1、04 课后课时精练一、选择题1若 a(a 1，a 2，a 3)，b( b1，b 2，b 3)，则 是 aba1b1 a2b2 a3b3的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：设 k，易知 ab.即条件具有充分性a1b1 a2b2 a3b3又若 b0 时，b(0,0,0)，虽有 ab，但条件 显然a1b1 a2b2 a3b3不成立，所以条件不具备必要性答案：A2. 2014锦州高二检测已知 A(4,1,3)，B(2 ，5,1) ，C (3,7，)，若 ，则 的值为 ( )AB AC A. 13 B. 14C. 14 D. 13解析：本题主要考查空间向量垂直的
2、概念由于( 2，6，2) ， (1,6，3) ，由 0 可得AB AC AB AC 2362(3)0，解得 14，故选 B.答案：B3. 如图所示的几何体 ABCDE 中，DA平面 EAB，CB DA ，EAABDA2CB ，EAAB，M 是 EC 的中点则下述结论正确的一项是( )A. DMEBB. DMECC. DMEMD. DMBA解析：本题主要考查利用空间向量法判断线线垂直以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设 EADAAB2CB2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，D(0,0,2)，M (1,1， )， (1,1 ， )，12 DM 32( 2,2
3、,0) ， (2,2,1)， (1,1， )， (0,2,0)，仅有EB EC EM 12 AB 0 ，从而得 DMEB，故选 A.DM EB 答案：A4. 2014湖北省八校联考已知 A(1,2,3)，B (2,1,2)，C (1,1,2)，O为坐标原点，点 D 在直线 OC 上运动，则当 取最小值时，点DA DB D 的坐标为( )A. ( ， ) B. ( ， )4343 43 8343 83C. ( ， ) D. ( ， )4343 83 8383 43解析：本题主要考查空间向量的坐标运算以及数量积运算，考查函数思想点 D 在直线 OC 上运动，因而可设 ( a，a,2a)，OD (1
4、a, 2a,32 a)， (2a,1a,22a)， (1a)DA DB DA DB (2 a)(2a)(1a)(32a)(2 2a)6a 216a10，所以 a 时43 最小为 ，此时 ( ， )，故选 C.DA DB 23 OD 4343 83答案：C5已知 a(sin，cos，tan)，b(cos ，sin ， )且1tanab，则 等于( )A B.4 4C 2k (kZ) Dk (kZ)2 4解析：注意本题中 不是 a、b 的夹角，故有无数个 的值满足条件2sincos1，sin 21，2 2k (kZ )，2 k (kZ )14答案：D6已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边
5、长都相等，A 1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )A. B.34 54C. D.74 34解析：解法一：设 BC 的中点为 D，连接 A1D，AD ，易知 A1AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成的角，由三角余弦定理，易知 coscos A 1ADcosDAB .ADA1AADAB 34解法二：由题意 A1D平面 ABC，又 D 为 BC 中点，ADBC，故以 D 为坐标原点 DA、DB、DA 1 所在直线为 x、y、z 轴建立直角坐标系，设侧棱长与底面边长均等于 a，则 D(0,0,0)，A( a,0,0)，B(0 ，0)
6、，A 1(0,0， a)，32 a2 12( a,0， a)， ( a，0)AA1 32 12 AB 32 a2异面直线 AB 与 CC1 所成的角为A 1AB.cos A 1AB .AA1 AB |AA1 |AB |34a2aa 34答案：D二、填空题7. 已知四边形 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，5，1)，C(3,7，5) ，则顶点 D 的坐标为_解析：由四边形 ABCD 是平行四边形知 ，AD BC 设 D(x，y，z )，则 ( x 4，y1，z3)， (1,12，6)，AD BC 所以Error!解得Error!即 D 点坐标为(5,13，3)答案：(5,13
7、，3)8已知边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面外一点 P 与正方形的中心 O 的连线 PO 垂直于平面 ABCD，且 PO6，则 PO 的中点M 到 PBC 的重心 N 的距离为_解析：本题主要考查利用空间向量求两点间的距离建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(2,2,0)，C(2,2,0)，P(0,0,6)，由题意得，M (0,0,3)，N(0， 2)，则 (0，1) ，43 MN 43于是| | .MN 02 432 12 53故 M 到PBC 的重心 N 的距离为 .53答案：539已知向量 a(0，1,1)，b(4,1,0) ，| ab| ，且290，则 _.解析：a(0，1,1
8、)，b(4,1,0) ，ab(4,1， )|a b| ，16(1) 2 229.293 或 2.0， 3.答案：3三、解答题10已知 a(3,5，4)，b(2,1,8) 计算：(1)(ab)(ab)；(2)(ab) 2；(3)与 a 共线的单位向量解：(1)(ab)(ab)a 2b 2(9 2516) (4164)19.(2)a b(5,6,4)，| a b|25 26 24 277.(3)|a| 5 ，32 52 42 2与 a 共线的单位向量为a0 (3,5，4)a|a| 152( ， ， )，3210 22 225即 a0( ， ， )或( ， ， )3210 22 225 3210 2
9、2 225112014 吉林高二测试 已知 P 是正方形 ABCD 外一点，M， N 分别是 PA，BD 上的点，且 .PMMA BNND 12(1)求证：直线 MN平面 PBC；(2)若 PAD45且 PD平面 ABCD，求异面直线 MN，PD 所成角的余弦值解：(1) ( )MN MP PB BN 13PA PB 13BD 13BA BP ( ) ，PB 13BA BC 23PB 13BC 13PB 13PC 取 BC 的中点为 G，则 2 ，PB PC PG 因此 ，故 MNPG，MN 23PG 又 PG平面 PBC，MN平面 PBC，故 MN平面 PBC.(2)由四边形 ABCD 为正
10、方形且 PD平面 ABCD 知，DA， DC，DP 两两垂直，以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 DA3，则 A(3,0,0)，P(0,0,3)，则 M(1,0,2)，N(2,2,0) ，得 (1，2,2)， (0,0,3)，NM DP 故 cos ， ，NM DP NM DP |NM |DP | 633 23故异面直线 MN，PD 所成角的余弦值为 .2312如右图，正四棱锥 SABCD 的侧棱长为 ，底面边长为2，E 是 SA 的中点，O 为底面 ABCD 的中心3(1)求 CE 的长；(2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值
11、；(3)若 OGSC ，垂足为 G，求证：OG BE.解：如图，以 O 为原点，以 、 、 所在的直线分别为 x 轴、yOA OB OS 轴、z 轴建立空间直角坐标系因为侧棱长为 ，底面边长为 ，E 为 SA 的中点，2 3所以 A( ， 0,0)，S(0,0， )，C ( ，0,0)，B(0， ，0)，E(62 22 62 62，0 ， )64 24(1) ( ，0， )，CE 364 24所以| | .CE 3642 02 242 142(2)因为 ( ， ， )， ( ，0， )，所以BE 64 62 24 SC 62 22cos ， ，BE SC BE SC |BE |SC | 122 12故异面直线 BE 和 SC 所成角的余弦值为 .12(3)因为 G 在 SC 上，所以 与 共线，SG SC 可设 ( ，0， )，则 (0,0 ， )SG SC 62 22 OG OS SG 22( ， 0， )62 22( ，0， (1 )62 22又 ，所以 0，OG SC OG SC 即 (1) 0，所以 ，32 12 14所以 ( ，0， )OG 68 328又 ( ， ， )，所以 0 0，BE 64 62 24 OG BE 632 632所以 ，即 OGBE .OG BE
