1、1.3 中国古代数学中的算法案例自主学习学习目标通过三种算法案例：更相减损术、秦九韶算法、割圆术，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平自学导引1求两个正整数最大公约数的算法(1)更相减损之术(等值算法)用两个数中较大的数减去较小的数，再用_和_构成新的一对数，再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生_，这个数就是最大公约数(2)用“等值算法”求最大公约数的程序2割圆术割圆术就是用_的算法来计算圆周率 的一种方法3秦九韶算法把 n 次多项式 P(x)a nxna n1 xn1 a 1xa 0 改写为P(x)a nxna n1 xn1 a 1xa 0(a nxn 1a n1
2、 xn2 a 1)xa 0(a nxn2 a n1 xn3 a 2)xa 1)xa 0(a nxa n1 )xa n2 )x a 1)xa 0令 vk_，则递推公式为其中 k1,2，n.对点讲练知识点一 更相减损术例 1 用更相减损术求下列两数的最大公约数(1)261,319； (2)1 734,816.点评 通过上例可以发现用更相减损术求最大公约数，运算简单，程序易编变式迁移 1 用更相减损术求 63 和 98 的最大公约数知识点二 秦九韶算法例 2 已知多项式 f(x)2x 55x 44x 33x 26x1，试求当 x3 时的值点评 利用秦九韶算法计算多项式的值关键是正确地将多项式改写，然
3、后由内向外依次计算，由于下一次的计算用到上一次计算的结果，只有细心，认真，保证中间的结果正确才能保证计算准确变式迁移 2 用秦九韶算法求多项式 f(x)7x 76x 65x 54x 43x 32x 2x 当 x3 时的值1更相减损术求两个数的最大公约数时，一定要弄清每一次减法中的被减数、减数，同时要掌握减法应在何种情况下停止运算，得出结果2秦九韶算法的特点是通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n 次多项式，只需做 n 次乘法和 n 次加法即可3割圆术以直代曲、无限趋近，主要利用了“内外去留”的思想. 课时作业一、选择题1自然数 8 251 和 6 105 的最大公约数为( )
4、A37 B23 C47 D1112五次多项式 f(x)4x 53x 42x 3x 2x ，用秦九韶算法求 f(2)等于( )12A B. C. D1972 1972 1832 18323下列哪组的最大公约数与 1 855,1 120 的公约数不同( )A1 120,735 B385,350C385,735 D1 855,3254用秦九韶算法计算多项式 f(x)5x 54x 43x 32x 2x3 在 x2 时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A6,6 B5,6 C5,5 D6,55我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率 是( )A准确值 B近似值C循环小数 D有理数二、
5、填空题6228 与 1 995 的最大公约数是_7用秦九韶算法计算多项式 f(x)1235x8x 279x 36x 45x 53x 6，x4 时，v3 的值为_8已知多项式 Pn(x)a 0xna 1xn1 a n1 xa n.如果在一种算法中，计算 x k0(k2,3,4 ， n)的值需要 k1 次乘法，计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法，3 次加法)，那么计算 Pn(x0)的值共需要_次运算下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)a 0，P k 1(x)xP k(x)a k1 (k0,1,2，n1)利用该算法，计算 P3(x0)的值共需要 6 次运算，计算 Pn(x0)
6、的值共需要_次运算三、解答题9求 2 007 与 180 的最大公约数10用秦九韶算法求多项式 f(x)2x 42x 25x 10 在 x10 的值1.3 中国古代数学中的算法案例自学导引1(1)差 较小的数 一对相等的数 (2)while aab bba end2正多边形面积逐渐逼近圆面积3(a nxa n1 )xa n(k1) )xa nk v 0a n v kv k1 xa nk对点讲练例 1 解 (1)(261,319)(261,58)(203,58)(145,58)(87,58)(29,58) (29,29)，319 与 261 的最大公约数是 29.(2)因为两数皆为偶数，首先除以
7、 2 得到 867,408，再求 867 与 408 的最大公约数(867,408)(459,408)(51,408)(51,357)(51,306)(51,255)(51,204) (51,153)(51,102) (51,51)，1 734 与 816 的最大公约数是 512102.变式迁移 1 解 由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减(63,98)(63,35)(28,35) (28,7)(21,7)(14,7)(7,7) ，所以 98 和 63 的最大公约数是 7.例 2 解 根据秦九韶算法多项式可改写为 f(x)(2x 5)x4)x3)x 6)x1，按照
8、由内向外的顺序，依次计算为：v 02，v12351，v21341，v3(1) 330，v40366，v5(6) 3119.故当 x3 时，多项式的值为19.变式迁移 2 解 f(x )(7x6)x5)x4)x3)x2) x1)x，所以 v07；v173627；v2273586；v38634262；v426233789；v5789322 369；v62 369317 108；v77 108321 324，故 x3 时，多项式 f(x)7x 76x 65x 54x 43x 32x 2 x 的值为 21 324.课时作业1A 利用更相减损术可得它们的最大公约数为 37.2A f( x)(4x3)x
9、2)x1) x1)x ，12f(2)(4( 2)3)(2) 2)( 2)1)( 2)1) (2) 12 19723D (1 855,1 120)(735,1 120)(735,385)(350,385)(350,35)，1 855 与 1 120 的公约数是 35，由以上计算过程可知选 D.4C5B6577578. n(n3) 2n129解 2 0071801 827 1 8271801 6471 6471801 467 1 4671801 2871 2871801 107 1 107180927927180747 747180567567180387 38718020720718027 1802715315327126 1262799992772 722745452718 271891899所以 2 007 与 180 的最大公约数为 9.10解 把多项式改写成以下形式：f(x)2x 40 x32x 25x 10(2x0) x2)x 5)x10.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式在 x10 的值a42 v 0a 42a30 v1v 0xa 320a22 v2v 1xa 2198a15 v3v 2xa 11 975a010 v4v 3xa 019 760故 f(10)19 760.
