1、1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积自主学习学习目标1了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单的问题2认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点，由此推导出侧面积公式自学导引1棱柱、棱锥、棱台侧面积(1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧面积计算公式：S 直棱柱侧_，即直棱柱的侧面积等于它的_(2)设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S 正棱锥侧 _，即正棱锥的侧面积等于它的_(3)设棱台下底面边长为 a，底面周长为 c，上底面边长为 a，周长为 c，斜高为h，则正 n 棱台的侧面积公
2、式：S 正棱台侧 _.2棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于_(2)用球的半径 R 计算球表面积的公式：S 球 _，即球面面积等于它的_对点讲练知识点一 直棱柱、正棱锥的表面积例 1 直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为 Q1，Q 2，求直平行六面体的侧面积点评 本题主要考查棱柱的结构特征，特别是直平行六面体，它的特点：底面是平行四边形且侧棱与底面垂直，对角面是矩形设边长后就可以转化为矩形内线段的研究在解方程组时注意运用整体代入的方法，充分运用式子的特征来解决问题变式训练 1 设正三棱锥 SABC 的侧面积是底面积的 2 倍，高为 SO3.求此正三棱锥的全面
3、积知识点二 正棱台的表面积例 2 已知四棱台的上、下底面分别是边长为 4 cm 和 8 cm 的正方形，侧面是腰长为 8 cm 的等腰梯形，求它的侧面积点评 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁另外， “还台为锥”的思想在计算中也经常用到. 变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高知识点三 球的表面积公式的应用例 3 已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱全面积的 .23点评 球
4、的体积和表面积只与半径有关，利用球与其他几何体的位置关系，灵活求解球的半径是关键变式训练 3 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A9 B10 C 11 D 121柱、锥、台的侧面积公式是由侧面展开图得到的，不要死记公式，要根据展开图的特点进行计算2要注意三种几何体的侧面积公式之间的联系，S 台侧 (cc)h S 锥侧 ch12 c 012,ccS 柱侧 ch.3计算侧面积时要注意从几何体的某一特殊位置截面中(如旋转体的轴截面) 找到关键量，借助它们的数量关系解决问题另外，还要注意整体代换的思想方法的运用. 课时作业一、选择题1底面为正方形的直棱柱，它的底面对角
5、线为 ，体对角线为 ，则这个棱柱的侧面2 6积是( )A2 B4 C6 D82侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a，则该三棱锥的表面积是( )A. a2 B. a2 C. a2 D. a23 34 34 62 333两个球的表面积之差为 48，它们的大圆周长之和为 12，这两个球的半径之差为( )A4 B3 C2 D14已知正三棱台的上底面边长为 2，下底面边长为 4，高为 ，则正三棱台的侧面积153S1 与底面面积之和 S2 的大小关系为( )AS 1S2 BS 1S2CS 1 S2 D以上都不是5正四棱锥的侧面积为 60，高为 4，则正四棱锥的底面边长为( )A24 B20 C12
6、 D6题 号 1 2 3 4 5答 案二、填空题6正六棱柱的高为 5 cm，最长的对角线为 13 cm，则它的侧面积为_7若一个直立圆柱的侧视图是面积为 S 的正方形，则该圆柱的表面积为_8长方体的体对角线长度是 5 ，若长方体的 8 个顶点都在同一个球面上，则这个球2的表面积是_三、解答题9已知正三棱锥的底面三角形的边长为 ，侧棱与高的夹角为 60，求三棱锥的侧面152积及全面积10如图所示是一个建筑物的三视图，现需要将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用油漆 0.2 kg，问共需要油漆多少 kg？(尺寸如图所示，单位：m， 取 3.14，结果精确到 0.01 kg)【答案解析】自学导引1(1
