1、第 3 课时 等比数列1等比数列的定义： )(q（q 为不等于零的常数） 2等比数列的通项公式： a na 1qn1 a na mqnm 3等比数列的前 n 项和公式：Sn )1(4等比中项：如果 a，b，c 成等比数列，那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项，即 b2 （或 b ） 5等比数列a n的几个重要性质： m，n，p，qN *，若 m npq，则 S n 是等比数列a n的前 n 项和且 Sn0，则 Sn，S 2nS n，S 3nS 2n 成 数列 若等比数列a n的前 n 项和 Sn 满足S n是等差数列，则a n的公比 q 例 1. 已知等比数列a n中， a1a n66，a
2、2an1 128，S n126，求项数 n 和公比 q 的值解：a n是等比数列，a 1ana 2an1 ， 86，解得 6421na或 1n若 a12，a n64，则 2qn1 64q n32q由 Sn 261)3(2)(1q，解得 q2，于是 n6若 a164，a n2，则 64qn1 2q n 3由 Sn 126)3(641)(qqan解得 q 2，n6变式训练 1.已知等比数列a n中，a 1a964，a 3a 720，则 a11 解：64 或 1 由 2064739a206473或 1 q 2 1或 q22， a 11a 7 q2， a 1164 或 a111例 2. 设等比数列a
3、n的公比为 q(q0)，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前 n 项中数值最大项为 27，求数列的第 2n 项典型例题基础过关解：若 q1，则 na140，2na 13280 矛盾， q1 32801)(4qan两式相除得：q n81，q12a 1又q0， q1，a 10 a n是递增数列 a n27a 1qn1 128a解得 a11，q3，n4变式训练 2.已知等比数列a n前 n 项和 Sn2 n1，a n2前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式解：(1) a 12a 220，公比 q 1a又S 4S 2 8，将 q 1代入上式得 a11，a na 1qn1 ( 2
4、) n1 (nN *)(2) an 6( ) n1 ( )4n5原不等式的解为 n1 或 n3 或 n5例 3. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求这四个数解：设这四个数为 ad，a ，a d， ad2)(依题意有： 126)(2da解得： 4 或 69 这四个数为 0，4，8，16 或 15，9，3，1变式训练 3.设 nS是等差数列 na的前 项和， 663,24,1()nnSS，则 n等于（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18答案： D。解析：由 6324,1nnS得 12345180
5、nnnaa，再由61()32,6, 324,8nnaSa。例 4. 已知函数 f(x)(x1) 2，数列a n是公差为 d 的等差数列，数列b n是公比为 q 的等比数列(q1)，若 a1f(d1) ，a 3f(d 1)，b 1f(q1) ， b3f(q1)，(1) 求数列a n，b n的通项公式；(2) 设数列c n对任意的自然数 n 均有： 121)(nnabcbc ，求数列c n前 n 项和Sn解：(1) a 1(d2) 2，a 3d 2，a 3a 12d即 d2(d2) 22d，解之得 d2a 10，a n2(n1)又 b1(q2) 2，b 3q 2，b 3b 1q2即 q2(q2)
6、2 q2，解之得 q3b 11，b n3 n1(2) 14,)( ncaCSnC 1 C2C 3C n4(1323 133 2n3 n1 )设 n132333 2n3 n13 S13123 233 3 n3 n2 n133 23 33 n1 n3 n 2)13(3 nn4 nSS n2n3 n3 n1变式训练 4.已知等差数列a n的首项 a11，公差 d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列b n的第二项，第三项，第四项求数列a n与 bn的通项公式；设数列c n对任意正整数 n，均有 1321 nabcbc，求c1c 2c 3 c 2007 的值解：由题意得（a 1d）(a 113d
7、)(a 14d) 2(d0) 解得 d2，a n2n1，b n3 n1 当 n1 时，c 13 当 n2 时， ,nnabc )(3c 故 2c2206712207 3c 1在等比数列的求和公式中，当公比 q1 时，适用公式 Sn qan1)(，且要注意 n 表示项数；当 q1 时，适用公式 Snna 1；若 q 的范围未确定时，应对 q1 和 q1 讨论求和2在等比数列中，若公比 q 0 且 q1 时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项3若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为 xd，x，xd， xd2)(再依题意列出方程求 x、d 即可4a 1 与 q 是等比数列a n中最活跃的两个基本量归纳小结
