1、2.2.2 双曲线的简单几何性质一、选择题1已知双曲线与椭圆 1 共焦点，它们的离心率之和为 ，双曲线的方程应是x29 y225 145( )A. 1 B. 1x212 y24 x24 y212C 1 D 1x212 y24 x24 y212答案 C解析 椭圆 1 的焦点为 (0，4)，离心率 e ，x29 y225 45双曲线的焦点为(0，4) ，离心率为 2，145 45 105双曲线方程为： 1.y24 x2122焦点为(0，6) 且与双曲线 y 21 有相同渐近线的双曲线方程是( )x22A. 1 B. 1x212 y224 y212 x224C. 1 D. 1y224 x212 x2
2、24 y212答案 B解析 与双曲线 y 21 有共同渐近线的双曲线方程可设为 y 2( 0)，x22 x22又因为双曲线的焦点在 y 轴上，方程可写为 1.y2 x2 2又双曲线方程的焦点为(0， 6)，236.12.双曲线方程为 1.y212 x2243若 00.c 2(a 2k 2) (b2k 2)a 2b 2.4中心在坐标原点，离心率为 的双曲线的焦点在 y 轴上，则它的渐近线方程为( )53Ay x By x54 45Cy x Dy x43 34答案 D解析 ， ， ，ca 53 c2a2 a2 b2a2 259 b2a2 169 ， .ba 43 ab 34又双曲线的焦点在 y 轴
3、上，双曲线的渐近线方程为 y x，ab所求双曲线的渐近线方程为 y x.345(2009四川文，8)已知双曲线 1( b0)的左右焦点分别为 F1、F 2，其一条渐x22 y2b2近线方程为 y x，点 P( ， y0)在该双曲线上，则( )3A12 B2C0 D4答案 C解析 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质由题意得 b22，F 1(2,0)，F 2(2,0)，又点 P( ，y 0)在双曲线上，y 1，3 20(2 ，y 0)(2 ，y 0)1y 0，故选 C.3 3 206已知双曲线 1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的x2a2 y2b23 倍，则双曲线的渐近
4、线方程为( )Ay x By 2 x2 2Cy x Dy3x24答案 B解析 如图，分别过双曲线的右顶点 A，右焦点 F 作它的渐近线的垂线，B、C 分别为垂足，则OBAOCF， ，OAOF ABFC 13 ， 2 ，ac 13 ba 2故渐近线方程为：y2 x.27双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )x2b2 y2a2A2 B. 3C. D.232答案 C解析 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：yx， 1， 1，ba b2a2 c2 a2a2c 22a 2，e .ca 28双曲线 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )x29 y216A. B33C4
5、D2答案 C解析 焦点坐标为(5,0)，渐近线方程为 y x，一个焦点(5,0) 到渐近线 y x43 43的距离为 4.9过双曲线 1(a0，b0)上任意一点 P 引与实轴平行的直线，交两渐近线于x2a2 y2b2M、N 两点，则的值为( )Aa 2 Bb 2C2ab Da 2b 2答案 A解析 特值法：当点 P 在双曲线的一个顶点时， a 2.10(2010浙江理，8)设 F1， F2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点若x2a2 y2b2在双曲线右支上存在点 P，满足| PF2|F 1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )A3x4
6、y0 B3x 5y0C4x3y0 D5x4y0答案 C解析 如图：由条件|F 2A|2a，|F 1F2|2c又知|PF 2| F1F2|，知 A 为 PF1 中点，由 a2b 2c 2，有| PF1|4b 由双曲线定义：|PF1|PF 2|2 a，则 4b2c2a2bca，又有 c2a 2b 2，(2ba) 2a 2b 2，4b 24aba 2a 2b 23b24ab， ，ba 43渐近线方程：y x.故选 C.43二、填空题11双曲线 1 的离心率 e(1,2) ，则 b 的取值范围是 _x24 y2b答案 120)相切，x26 y23则 r_.答案 3解析 本题考查双曲线的几何性质、直线与
7、圆的位置关系以及点到直线的距离公式双曲线 1 的渐近线方程为 y x x，x26 y23 36 22 x2y0，由题意，得 r .2326 3三、解答题15已知动圆与C 1：(x3) 2y 29 外切，且与C 2：( x3) 2y 21 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程解析 设动圆圆心 M 的坐标为( x，y)，半径为 r，则|MC 1|r 3，|MC 2|r1，|MC 1|MC 2|r 3r140，b0)过点 A( ， )，且点 A 到双曲线的两条渐近线x2a2 y2b2 14 5的距离的积为 .求此双曲线方程43解析 双曲线 1 的两渐近线的方程为 bxay0.x2a2 y2b2点 A 到
8、两渐近线的距离分别为d1 ，d 2| 14b 5a|a2 b2 | 14b 5a|a2 b2已知 d1d2 ，故 ()43 |14b2 5a2|a2 b2 43又 A 在双曲线上，则14b25a 2a 2b2()()代入() ，得 3a2b24a 24b 2()联立() 、()解得 b22，a 24.故所求双曲线方程为 1.x24 y2217如下图，已知 F1，F 2 是双曲线 1(a0，b0)的两焦点，以线段 F1F2 为边x2a2 y2b2作正三角形 MF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，求双曲线的离心率解析 设 MF1 的中点为 P，在 RtPMF 2 中，| PF2|MF 2|s
9、in602c c.又由双32 3曲线的定义得| PF2| PF1|2 a，所以 a c，e 1.3 12 ca 23 1 318是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由(1)渐近线方程为 x2y0 及 x2y 0；(2)点 A(5,0)到双曲线上动点 P 的距离的最小值为 .6解析 假设存在同时满足题中的两条件的双曲线(1)若双曲线的焦点在 x 轴上，因为渐近线方程为y x，所以由条件(1) ，设双曲线方程为 1，12 x24b2 y2b2设动点 P 的坐标为(x，y) ，则|AP| ，由条件(2) ，若(x 5)2 y254(x 4)2 5 b22b4，即 b2，则当 x4 时，| AP|最小 ，b 21，这不可能，无解；若5 b2 62b4，则当 x2b 时，|AP| 最小 |2b5| ，解得 b ，此时存在65 62 (5 62 2，应 舍 去 )双曲线方程为 1.x2(5 r(6)2 y2(5 62 )2(2)若双曲线的焦点在 y 轴上，则可设双曲线方程为 1( xR)，y2a2 x24a2所以|AP| ，54(x 4)2 a2 5因为 xR，所以当 x4 时，|AP |最小 .a2 5 6所以 a21，此时存在双曲线方程为 y2 1.x24