7、)ch 底面周长和高的乘积 (2) nah ch 底面周长和斜高乘积的一半 (3)12 12n(aa )h (cc)h12 122(1)侧面积与底面积之和 (2)4R 2 大圆面积的四倍对点讲练例 1 解 如图所示，设底面边长为 a，侧棱长为 l，底面两条对角线的长分别为 c，d，即BDc， ACd，则Error!由得 c ，由得 d ，代入得Q1l Q2l2 2a 2，(Q12l) (Q22l)Q Q 4l 2a2，2la .21 2 Q21 Q2S 侧 4al2 .Q21 Q2变式训练 1 解 设正三棱锥的底面边长为 a，斜高为 h，过 O 作 OEAB，SEAB，则 SEh.S 侧 2S
8、 底 ， 3ah a22，12 34a h.3SOOE，SO 2OE 2SE 2，3 2 2h 2，(36 3h )h2 ，a h6，3 3S 底 a2 629 .34 34 3S 侧 2S 底 18 ，S 全 S 侧 S 底 9 18 27 .3 3 3 3例 2 解 方法一 图(1)如图(1)，过 B1 作 B1FBC 交 BC 于 F.RtB 1FB 中，B 1FhBF (84)2，B 1B8，12B 1F 2 ，82 22 15hB 1F2 ，15S 四棱台侧 (84)4212 1548 (cm2)15方法二 图(2)如图(2)，四棱台的侧棱延长后交于点 P，过 P 作 PEBC 交
9、BC 于 E，交 B1C1 于 E1，则 PE1 B1C1.设 PB1 x，则 ，xx 8 48得 x8.PB 1 B1B8，E 1 为 PE 的中点，PE 1 2 ，PE2PE 14 ，82 22 15 15S 四棱台侧 S 大四棱锥侧 S 小四棱锥侧 84PE 44PE112 12 844 44212 15 12 1548 (cm2)15变式训练 2 解 如图所示，正三棱台 ABCA1B1C1 中， O1、O 是上、下底面中心，D1、D 是 B1C1、BC 的中点，则 DD1 是斜高设 A1B120，AB30，则 OD5 ，O 1D1 ，3103 3S 侧 S 底 ， (6090)DD 1
10、12 (20230 2)34DD 1 .133 3在直角梯形 O1ODD1 中，O1O D1D2 OD O1D12 4 (cm)，(133 3)2 (53 103 3)2 3即棱台的高是 4 cm.3例 3 证明 (1)如图所示，设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，得 S 球 4R 2，S 圆柱侧 2R2R 4R 2，S 球 S 圆柱侧(2)S 圆柱全 4R 22R 26R 2，S 球 4R 2， S 球 S 圆柱全23变式训练 3 D 由三视图知，几何体是由圆柱与球组成的组合体，S 表 S 球 S 柱 41 221 22312.课时作业1D 2.A 3.C 4.A 5.D6
11、180 cm 2解析 设正六棱柱的底面边长为 a，则底面正六边形的最长对角线为 2a，5 2(2a)213 2，a 6 cm.S 正六棱柱侧 6ah180 cm 2.7. S32解析 设圆柱的底面半径为 r，母线长为 l，l 2r ，S2rl4r 2.r 2 ，S 表S42r 22rl6r 2 S.32850解析 设球半径为 R，由题意知 2R5 ，2则 S 球 4R 2 (2R)2(5 )250.29解 如图所示，设 O 为正三角形 ABC 的中心，则正三棱锥的高、侧棱、底面半径组成RtAOS.AB ，152AO sin 60，23 152侧棱与高的夹角为 60，SA 5.AOsin 60过
12、点 S 作 SEAB，垂足为点 E，则正三棱锥的侧棱、斜高、底面边长的一半构成 RtSEA ，斜高 SE ，SA2 AE225 22516 574S 正三棱锥侧 3 ，12 152 574 225716S 正三棱锥全 S 正三棱锥侧 S 正三棱锥底 2sin 60 ( )225716 12 (152) 22516 3 710解 由图知建筑物为自上到下分别是圆锥和四棱柱的组合体并且圆锥的底面半径为 3 m，母线长为 5 m，四棱柱的高为 4 m，底面是边长为 3 m 的正方形圆锥的表面积为 r2 rl 3.14323.1435 28.2647.175.36 m2；四棱柱的一个底面积为329 m2.所以建筑物的外壁面积75.36948114.36 m2，所以需要油漆114.360.222.87222.87 kg.
