM |MQ|，M 为 PQ 中点P 为(2x,4y) P 在直线 2x y30 上，y2x5，选 D.8平行四边形 ABCD 的顶点 A，C 的坐标分别为(3 ，1)，(2 ，3)，顶点 D 在直线3xy10 上移动，则顶点 B 的轨迹方程为( )A3xy200(x13)B3x y100(x 13)C3x y120(x 13)D3xy90(x13)答案 A解析 设 AC、BD 交于点 O，A、C 分别为(3，1)(2，3) ，O 为( ，2)，设 B 为(x ， y)
5、，52D 为(5x， 4y )D 在 3xy10 上，153x4y 10，由于 A、B、C、D 不共线则应除去与直线 AC 的交点(13,19)，故所求轨迹方程为 3xy 20 0(x13)9设动点 P 是抛物线 y2x 21 上任意一点，点 A(0， 1)，点 M 使得 2 ，PM MA 则 M 的轨迹方程是( )Ay6x 2 By 3x 213 13Cy 3x21 Dx6y 213答案 A解析 设 M 为(x ，y)， 2 ， A(0，1) ，PM MA P(3x,3y2) P 为 y2x 21 上一点，3y229x 2118x 2 1，y6x 2 .故选 A.1310动点在曲线 x2y
6、21 上移动时，它和定点 B(3,0)连线的中点 P 的轨迹方程是( )A(x 3)2y 24B(x3) 2y 21C(2x3) 24y 21D. (x )2y 2132答案 C解析 设 P 点为 (x，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有 x ， y.x1 32 y1 02x 12x3，y 12y.(x 1， y1)在 x2y 21 上，x y 1，21 21(2x 3)2(2y )21 即(2x3) 24y 21.二、填空题11点 P(a，b )是单位圆上的动点，则 Q(ab，ab)的轨迹方程是_答案 x 22y 10解析 P( a，b)在单位圆上，a 2b 21，(ab) 22
7、ab1，x 22y1 为 Q 的轨迹方程12已知ABC 为圆 x2y 24 的一个内接三角形，且 ： ： 1：3： 5，则 BC 中点 M 的轨迹方程为_答案 x 2y 21解析 如图建系设 BC 中点为 M(x，y) ，连接 OB、OC、OM，由于BOC120，所以OBC30 ，所以 OM OB1.于是 M 点的轨迹方程为 x2y 21.1213由动点 P 向圆 x2y 21 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB 60 ，则动点 P 的轨迹方程为_答案 x 2y 24解析 设 P(x，y )，x 2y 2 1 的圆心为 O，APB 60，OB 2，x 2y 24.14与点(2，
8、3)的连线的倾斜角为 的点 M 的轨迹方程是_23答案 xy32 0(x2)3 3解析 所求动点 M 的轨迹为过(2 ，3)点，斜率 ktan 的直线23 3由点斜式得 y3 (x2)3即 x y32 0(x2)3 3三、解答题15M 为直线 l：2x y 3 0 上的一动点，A(4,2) 为一定点，又点 P 在直线 AM 上，且 APPM3，求动点 P 的轨迹方程解析 设点 M、P 的坐标分别为 M(x0，y 0)，P(x，y)，由题设及向量共线条件可得Error!得 Error!，因为点 M(x0，y 0)在直线 2x y30 上，所以 2 30，即 8x4y30，4x 43 4y 23从
9、而点 P 的轨迹方程为 8x4y 3016(2009邯郸高二检测)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 O：x 2y 21，动点 M 到圆 O 的切线长与| MQ|的比等于常数 ，求动点 M 的轨迹方程2解析 如图，设 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合是 P M|MN| |MQ|，2圆半径|ON |1，|MN |2|MO |2|ON |2|MO| 21，设 M(x，y)，则由 |MN|2|MO| 212| MQ|2得，x 2y 212(x 2) 2y 2，整理得：x 2y 28x 90.17已知两点 M(1,0) ，N (1,0)且点 P 使 ， ， 成公差小于 0 的等MP MN
10、PM PN NM NP 差数列点 P 的轨迹是什么曲线？解析 设 P(x，y )由 M(1,0)，N(1,0)得 (1x ，y )，PM MP (1x，y)，PN NP (2,0)，MN NM 2(1x )，MP MN x 2y 21，PM PN 2(1 x)NM NP 于是 ， ， 是公差小于零的等差数列等价于MP MN PM PN NM NP Error!，即Error! ，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的右半圆( 不含端点)318点 P 与两顶点 A(4,0)、 B(4,0)的连线所成的角APB45，求动点 P 的轨迹方程解析 (1)当 kAP或 kPB不存在时，动点 P 为(4,8)，( 4,8)，( 4，8)，(4，8) (2)当 kAP、k PB存在时，设 P(x，y )若 y0，有 1，化简得yx 4 yx 41 y2x2 16x2y 28y16 0( y0)，检验知 (4,8)和(4,8)均适合上式若 y0)或x2y 28y16 0( y0)
